Принцип наименьшей кривизны

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕЙ КРИВИЗНЫ [c.191]

Принцип наименьшей кривизны [c.191]

Рассмотрим дифференциальный принцип, родственный принципу наименьшего принуждения, — принцип наименьшей кривизны Г. Герца. Этот принцип относится к системам со стационарными связями. [c.191]

Из равенства (II. 138) вытекает принцип наименьшей кривизны. [c.194]

Одним из следствий принципа наименьшей кривизны является утверждение, что несвободная материальная точка, движущаяся по некоторой гладкой поверхности, при отсутствии активных сил описывает геодезическую кривую. Это было доказано в 225 первого тома. Принцип наименьшей кривизны обобщает ряд результатов, полученных при рассмотрении динамики точки. [c.194]

Понятие относительной кривизны позволяет использовать различные формы принципа наименьшего принуждения [13], полученные сравнением отклонений движений друг от друга по мере принуждения Гаусса. Обоснование новых формулировок принципа наименьшей кривизны для систем, в которых имеются и силовые поля, и связи, не только однородные относительно скоростей (и не только удерживающие), даётся в п. 11.3. [c.91]

Принцип наименьшей кривизны. Получим формулировку принципа наименьшей кривизны для систем с идеальными удерживающими нестационарными связями с помощью принципа наименьшего отклонения [7]. В этом принципе наряду с данной (несвободной) системой рассматривается так называемая освобождённая система система, состоящая из тех же материальных точек, движение которых ограничено лишь частью связей. Материальные точки освобождённой системы находятся под действием тех же активных сил и имеют то же состояние. В пространстве координат Герца (14) с евклидовой метрикой [c.91]

Неравенства (26) в координатном пространстве Герца выражают принцип наименьшей кривизны систем с нестационарными удерживающими связями на множестве траекторий мыслимых движений, в которых касательные ускорения материальных точек равны касательным ускорениям в их действительном движении, траектория действительного движения системы со связями имеет наименьшую относительную кривизну по отношению к траектории действительного же движения системы, полученной освобождением от любой части удерживающих связей. [c.93]

Аналогичный приём ограничения на принимаемые к сравнению мыслимые ускорения позволяет получить из других форм принципа наименьшего отклонения [13] соответствующие утверждения принципа наименьшей кривизны. Например, из принципа наименьшего отклоне- [c.93]

Идеи Гаусса были развиты в конце XIX века Герцем, которому принадлежит истолкование принципа Гаусса как принципа наименьшей кривизны (наименьшей кривизны траектории изображающей точки). [c.267]

Принцип Герца наименьшей кривизны 194 [c.541]

Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [c.260]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

Проверить, что в случае материальной точки, удерживаемой на поверхности без трения, принцип прямейшего пути (п. 5) определяет траекторию как такую кривую, которая во всякой своей точке имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими кривыми, проведенными на поверхности и выходящими из этой точки в том же самом направлении (определяемом состоянием движения). [c.454]

Принципы наименьшего действия и наименьшей кривизны [c.327]

Наиболее перспективна, по-видимому, тенденция рационального использования образов всех трёх картин [16]. К этому наименее подготовлен подход Герца. Классический принцип прямейшего пути сформулирован как эмпирический основной закон , объединяющий обычный закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение [27]. Позже Дж.Л. Синг с помощью введённого им понятия относительной кривизны обосновал более общее утверждение принципа, допускающее наличие силового поля [137. [c.84]

Для учёта заданных (активных) сил, не являющихся, вообще говоря, потенциальными, и связей, допускающих применение принципа наименьшего принуждения, в работе [137] вводится так называемая динамическая кривизна К , равная положительному квадратному корню из выражения [c.91]

Поскольку (17) совпадает с принуждением по Гауссу, принцип наименьшей (динамической) кривизны (17), сформулированный Сингом, тождествен принципу наименьшего принуждения. Далее будем изучать свойства траектории, изображающей точки с помощью понятия кривизны по Герцу (16) геометрической кривизны [27]), а также понятия относительной геометрической кривизны двух траекторий [137], определяемой как модуль разности векторов кривизны этих траекторий. Например, если траектории 1 и 2 имеют векторы кривизны К1 и К2, то в равенстве [c.91]

Равенство (25) получено как следствие принципа наименьшего отклонения при отыскании действительного ускорения в множестве сравниваемых мыслимых ускорений, различающихся только нормальными составляющими (и следовательно, кривизной траекторий). [c.93]

Synge fl] нижеизложенный метод является более прямым. Н о г а к [8] опубликовал недавно теорему о наименьшей кривизне без указания на мой метод, но мне его рассуждения представляются неясными. Относительно классического принципа наименьшей кривизны или наименьшего принуждения, в котором геометрический смысл не столь ясно усматривается, см. Whittaker [1] стр. 285 русского перевода. [c.21]

ГЁРЦА ПРИНЦИП (принцип наименьшей кривизны) — один из вариационных принципов механики, согласно к-рому при отсутствии активных сил из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых наложенными связями траекторий, действительной будет траектория, имеющая найм, кривизну, или прямейшая . По этой причине Г. п., наз. принципом прямейшего пути, можно рассматривать как обобщение галилеева инерции закона. При применении Г, п. к механич. системе, состоящей из п материальных точек, под траекторией системы понимают кривую в Зл-мерном пространстве, элемент дуги к-рой определяется равенством [c.443]

Принцип Даламбера — Лагранжа для идеальных связей в аспекте тензорного исчисления и неголономной дифференциальной геометрии установил 3. Горан . Соответствующее обобщение принципа наименьшей кривизны Гаусса — Герца принадлежит 3. Гораку и Дж. Сингу . Этот принцип является более общим ао сравнению с принципом Даламбера — Лагранжа, так как включает в себя и случай пеидеальных связей. [c.104]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

ГЕРЦА ПРИНЦИП, принцип наименьшей кривизны, один из вариац. принципов механики, устанавливающий, что при отсутствии активных (заданных) сил из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых связями, траекторий действительной будет траектория, имеющая наименьшую кривизну. Этот принцип наз. также [c.114]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Пусть кроме условий, принятых в 1, дополнительно имеется предположение, что все связи являются катастатическими. Тогда касательные ускорения в действительном движении (и мыслимых движениях, принятых к сравнению) равны нулю и из (25) следует принцип прямейшего пути Герца, который можно рассматривать как обобщение закона инерции Галилея система движется по прямейшему пути (т. е. по пути наименьшей кривизны) с постоянной по величине скоростью. [c.93]

Г. п. тесно связан с принципом наименьшего цринуждения (см, Гаусса принцип), поскольку величина Z, наз. принуждением, пропорц. квадрату кривизны при идеальных связях (см. Связи механические) оба принципа имеют одинаковое матем. выражение 6Z=0. Г. п. был применён нем. учёным Г. Герцем (1894) для построения его механики, в к-рой действие активных сил заменяется введением соответствующих связей. С. м. Тарг. ГЕТЕРОГЕННАЯ СИСТЕМА (от греч. heterogenes — разнородный), неоднородная термодинамич. система, состоящая из различных но физ. св-вам или хим. составу частей фаз). Смежные фазы Г. с. отделены друг от друга физ. поверхностями раздела, на к-рых скачком изменяется одно или неск. св-в системы (состав, плотность, крист, структура, электрич. или магн. момент и т. д.). Примеры Г. с. вода и водяной пар над ней (вода в двух агрегатных состояниях), уголь и алмаз (две различные но крист, структуре фазы одного в-ва — углерода), сверхпроводящая и нормальная фазы сверхпроводника, несмешивающиеся жидкости (напр., вода и растит, масло), композиц. материалы (волокнистые и дисперсноуплотнённые, содержащие различные по структуре хим. в-ва в ТВ. состоянии). Различие между Г. с. и гомогенной (однородной) системой не всегда ясно выражено. Так, переходную область между гетерогенными механич. смесями (взвесями) и гомогенными (молекулярными) р-рами занимают т. и. коллоидные р-ры, в к-рых ч-цы растворённого в-ва столь малы, что к ним неприменимо понятие фазы. [c.114]

НАИМЕНЬШЕЙ КРИВИЗНЫ ПРИНЦИП, то же, что Герца принцип. НАЙКВИСТА ФОРМУЛА (теорема Найквиста), соотношение, определяющее величину тепловых флуктуаций тока или напряжения в электрич. цепи. Получено амер. физиком X. Найквистом (Н. Nyquist) в 1928. Согласно Н. ф., обусловленное тепловыми флуктуациями, ср. значение квадрата напряжений на концах проводт ника с сопротивлением И, находящегося в состоянии теплового равновесия при абс. темп-ре Т, равно [c.443]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...