Лебега точка

Лебега точка 210, 211, 215 Леви-Чивита символ 17 Ляпунова поверхность 63 [c.662]

В дальнейшем будут использованы некоторые теоремы из теории меры Лебега. Для произвольного множества 3 в т-мерном пространстве обозначим через (Д) его внешнюю меру Лебега. Если 3 измеримо по Лебегу, то V 0.) будет обозначать меру Q. Будем в дальнейшем предполагать, что рассматриваемое множество траекторий Ш имеет конечную внешнюю меру Т (ЗЛ). Обозначим через 21 некоторое измеримое подмножество множества Ш и положим 21 = S 2l (п = О, 1,. ..) при этом т — какое-нибудь фиксированное положительное число для краткости будем писать вместо Sr просто S. Тогда 21 также измеримы, и 21 С ШТ. Для множеств [c.358]

Иными словами, если угол eM/Z выбран случайно в смысле меры Лебега, то с вероятностью единица каждая рациональная функция, у которой неподвижная точка имеет мультипликатор, равный бу- [c.152]

Теорема ([178]). Существует множество второй категории 1, г>2, такое, что если то верно следующее для любого х>0 существует 6>0 и открытое подмножество так что а) мера Лебега меньше, чем х6 в) если [c.142]

Эти гипотезы не доказаны. Более того, общепринятого определения аттрактора не существует. Проблема предельного поведения траекторий исследуется с двух сторон. С одной стороны, определения аттрактора даются так, чтобы каждая диссипативная система (для простоты ниже речь идет именно о таких системах) имела аттрактор. При этом аттрактор не должен содержать лишних точек и должен совпадать с тем пространством установившихся режимов , которое наблюдается в численном или натурном эксперименте. Например, максимальный аттрактор диссипативной системы — пересечение всех сдвигов поглощающей области преобразованиями фазового потока за положительное время — может быть гораздо шире пространства установившихся режимов . На рис. 58а показана динамическая система с поглощающим кольцом, максимальный аттрактор которой — окружность, содержащая два положения равновесия — седло и узел. Фазовые кривые стремятся к седлу из множества начальных условий меры нуль почти все (в смысле меры Лебега) фазовые кривые стремятся к узлу, который и следует считать физическим аттрактором . [c.156]

Простейшими примерами ДС могут служить каскад и поток, определяемые одной и той же ф-лой T x=Fr(x + tix), где х — точка п-мерного единичного куба п>1 а — векторный параметр, а Fr(x+ tx) =. v- -ra- [x + tкомпонент вектора х+1<х (из каждой компоненты га, вычтена её целая часть В качестве инвариантной меры берётся я-мерный объём (мера Лебега). Отождествляя К" с и-мерным тором (при и = 1—с окружностью), говорят, что ДС порождена сдвигами на торе (поворотами окружности), Траектории этой системы образуют обмотку тора (рис. 1, на к-ром п = 2), причём [c.626]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Так как //г непрерывна и ограничена в проколотой окрестности точки а, то Р интегрируема по Лебегу в области 71,, 1/4. Ш [c.164]

Так как г является точкой Лебега для фи/ = ф(у) — Ф (г), / 6 Ь (5), то [c.211]

Если примем во внимание определение сингулярного интеграла и то, что почти все точки поверхности 5 являются точками Лебега для ф, из теоремы 2.2 непосредственно следует 2.5 в случае замкнутой поверхности 5. [c.215]

Если функция / [х, у) лишь непрерывна, то формула (2) п. 5, вообще говоря, несправедлива, так как в этом случае функция Р (х, у) может не иметь частных производных по х и г/ в обычном смысле. Но можно обобщить понятие частных производных таким образом, чтобы функция Р (х, у) оставалась дифференцируемой и в этом случае. А именно, если понимать частные производные в смысле С. Л. Соболева, то в случае, когда функция / (х, у) лишь непрерывна, равенство (2) п. 5 имеет место почти всюду в 8. Более того, это равенство имеет место почти всюду в 8, если функция / (ж, у) лишь интегрируема по Лебегу. Доказательство этих результатов дано И. Н. Векуа [8]. [c.669]

Последний интеграл в правой части этого выражения можно оценить, используя теорему Римана — Лебега, согласно которой если d g/ds йз < 00, то мы имеем [c.340]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

Эти соображения применимы практически дословно к любому сдвигу на торе, где элемент 7 = (7[,..., 7 ) таков, что числа 71,..., 7 и 1 рационально независимы. По предложению 1.4.1 это условие необходимо и достаточно для минимальности Т . В 1.4 мы показали, что то же самое условие является необходимым для топологической транзитивности и, следовательно, поскольку носителем меры Лебега является весь тор, по второму утверждению предложения 4.1.18 это условие также необходимо для наличия эргодичности относительно меры Лебега. [c.156]

То же доказательство может быть проведено для линейного потока если UJ удовлетворяет условию предложения 1.5.1. Так же как и в случае сдвигов, это условие является необходимым для наличия топологической транзитивности и эргодичности относительно меры Лебега и достаточным для наличия минимальности и строгой эргодичности. [c.157]

Предложение 4.2.2. Если числа 7[,..., 7 , 1 рационально независимы, то сдвиг эргодичен относительно меры Лебега. [c.157]

Ф(х) для некоторой измеримой по Лебегу функции Ф 5 —>Е, то для любой эргодической инвариантной меры отображение / метрически изоморфно вращению и существует несчетное множество различных эргодических инвариантных мер. [c.159]

Чтобы понять теорему и природу ее применения, необходимо прежде всего упомянуть меру (Бореля-Лебега), то есть вероятность в смысле схематически описанном Пуанкаре в третьем томе его Новых методов в небесной механике . Ограничимся случаем отрезка прямой единичной длины с координатой ж, О ж 1. Предположим, что имеется конечное множество нeпepe eкaюп иx я интервалов общей длины I < 1. Вероятность (в определенном интуитивном смысле) того, что точка, взятая наугад, лежит на одном из этих интервалов, равняется I, а вероятность того, что она лежит в дополнении этого множества, очевидно, 1 — [c.349]

Лемма П34Л0. Почти каждая (в смысле Лебега) точка соо принадлежит множеству ЩК) с соответствующим К >0 и, следовательно, принадлежит По К)). [c.248]

Рассмотрим твердое тело, масса которого распределена по кривой, поверхности или объему обозначим через р плотность массы, зависящую, вообще говоря, от точки. Введем для краткости элемент массы dm=pdx, где d% — элемент дуги, площади или объема соответственно (более общо говорить о мере Лебега dm тогда охватывается и дискретное распределение масс). В произвольной декартовой системе координат Oxyz в случае, например, пространственного распределения масс dm=p x, у, z)dxdydz. Условимся писать сокращенно [c.202]

Квадартично интегрируемой на множестве D точек г, т называют действительную или комплексную функцию /(г, т), если существует в смысле Лебега интеграл [c.208]

Если мпожоство возможных исходов не дискретно, а континуально, то В. Р(А) события А определяют как отношение меры Лебега подмножества благоприятных исходов к море Лобо1 а множества всех исходов. [c.261]

МАТЕМАТЙЧЕСКИИ МАЯТНИК — см. Маятяик. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) случайной величины — числовая характеристика случайной величины, Если X = Х(ш) — случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (П, К, Р) (см. Вероятностей теория), то её М. о. МХ (или ЕХ) определяется как интеграл Лебега [c.62]

Наглядное представление о смысле понятия энтропии (допускающее для нек-рых классов ДС строгое обоснование) можно получить следующим образом. Пусть Т ] эргодич. каскад, фазовым пространством к-рого служит двумерная область, а инвариантной мерой —площадь (мера Лебега). Применив преобразование Т к кружку В малого радиуса е, получим множество Т В той же площади, но, возможно, др. формы. Если энтропия положительна, то граница области Т В с ростом t будет становиться всё более извилистой, нерегулярной. Величину этой нерегулярности можно измерить площадью s-окрестности множества Т В при не очень больших t (порядка 1пе она увеличится по сравнению с площадью В примерно в ехр(йг) раз, где h—энтропия каскада. При А = 0 эта площадь растёт медленнее, чем экспоненциально, или не растёт совсем. В неэргодич. случае фазовое пространство разбивается на инвариантные части Ai,...,A , в каждой из к-рых может быть свой показатель скорости, а энтропия получается усреднением этих показателей с весами ц( ,), i= Отсюда видно, что энтропия характеризует ско- [c.630]

Кроме энтропии в Э.т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о топологич. энтропии— числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру ц, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h , зависящую, вообще говоря, от ц. Ехли фазовое пространство X компактно, то supA по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией А, р. Отсюда следует, что А, р является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера ц, для к-рой h =htop, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для авто орфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э.т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич, давлением (см. ниже). [c.631]

Иногда рассматривают кусочно-монотонные отображения более общего вида, когда число отрезков монотонности бесконечно, а производная может в отд. точках принимать значения 1 и —1, Самый известный пример этого рода—преобразование Гаусса, определяемое на отрезке [О, 1] ф-лой 73с = Рг(/(д )), где f x) = jx при и/(0) = 0. Тем самым Тк= х—пари l/(/i+l) 1 являются точками разрыва и, кроме того, / ( ) = Если преобразование из первого примера было связано с разложением в двоичную дробь, то для преобразования усса ту же роль играет разложение в непрерывную (или цепную) дробь пусть x=gi(x), gzix),. .. — такое разложение для л е 0, 1) тогда, как и в первом примере, g (7x)=g +, (х), п=1, 2,. ... Преобразование Гаусса существенно отличается по форме от первых двух примеров. Однако порождённые ими ДС имеют сходные эргодич. свойства по отношению к естественным инвариантным мерам. В первом и втором примерах такой мерой является обычная длина (мера Лебега), а в третьем — вероятностная мера ц, к-рую можно задать нек-рой плотностью (т. е. n(dx)=p(x)dx). Инвариантность меры относительно преобразования Гаусса приводит к равенству р(л)=((1+дг) п2)- [c.634]

В [17] можно найти также теорему, в которой условие 2) заменено на условие Зигеля [91] почти все (в смысле меры Лебега [92]) точки со тг-морпого единичного куба удовлетворяют оценке [c.108]

Использование того факта, что все малые знаменатели для большинства в смысле меры Лебега (см. [92]) иррациональных частот удовлетворяют некоторым оценкам снизу, вытекающим из арифметических свойств иррациональных чисел [114]. Если частоты. ..,п т суть рациональные числа, то очевидно, что всегда найдется целочисленный вектор к, для которого выполняется условие точного резонанса (0-резонапса) к, " ) = = О, но множество рациональных чисел счетно и, следовательно, мера Лебега этого множества равна пулю. [c.132]

Следующий важный результат принадлежит Гильдену. Он доказал, что для почти всех 7 (в смысле меры Лебега) ряд (3) сходится. Отметим, что в то время (1888 г.) не была развита теория меры, и Гильден использовал вероятностные термины вероятность расходимости ряда (3) равна нулю. [c.198]

Нетрудно показать, что если вектор а является собственным вектором оператора /, то фа.эовый поток уравнений (7.5) сохраняет стандартную меру в IR = о ,7 . Как отмечено в [90], если 1а ф Ха, то при 6=0 система (7.5) не имеет даже абсолютно непрерывной (по отношению к мере Лебега в IR = о , 7 ) инвариантной меры. Поэтому будем предполагать, что и в общем случае вектор а направлен вдоль одной из осей инерции тела без ограничения общности можно считать, что а имеет компоненты О, 0,1. [c.54]

Для всякой периодической орбиты у с минимальным периодом t(y) выберем точку х у и определим меру (нетюр-мироваииую) ь)у, которая является образом меры Лебега иа полуинтервале [0,т(у)) при отображении i- fi(x) (аналогичное определение в случае каскада сопоставляет каждой периодической точке меру I). Обозначим СОе(/) множество периодических орбит, у которых период (не обязательно минимальный) содержится в интервале (/ — e,/ + g). Обозначим N i)= X (y) и для любого борелевского множе-(I) [c.234]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...