Нормали 1 — 259 —Длина к поверхности 1 — 294 — Уравнения

На поверхности соприкосновения двух тел компоненты давления Хх, Ху,... могут претерпевать разрыв если п — нормаль к поверхности соприкосновения, то Х , Zn все-таки будут непрерывны, если предполагать, что силы, распределенные по поверхности соприкосновения, не бесконечно велики. Чтобы это доказать, рассмотрим любую конечную часть поверхности соприкосновения, во всех точках ее проведем нор.мали и на них по обе стороны отложим отрезки бесконечно малой длины е. К заполненному этими отрезками объему применим уравнения (1). Входяш,ие сюда интегралы по йх бесконечно малые порядка е взятые по интегралы должны быть того же порядка малости. Для этого необходимо, чтобы значения Хп, Х , Zn па обеих сторонах поверхности соприкосновения не различались между собой на конечные величины. При этом надо заметить, что в то время как в уравнениях (1) мы понимали под п нормаль к йз, направленную внутрь рассматриваемого объема, то здесь мы определили п как одну из двух нормалей к поверхности соприкосновения. Отсюда следует, что п на одной стороне здесь и там имеет одно и то же значение, а на другой направлена противоположно [c.102]

Некоторое представление об этой многолистной дисперсионной поверхности можно получить, рассматривая предельный случай уравнения (8.5) или (8.7), устремив в них к нулю все Тогда решением дисперсионного уравнения является х —Для всех А, т. е. дисперсионная поверхность представляет собой набор сфер (кд( = (х с центрами в каждой точке обратной решетки, как показано на фиг. 8.2, а. По мере того как недиагональные элементы матрицы (8.7) будут увеличиваться от нуля, точки или линии пересечения этих сфер будут видоизменяться, приводя к системе непересекающихся поверхностей, или ветвей дисперсионной поверхности, как показано в очень простом случае на фиг. 8.2, б для небольшой части поверхности. На каждой ветви дисперсионной поверхности нормаль к поверхности будет иметь две точки пересечения, так что если рассматриваются N точек обратной решетки, то будут существовать 2М пересечений и, следовательно, 2Ы блоховских волн. Из них N будут соответствовать рассеянию вперед и N рассеянию назад. Некоторые сложности возникают, в частности, для больших длин волн, т. е. для сфер Эвальда малого радиуса, когда дисперсионная поверхность пересекается с нормалью только в мнимых точках. [c.180]

В правой части первых трех уравнений—проекции внешней нагрузки Z—проекция на нормаль в каждой точке оболочки, X и У—проекции на соответствующие перпендикулярные к ней оси. Давление воды на верховую грань плотины действует по нормали к поверхности и, следовательно, имеет только одну проекцию Z. Зададим начало координат в средине основания плотины, положительное направление оси криволинейной координаты а—вверх, положительное направление оси координат Р—вправо. Воспользуемся географическими координатами. Координату любой точки поверхности замеряют как расстояние по меридиональной и параллельной линиям от начальных осей Ada—длина отрезка меридиана, Bd —длина отрезка параллели. [c.80]

Величины Иав теперь следует назвать параметрами изменения кривизны вопрос о том, как выразить в общем случае деформации ва И параметры изменения кривизны через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12.13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолютное удлинение элемента тп есть отрезок пп = v.zds, но длина этого элемента есть не ds, а ds i + z/R), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет [c.420]

Представим себе, что вокруг начала г описан шар, который опять лежит в области сферических волн, но радиус его бесконечно мал сравнительно с длиной волны. Назовем его поверхностью 1, элемент его обозначим через (Зх, а внешнюю нормаль к этому элементу через п. Чтобы иметь возможность совместно рассматривать цилиндрическую и кубическую трубки, назовем поверхностью 0 то поперечное сечение каждой трубки, которое прежде обозначали как сечение 2 = 0. Мы уже предположили, что расстояние ее от отверстия бесконечно мало сравнительно с длиной волны. Две поверхности / и 0 делят все рассматриваемое воздушное пространство на три части. Для каждой из двух внешних частей мы установили выражение ср уравнениями (21), (23) и (28) мы должны еще составить уравнение для средней части, ограниченной поверхностями о и 7, и именно такое, чтобы ф и — были непрерывны на [c.282]

Импульсное нагружение представляет собой кратковременное термосиловое воздействие с высокой концентрацией энергии. В слоистой конструкции будут возникать и распространяться волны напряжений, претерпевая многочисленные преломления и отражения от границ слоев. Соответствующий точный анализ напряженно-деформированного состояния слоистой оболочки при учете внутренней картины волновых явлений возможен при использовании динамических уравнений теории упругости. Однако реализация такого подхода чрезвычайно затруднительна. Используемые здесь линейные уравнения (9.1), основанные на гипотезе прямых нормалей для несущих слоев, правильно описывают распространение волн деформаций срединной поверхности, но искажают фазовую скорость изгибных волн, которая при уменьшении длины волны будет неограниченно возрастать. В действительности с большой скоростью движутся короткие волны малой амплитуды, которые из-за демпфирования в оболочке можно не учитывать. Волны, несущие основную энергию изгиба, имеют достаточно большую длину, движутся с конечной скоростью и вполне правильно описываются классическими уравнениями. Поэтому даже на основе линейной теории оказывается возможным выявить в первом приближении основные закономерности нестационарного поведения трехслойной оболочки при импульсном нагружении [286]. [c.491]

Объемный интеграл в левой части этого равенства есть суммарное количество движения рассматриваемого цилиндра. Правая часть, являющаяся главным вектором действующих на цилиндр сил, представлена интегралом по объему от массовых сил, интегралом по боковой поверхности цилиндра (г а) и двумя интегралами по торцам 2 0 и г = 1. Вектор N является внешней нормалью к торцу г = /, а вектор (—N) — внешней нормалью к торцу 2 = 0. Вектор напряжения, действующий на бесконечно малой площадке dsN, обозначен через tN. Устремляя в (1) длину I цилиндра к нулю, получаем, что левая часть и первые два интеграла в правой части обращаются в нуль, а последние два интеграла вычисляются по разным сторонам одной и той же площадки 2 = 0. Поэтому уравнение (1) принимает вид [c.62]

Для исследования уравнения Френеля применим геометрический метод. Из какой-то точки О в различных направлениях будем проводить прямые и на них откладывать отрезки, длины которых равны значениям нормальных скоростей в этих направлениях. Геометрическое место концов таких отрезков называется поверхностью нормалей. В кристалле каждому направлению нормали соответствуют два значения скорости. Поэтому поверхность нормалей в кристалле будет двойной поверхностью, т. е. состоит из двух слоев. Она представляет собой поверхность шестого порядка и имеет очень сложный вид. Чтобы составить представление о поверхности нормалей электромагнитных волн в кристалле, рассмотрим сечения ее координатными плоскостями XV, 2Х. [c.496]

Если числа Рейнольдса не слишком малы, то отошедшую ударную волну можно яссматривать как поверхность разрыва, используя при этом соотношения Гюгонио. Тогда численное решение уравнений Навье—Стокса удобно искать в полосе О < х < о, О < и < г(х), где в,п — система координат, связанная с телом ( — длина дуги, отсчитываемая от критической точки, п— нормаль к поверхности), Иг(х) - отход ударной вол ны, а 5 = о - некоторая граница расчетной области внизу по потоку. Строго говоря, в этом случае, помимо условий Гюгонио, необходимо еще одно граничное условие на теле или волне не останавливаясь на этом вопросе, заметим, что аппроксимация членов с вязкостью на волне с использованием внутренних узлов области формально замыкает разностную систему и может быть использована при решении поставленной задачи. Для автома- [c.139]

Срединную поверхность оболочки аппроксимируют совокунностью поверхностей и вписанньтх усеченных конусов (см. рис. 2.32). При этом срединная поверхность /-го конического участка определяется начальным радиусом, углом конусности длиной образующей Ij = Asj = S( - Sj и описьшается уравнением Гу = + (sy- i) osyj,-для текущего радиуса параллельного круга в текущей точке S,], где ifi — угол между нормалью к образующей и осью вращения для г-го конуса, при этом 1 < г < п (рис. 2.33). Угол ко- [c.73]

Один из путей уточнения классической теории оболочек связан с применением моделей, меиее жестких, нежели классические. Наиболее приемлемой является модель прямых нормалей (или сдвиговая модель) [51],согласио которой нормальный элемент оболочки после деформирования не остается перпендикулярным к деформированной срединной поверхности, а поворачивается на некоторый угол, ие искривляясь и не изменяя своей длины. В дальнейшем многие авторы предлагали другие обобщающие модели, иа базе которых были выведены лишь разрешающие уравнения в обобщенных смещениях. Вместе с тем оказалось, что иа базе сдвиговой модели возможно построение общей теории упругих оболочек, завершенной в такой же мере, как соответствующая классическая теория Кирхгофа — Лява. [c.3]

Здесь величина Г, как обычно, обозначает основной локальный параметр, контролирующий движение особой линии (см., например, формулы (1.12) (1.14) первой главы), а именно, составляющ)оо на нормаль kL в плоскости Х1Х2 локальной интенсивности инвариантного Г-интеграла, приходящейся на единицу длины особой линии L. (В правой части уравнений (3.8) стоят компоненты нормали к контуру L на плоскостиXiX2,2lb левой компоненты нормали к поверхности S .) [c.148]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Следовательно, вектор s /v — s/ должен быть перпендикулярен к границе раздела. Допустимые направления волновых нормалей s можно определить следующим образом. Из произвольной точки О па плоскости 21, как из начала координат, во всех направлениях s отложим векторы длиной 1/f, где v — фазовая скорость, соответствующая каждому направлению s согласно уравнению Френеля (14.2.24). Концы векторов образуют двухоболочечную поверхность, которая отличается от поверхности нормалей тем, что длина каждого радиуса-вектора составляет l/t вместо v. А-а поверхность называется обратной поверхностью волновых нормалей. Она соотвегсгвует лучевой поверхпости и поэтому, как и лучевая поверхность, представляет собой поверхность четвертого порядка. Поскольку искомый вектор s /y должеп быть таким, чтобы [c.631]

Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности в криволинейных ортогональных координатах, которое применяется при исследовании обтекания криволтейной стенки. Ось х в этой системе координат совпадает с контуром стенки, а ось у —с нормалью к этой стенке в рассматриваемой точке. Координаты точки Р на плоскости (рис. 2.4.3) равны соответственно длине х, отсчитывае-мой оль стенки, и расстоянию у. определяемому по нормали к ней. Предположим, что стенка является поверхностью вращения, [c.81]

Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13]

Для определения уравнения профиля несферической анаберрационной поверхности используется принцип Ферма (рис. 71). Из предметной точки А выходит сферическая волна, нормаль к которой является лучом Л М. После преломления волновой фронт должен остаться сферическим и стягиваться в точку изображения А . Оптические длины путей лучей по оптической оси АО А и по направлению AMA должны быть одинаковыми. Начало системы координат принимается в вершине поверхности. Преобразование выражений для опрбделения длин путей лучей, приводит к уравнению [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...