Пространство скалярных функций

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

Поле скалярной функции ф х, Х2, Хз t) можно расслоить семейством замкнутых поверхностей уровня функции в данный момент времени, определив их как геометрические места точек пространства, занятого полем, в которых функция Ф имеет одни и те же значения. Уравнением семейства поверхностей уровня будет служить [c.332]

В непрерывном поле скалярной величины через любую точку пространства можно провести линию постоянного значения этой скалярной величины. При этом в каждой точке скалярного поля значение производной от рассматриваемой величины будет зави сеть от выбора направления. По направлениям касательных к ли ниям постоянного значения производные равны нулю, а по нор мали к этой линии производные будут иметь наибольшие значения Градиент скалярной функции есть вектор, направленный по нор мали к линии постоянного значения скалярной функции в сто рону увеличения этой функции и равный по величине производной по направлению указанной нормали. [c.42]

Пространства вектор-функций определяются аналогично тому, как это делалось для скалярных функций. Например, можно рас- [c.41]

Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а = а (х, у, г), координаты его а , Оу, а —функции X, у, г например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль а определяет интенсивность поля. [c.231]

При этом скалярная функция /(г) рассматривается как удобное обозначение для записи компонент вектора f вдоль каждого направления из несчетного множества ) аправлений, соответствующих всем точкам г области V r(iV). Здесь уместно подчеркнуть разницу между вектором г и вектором /. Если г представляет собой вектор в обычном, геометрическом, в частности трехмерном, пространстве 3 [c.208]

Фокальная плоскость обладает следующими свойствами. Она фиксирована в пространстве и не перемещается при распространении трещины положение точки на ней связано с первым инвариантом напряжений в плоскости образца любая оптическая скалярная функция радиу-са ектора на фокальной плоскости является функционалом коэффициента интенсивности напряжений выбор света на фокальной плоскости можно рассматривать как оптическую фильтрацию. [c.115]

Пусть X — пространство граничных функций (скалярных или вектор-функций), в котором ищется решение некоторого граничного интегрального уравнения. [c.199]

Условившись в этих простейших определениях, посмотрим теперь, каким образом характеризовать пространственную изменчивость величип поля (изменение со временем величины в данной точке пространства характеризуется, очевидно, частной производной от этой величины по времени). Для этого следует упорядочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образуюш,их поле, расположив эти величины сообразно некоторому признаку численной их величине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции. [c.40]

Изменение скалярной функции координат. Пусть ф —скалярная функция точки в пространстве, так что значения функции ф образуют скалярное поле. Будем предполагать, что функция ф непрерывна вместе со своими первыми частными производными. Тогда существует, вообще говоря, семейство поверхностей, на каждой из которых функция ф постоянна. Мы назовем их поверхностями уровня функции ф. [c.46]

Потенциальная теория получила свое название по скалярной функции или потенциалу ф х, у, z, t), который служит для полного описания определенного ряда условий в пространстве и времени. Хотя потенциал является скалярной величиной, векторная функция, называемая его градиентом, может быть выведена из потенциала путем частного дифференцирования. При любой системе координат компонент градиента в любом направлении равен скорости изменения потенциала в этом направлении. Если положительный градиент потенциала ф представляется как скорость потока, тогда ее выражения в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат имеют следующий вид [c.67]

Схема построения интегрального уравнения такова в качестве неизвестной скалярной функции и принимаем электрическое поле в плоскости отверстия. Предполагаем (эта логика всегда лежит в основе вывода интегральных уравнений), что это поле известно и так как, кроме того, известно поле м = на металлической поверхности экрана (оно равно нулю), то задано поле по всей плоскости. Решается граничная задача — по электрическому полю на плоскости находим поле во всем пространстве слева и справа от плоского экрана. По этому полю находим магнитное поле, т. е. нормальные производные ди/дМ, в частности, на отверстии. Приравнивая нормальные производные поля слева и справа отверстия, получаем искомое интегральное уравнение для электрического поля на отверстии. [c.129]

Выписанная линейная по ц часть группы называется ядром группы. Пусть в пространстве переменных д задана некоторая скалярная функция Р(д). Преобразования д д переводят функцию Р[д) —> [c.211]

Последовательные положения точки в пространстве относительно выбранной системы отсчета вполне определяются заданием трех обобщенных координат 2(0> з(0 (трех скалярных функций времени /). [c.97]

Совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемого пространства в данный момент времени, описываемая скалярной функцией координат. [c.6]

Изложенные выше соображения предполагают изотропность свойств дисперсионной среды, а это значит, что ее дисперсионные свойства не зависят от выбранного направления. Если среда анизотропна, то I = n (S)/U где n-единичный вектор в направлении распространения фронта волны. При этом 11ф = оз/к=/ са, к/к) или ю = f (к), к = к , что означает зависимость частоты 00 не только от волнового числа, но и от направления распространения. Для однородной среды со и С/ф суть скалярные функции в /с-пространстве. [c.192]

Скалярная функция / (х, у, г), определённая во всех точках пространства, может рассматриваться, как функция точки Р х,у,г) [c.211]

Рассмотрение электронов или в общем случае спинорных частиц усложняется вследствие необходимости расширить группу операторов преобразований, чтобы включить преобразования векторных индексов, происходящие, когда блоховский вектор пробегает свои значения в базисном векторном функциональном пространстве (если блоховский вектор не просто скалярная функция, а имеет спинорные индексы). Излагаемый здесь материал допускает такое обобщение. [c.50]

Пусть (г) —скалярная функция пространственной переменной г в конфигурационном пространстве. Это означает, что в каждой точке г конфигурационного пространства определено (или известно) значение функции г1з. [c.50]

Рассмотрим полицилиндр К — [Т 1 а оо, дс < а) в (га -Ь 1)-мерном пространстве О п+1 = X / , есть -мерное евклидово пространство, / = (— оо < < оо). Пусть вещественная непрерывная скалярная функция К(дс,/) задана в К. [c.834]

В случае скалярных функций таким расширением является пространство ВУ. Представляет интерес построение векторного аналога пространства ВУ, норма в котором на гладких вектор-функциях переходила бы в (1). [c.193]

Для анализа краевых задач в перемещениях (6.34), (6.35) и соответствующих граничных условий нам потребуются пространства вектор-функций а(и71, и 2, ю), у которых я = 1, 2, 3, 4 вектор <а(и 1, и 2) Я , = 5, 6, 7, 8. Скалярное произведение в этих пространствах определим следующим образом. Пусть Э1, й2 имеют составляющие Ю1(и ц, м 12), < 2(гi 2l, 1022), ю, Ш2, и тогда [c.107]

При ином способе задания движения, так называемом естественном способе, в пространстве х, у, г задается кривая, по которой движется точка, — траектория точки. На траектории фиксируются начало, положительное направление отсчета и скалярная функция s(t), задаюш,ая длину дуги траектории от начала отсчета до того места, где в момент t находится движущаяся точка [c.16]

А. А. Ильюшиным был сформулирован постулат изотропии [8] образ процесса нагружения в пятимерном пространстве деформаций полностью опреде- Рис. 5.7 ляется только внутренней геометрией траектории деформаций Э з) и скалярными функциями — давлением P —dQ темпепатцпой T(s), скоростью s. —т. е. образ процесса инвариантен относительно преобразований вращения и отражения всего образа в (рис. 5.7). [c.99]

Говорят, что в линейном пространстве L задана скалярная функция ф = ф(и) векторного аргумента и, если каждому вектору и s L поставлено в соответствие число ф. Функция ф (м) называется линейной с1юрмой, если ф(Х + [хг ) = >1ф (г ) + [Яф(гр). Скалярная функция ф = ф(и ,. .., и ) р векторных аргументов называется р-линейной формой, если она линейна по каждому из своих аргументов. В частности, при р = 2 соответствующая форма называется билинейной. Билинейная форма ф (и, ) называется [c.308]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

В функциональном евклидовом пространстве скалярным произведением двух функций YjH Yi,b некоторой области изменения их аргументов назьшается определенный интетрал от произведения этих функций. Так, для функций одаого аргумента Yj= Yjix) на интервале [а,Ь] (айхйЬ) скалярное произведение имеет вид [c.261]

Мы будем каждый симметричный тензор второго ранга а(г) в фиксированной точке трехмерного евклидова пространства Кз [84] назьшать процессом и считать элементом некоторого функционального пространства Я<, т.е. пространства абстрактных функций, заданных на числовом отрезке О г В пространстве Ht можно ввести скалярное произведение двух произвольных процессов а(1) и а(2), например, по формуле [c.21]

ПДО в соболевских пространствах векторных полей на 5. Нам понадобятся теперь соболевские пространства вектор-функций на 5 и псевдодифференциальные операторы, действующие в этих пространствах. Более точно, эти функции будут векторными полями на 5, т. е. сечениями касательного расслоения Т8 (см. п. 3 33). Мы сохраним для соболевских пространств векторных полей обозначение Я (5). В пространстве Но 8) векторных полей скалярное произведение двух полей ф, ф, локально записанных в виде Ф = у е1 + Л2 и ф = ш е] + ш е2, определяется формулой [c.392]

ПДО сначала определяются на пространстве С°°(5) бесконечно гладких векторных полей. Если 4- — такой оператор и ю,, (02 — две скалярные функции пз С°°(5) с носителями в одной координатной окрестности, то оператор сй1 (сй2ф) = 1 з = гг е] + ш е2 записывается формулой [c.392]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

Скалярное поле есть часть пространства, каждой точке которого соответствует значение скалярной функции ср. Поверхности 9 = onst называются поверхностями уровня скалярного поля. В однозначном скалярном поле через общую точку не могут пройти две различные поверхности уровня. Каждому непрерывному скалярному полю соответствует векторное поле, полевой вектор которого указывает направление наибольщего изменения функции tf и которого значение равно [c.167]

Пусть ф, (ОЬ 10, То], / = 1, 2,. . ., полная ортонорми-рованная система (ПОНС) функций в гильбертовом пространстве вещественных функций 2 [О, Тд] с обычным скалярным произведением [I, 3]. Классические системы ортонормированных функций связаны с вполне определенными промежутками вещественной прямой, которые могут не совпадать с отрезком [О, Т ]. На основе классических систем на ограниченных отрезках вещественной прямой можно строить ортонормированные системы функций на других ограниченных отрезках, и, в частности, на [c.98]

Рассмотрим параметрическое описание поверхностей. Любую поверхность можно представить как движение кривой г=г(а), перемещающейся трехмерном пространстве как функция времени t, т. е. уравнение г—т(и, i) определяет поверхность. В качестве параметру не обязательно использовать время t, поэтому любая функция r=r( , v) может определять поверхность, где и и v — скалярные параметры. Координаты точек поверхности, заданной параметрическим уравнением, определяются по формулам х=х и, v), у=у(и, и), z=z(u, и). Если один из параметров и или v фиксиро-ва а другой переменный, получим следующие уравнения г— = r(Uo, v), r=r u, Vo), где о, — некоторые постоянные величи-jibi. 3TH уравнения описывают кривые, лежащие на поверхности r=r(u, v) для заданных значений uo или Vo и называемые параметрическими. Например, сфера с центром в начале координат и радиусом й описывается уравнениями z=a os и, х—а sin и os v, у—а sin V sin и, где и и v принимают значения в интервале от О 244 [c.244]

L Исследование условий интегрируемости системы дифференциальных уравнений, которой определяются метрические проективные пространства, привело нас к рассмотрению двух скалярных функций О и ф. Первая из них имеет то же значение, что и в проективном пространстве положив, как и раньше, 0 равным мы снова будем рассматривать поверхность 0 = 0 (1Хс) и назовем ее первой абсолютной поверхностью субпроективного пространства. Аналогичным образом мы введем в рассмотрение функцию Ф, связанную с функцией ф равенством [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...