Проблема геодезических линий

Этот результат показывает, насколько общий характер имеет проблема геодезических линий то-мерного многообразия. [c.50]

Применение теоремы Пуанкаре к проблеме геодезических линий. Проблема геодезических линий является, разумеется, гамильтоновой, причем главную функцию Н представляет квадрат скорости. В четырехмерном многообразии состояний движения четырехкратный интеграл [c.190]

В заключение я сделаю еще два замечания относительно проблемы геодезических линий. Во-первых, заключение о том, что существуют по крайней мере две геодезические линии, пересекающие данную геодезическую линию типа минимакса ровно в двух точках каждая, справедливо, несомненно, для поверхностей значительно более общего вида, чем рассмотренные. [c.193]

Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи . Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, 6). Этот пример является еще болсс конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [c.249]

Наконец, из изложенного в 179 следует, что при фиксированном значении постоянной энергии к проблема интегрирования уравнений Лагранжа (16а) эквивалентна проблеме геодезических линий на поверхности 8л, на которой квадрат элемента дуги йз- выражается формулой [c.205]

Геодезическая проблема. Построение преобразования ТТ. Мы переходим теперь к рассмотрению задач, связанных с геодезическими линиями на аналитической поверхности. Для того, чтобы получить насколько возможно более конкретные результаты, мы ограничимся случаем замкнутой выпуклой поверхности 8, хотя окажется, что эти ограничения не являются необходимыми для приводимого ниже рассуждения. [c.185]

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а > Ь > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—-1893 гг. Герц ), разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей . Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами—Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то [c.849]

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи скрытых движений дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику. [c.229]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—1893 гг. Г. Герц разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы Герц не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя, кроме наблюдаемых, еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логиче- [c.222]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Во-вторых, если выпуклая поверхность симметрична в пространстве относительно плоскости, содержащей геодезическую линию g, то будут существовать различные замкнутые геодезические линии, пересекающие g дважды под прямыми углами. Эти симметричные геодезические линии могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые я применил при изучении известных симметричных периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел (цитировано выше). Действительно, если g минимаксного типа, то преобразования Т и Т оказываются тождественными( °), и ТТ оказывался квадратом про-изведеиия двух инволюторных преобразований так же, как основное преобразование в ограниченной проблеме трех тел. [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...