Ляпунова поверхность

Лебега точка 210, 211, 215 Леви-Чивита символ 17 Ляпунова поверхность 63 [c.662]

Ляпунова поверхность 105 Ляпунова—Таубера теорема обобщенная 186, 262 [c.471]

Изложенные выще результаты полностью переносятся на случай, когда интегрирование производится по произвольной поверхности Ляпунова 5. Пусть некоторая точка до есть точка, где подынтегральное выражение имеет особенность второго порядка. Восстановим в этой точке нормаль к поверхности и, рассматривая ее как ось вращения, образуем цилиндр радиуса е. Обозначим часть полной поверхности, заключенную внутри этого цилиндра, через Ое ). Поскольку 5 есть поверхность Ляпунова, [c.62]

Под сингулярным интегралом на произвольной поверхности Ляпунова будем понимать следующее выражение [c.63]

Последующее изложение свойств потенциалов простого и двойного слоев требует дополнительных ограничений на форму поверхности 5. Будем считать, что эта поверхность (или кривая) в случае двух измерений есть поверхность Ляпунова, если в любой точке поверхности определена нормаль n q) и вы1]ол-няется неравенство [c.93]

Метод интегральных уравнений позволяет установить корректность гармонических задач в классе непрерывных краевых условий, когда граничная поверхность (или поверхности) принадлежит классу Ляпунова. Действительно, из установленной сходимости метода последовательных приближений будет следовать, что при заданной точности решения можно ограничиться определенным числом итераций и тогда задача сведется к вычислению конечного количества интегралов. Малые же изменения нулевого приближения (правой части) приведут соответственно к малым изменениям решения интегрального уравнения. [c.107]

Допустим теперь, что в пространстве на некоторой замкнутой поверхности Ляпунова 5 заданы усилия ф(<7). Тогда интеграл [c.547]

Приведем без доказательства теорему Ляпунова — Таубера если существуют предельные значения оператора напряжений от потенциала двойного слоя с одной стороны поверхности, то они существуют и с другой стороны, причем имеет место равенство [c.554]

Сделаем несколько замечаний общего порядка [27]. Выше были рассмотрены вопросы решения основных краевых задач теории упругости на основе представления смещений в виде соответствующих потенциалов. Получены сингулярные интегральные уравнения и установлены условия их разрешимости в предположении, что граничная поверхность принадлежит классу поверхностей Ляпунова, а правая часть —классу Г. — Л. В этом случае и решение принадлежит классу Г. — Л. [c.569]

Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью, то положение равновесия устойчиво. Если же центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривизны, то, согласно теоремам 1 и2 Ляпунова, имеет место неустойчивость. [c.494]

Функция Ляпунова ец построена выше для двух конкретных полей скоростей. Однако метод ее построения будет общим для любого поля скоростей. Это позволяет сформулировать две теоремы о равновесии и устойчивости цилиндрических потоков со свободной поверхностью. [c.62]

Возвращаясь к рис. 4.4, можно сказать, что уравнение (5.9) представляет собой баланс энергии массы жидкости, заключенной между контрольными сечениями 1-1 и 2-2, при прохождении этой жидкостью скачка изменения толщины вращающегося слоя. Эта масса жидкости является механической системой, имеющей одну свободную координату - радиус свободной поверхности х,. Первое слагаемое в (5.9) - производная от кинетической энергии этой системы на единицу ее массы. Второе слагаемое - производная от работы сил статического давления, вызванного центробежными силами. Последнее слагаемое в (5.9) есть производная от работы сил, которые были необходимы для сохранения импульса при построении функции Ляпунова в соответствии с уравнением количества движения. [c.98]

Величину где е > О — фиксированное число, можно рассматривать как возможное уклонение жидкости [8]. Условие (65) связано с данным Ляпуновым определением устойчивости формы равновесия жидкости как такой формы, для которой после сообщения жидкости достаточно малых возмущений форма л<идкости остается сколь угодно мало отличающейся от формы равновесия, по крайней мере до тех пор, пока на поверхности жидкости не образуются сколь угодно тонкие нитеобразные или листообразные выступы. Аналогичное явление имеет место и для дву. -и трех.мерного упругого континуума [34 . Это непроверяемое условие приходится вводить, ибо в противном случае из интеграла энергии (21) невозможно вывести заключение об устойчивости [8]. [c.301]

Заметим, что использование этих формул предполагает удовлетворение поверхности тела условиям Ляпунова, что в целом принято в МГЭ [152]. [c.64]

Через Пе(л ) обозначим т—1)-мерный круг в П(л ) радиуса е с центром в точке х, т. е. множество г] 1т)—х1< е , а через Ге(х) — множество всех точек уеГ, проекции которых Т1(г/) принадлежат Пе(л ). Если 6 достаточно мало, то Г (л ) является гладкой поверхностью и отображается на Пе( ) с помощью отображения у—>V](y) взаимно однозначно, что определяет однозначную функцию у ц) на Пе(л ). Будем предполагать, что е именно так и выбрано и Ге(х) является частью поверхности Ляпунова класса (см. 3 главы 1), 0<а 1. Это обеспечивает выполнение следующих неравенств (на Ге(х)) [c.46]

Доказательство. Будем использовать те же обозначения, что и в п. 4.3. В силу условий теоремы для каждой точки. г°еГи найдется такое е>0, что Ге( °) есть поверхность Ляпунова, отображение у—> t](i/) из Ге(л °) в Пе(л °) является взаимна однозначным и при некотором р>0 [c.52]

Пусть Г — часть Г, являющаяся поверхностью Ляпунова, и плотность непрерывно дифференцируема на Г. Тогда, как [c.55]

Aft 2) каждое множество представляет собой связный кусок поверхности Ляпунова и имеет границу ЙГ/, непрерывную по Липшицу [c.200]

Здесь tpi, ipi — плотности обобщенных потенциалов двойного и простого слоя Tij определены в примечании на стр. 53 верхние знаки относятся к внутренним задачам, нижние — к внешним. ИУ (1.5), (1,6) и аналогичные ИУ для задач о стационарных колебаниях однородной и неоднородной упругой среды исследованы в [5, 10, 12]. Подобные ИУ в теории медленных течений вязкой жидкости рассмотрены в [13]. ИУ (1.5), (1.6) относятся к классу двумерных сингулярных интегральных уравнений. Их свойства хорошо изучены в том случае, когда граница области представляет собой поверхность Ляпунова. [c.186]

Теорема /3.2. Инвариантная поверхность 2 , существование которой доказывается теоремой 13.1, асимптотически устойчива по Ляпунову. [c.214]

Пусть объем V, занимаемый неоднородным телом, ограничен поверхностью Ляпунова 5. Пространственная статическая задача термоупругости для неоднородных сред сводится к нахождению трех функций ы, (л ), удовлетворяющих в V системе уравнений [98] [c.91]

Первое слагаемое полученного выражения — потенциал простого слоя с непрерывной на 8р плотностью, второе — первые производные объемного потенциала с кусочно-непрерывной в Ур плотностью, если 5р —поверхность Ляпунова. Аналогично можно представить в (2.151) потенциал по области У о. Третье слагаемое — потенциал простого слоя с непрерывной на 8р плотностью, если 5р —по-верхность Ляпунова. [c.95]

На основании свойств потенциалов приходим к выводу, что перемещения непрерывны вместе со своими тангенциальными производными в У. Нормальные производные при переходе через каждую из поверхностей 5р претерпевают конечный скачок, оставаясь при этом непрерывными функциями точек поверхности 8р, если только 8р — поверхност > Ляпунова. [c.95]

Среднее квадратическое отклонение профиля неровностей поверхности от его средней линии на основании равенства Парсеваля—Ляпунова [c.45]

Допустим, что функция /( J, г) С т. е. имеет А-ю производную, принадлежащую классу Г. — Л. с показателем а. Тогда пищут, что поверхность принадлежит классу Д (а). Принята следующая классификация. Поверхность класса Л ф) называют гладкой поверхностью, поверхность класса Л1(а) — поверхностью Ляпунова, а поверхность класса Лг(0) — поверхностью с непрерывной кривизной. [c.93]

Перейдем к построению и исследованию интегральных уравнений, соответствующих задачам Дирихле и Неймана. При рассмотрении этих задач будем теперь полагать, что граничная поверхность есть поверхность Ляпунова, а краевые условия — функции Р и р2—непрерывные функции. [c.99]

Второй метод Ляпунова (метод бесконтактных поверхностей) был создан им применительно лишь к устойчивости в малом . Принципиальная возможность применения метода в большом и в целом до конца была выяснена Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским. В работах А. И. Лурье была сформулирована задача об абсолютной устойчивости регулируемых систем и второй метод Ляпунова был привлечен для решения этой задачи [48]. [c.249]

Функщ1я Ляпунова, построенная в [37], предполагает фиксированный момент количества движения, не зависящий от формы движения. Задача в [37] - изопериметрическая с фиксированным моментом количества движет я. Поэтому построить функцию Ляпунова в том случае, когда момент количества движения зависит от радиуса свободной поверхности, невозможно. [c.64]

В связи с этим возникла целесообразность краткого рассмотрения вопросов, оказавшихся дискуссионными, а именно построения функции Ляпунова йд [(4.10) (4.24) (4.29) и др.], обоснования метода принципа минимума кинетической энергии гл. 5, а также исходных положений М. А. Гольдштика в критике работы [61] и в построении метода расчета радиуса свободной поверхности во вращающихся потенциальных потоках в трубах при i/d > 1. [c.165]

Теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова относятся к силам, имеющим потенциал. Для силы тяжести иллюстрацией может служить тяжелый шарик на поверхности (фиг. 41). Вообще, если при малом отклонении опертого твердого тела или системы от положения равновесия центр тяжести повышается, равновесие устойчиво, если понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уровне — безразлично. В этом заключается так называемый принцип Торричелли. [c.378]

Аналогичное положение наблюдается и в случае а > р, = ar tg /ь когда невозможны режимы с остановками и существует лишь один установившийся режим движения частицы — безостановочное ускоренное скольжение вниз по поверхности В этом случае безостановочное движение устойчиво по моментам перехода в большом (хотя и не устойчиво по Ляпунову), так как в это движение переходит с течением времени любое другое движение, в котором скольжение частицы вниз началось в произвольный момент времеии t = 1 . Если существует только безостановочное ускоренное скольжение частицы и никакие другие установившиеся режимы движения невозможны, то безостановочное движение устойчиво в большом по моментам перехода, т. е. оно устанавливается независимо от значения момента начала сколь- [c.21]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать noBepxHO Tir V (х = С изнутри нарум<у, удаляясь от начала координат (рис. 11,й). [c.38]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Производные от начальных скоростей и wq сугцествуют и могут претерпевать разрыв при переходе через некоторые поверхности, удовлетворяюгцие трем условиям Ляпунова ). [c.131]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Пусть X — неугловая точка Г(л >еГл), v= vi, V2, vs = (л ), П(х ) — касательная плоскость к Г в точке Д 11 = 11(1/) — проекция точки уеГ на П(.и5 ), задаваемая выражением (4.6) при х=хР, Пе(л ) — круг в П(х ) радиуса е>0 с центром в точке х9, Ге(л ) — часть границы Г, проектируемая с помощью отображения ц у) на Пе(л ). Таким образом, введенные обозначения имеют тот же смысл, что ив п. 4.1 при т = 3. Предполагается, что величина 6 выбрана достаточно малой для того, чтобы Гк(л ) была поверхностью Ляпунова и чтобы отображение у—> ц у) было взаимно однозначным. При этом справедливы неравенства (4.7) — [c.50]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Лемма 3. Пусть выполнены следу ощые условия 1) Q — открытое ограниченное множество в R п = 2, 3), граница которого есть поверхность Ляпунова 2) суи ествует число /, такое, что любые две точки В можно соединить ломаной, лежаи ей в Q и содержащей не более чем I звеньев 3) /z, и е L o B), inf /z > 0 4) g В оо 0). Тогда задача 2 имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям [c.469]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...