Энтропия Г-теорема

В то же время, на основании сказанного раньше легко видеть, что, вводя таким образом вероятностные предположения, которые только и делают возможным переход от интегральной /Г-теоремы к локальной , мы делаем допущение, которое отнюдь не является логически очевидным и физически правильным. В самом деле, аргументы 12 и 13 целиком сохраняются и по отношению к рассматриваемому случаю. Эти аргументы сводились к невозможности определить условия опытов, необходимых для того, чтобы проверить указываемое распределение вероятностей, т. е. для того, чтобы придать ему физический смысл. Рассматриваемая постановка задачи отличается лишь тем, что вместо того, чтобы говорить о геометрических вероятностях (о всех микросостояниях выделенной области), мы говорим о вероятностях элементов дискретного бесконечного множества, которые соответствуют различным осуществлениям данного макроскопического состояния (данного значения энтропии) при движении по заданной бесконечно простирающейся динамической траектории. Аргументы 12 и 13 показывают, что не может иметь никакого физического смысла категория испытаний, при которых точки заданной динамической траектории, характеризующиеся определенным значением энтропии и соответствующие различным моментам эволюции системы, обладали бы определенными вероятностями (например, были бы одинаково вероятными) быть обнаруженными в данный момент. [c.116]

В каком бы состоянии (жидком или твердом, в виде чистого вещества или химического соединения) ни существовало вещество, энтропия его согласно тепловой теоремы Нернста при Г 0 имеет одно и то же значение (если вещество в каждом из этих состояний находится в термодинамическом равновесии). В частности, при Т О энтропии любого вещества в жидком и твердом состояниях равны между собой, а энтропия смеси, состоящей из 1 кмоль вещества А и 1 кмоль вещества В, равна энтропии 1 кмоль их химического соединения АВ. [c.105]

Кванты проникли также в такую область науки, в которой их никто не ожидал встретить,—в теорию газов. Метод Больцмана оставлял неопределенным значение аддитивной константы, входящей в выражение для энтропии. Чтобы получить возможность применения теоремы Нернста и получить точные значения химических констант, Планк ввел кванты и сделал это в довольно парадоксальной форме, приписав элементу фазового пространства молекулы конечное значение, равное Л . Изучение фотоэлектрического эффекта привело к новой загадке. Фотоэлектрическим эффектом называют испускание веществом движущихся электронов под влиянием излучения. Опыт показывает, что энергия испущенных электронов зависит от частоты возбуждающего излучения, а не от его интенсивности, что является парадоксальным. Эйнштейн объяснил в 1905 г. это странное явление, приняв, что излучение может поглощаться только квантами hv с тех пор считается, что если электрон поглощает энергию к и для выхода из вещества затрачивает работу w, то его конечная кинетическая энергия будет hv — и/. Этот [c.643]

Два закона термодинамики означают существование двух функций состояния рассматриваемой системы ее внутренней энергии и энтропии. Исходя из свойств некомпенсированной теплоты, я в 1922 г. установил существование еще одной функции состояния, связанной с физикохимическими изменениями, а именно сродства А. Чтобы получить этот результат, я ввожу понятие координаты химической реакции проходящей в закрытой системе, а также необходимые и достаточные условия, чтобы функция А оставалась постоянной, если меняется тип превращения. Этот метод дает возможность непосредственно использовать классические теоремы термодинамики для необратимых реакций в системе и выявляет роль, которую играет скорость реакции d ldt. [c.14]

Докажем теперь важную теорему — теорему Нернста (о которой мы уже упоминали в феноменологической термодинамике в 10), согласно которой энтропия газа при Г = 0 К является величиной постоянной, не зависящей ни от каких переменных параметров (давления, объема и т. д.). Как мы убедимся ниже в ходе доказательства, во многих случаях эта постоянная равна нулю, и поэтому часто теорема Нернста так и формулируется [c.199]

Нетрудно проверить, что переменные слагаемые в этом выражении совпадают с переменными слагаемыми в термодинамической формуле для энтропии идеального газа (формула (4.5) при у = 5/2). Аддитивная постоянная в (40,7) существенно определяется объемом ячейки а. Следует отметить, что формула энтропии (40,7), так же как и формулы для других термодинамических величин, полученные в этом параграфе, непригодна при низких температурах. Не следует поэтому удивляться тому, что при Г -> о согласно (40,7) 5 в противоречии с теоремой [c.205]

Таким образом, энтропия и теплоемкость бозе-газа стремятся к нулю при Г 0 в согласии с теоремой Нернста, а давление его не зависит от объема. В этом отношении бозе-газ сходен с насыщенным паром. Это сходство объясняется тем, что конденсированные атомы в состоянии с о =0 не обладают импульсом и не вносят вклада в давление. [c.268]

Покажем, наконец, что теорема Нернста, доказанная в 39 для идеальных газов, справедлива и для систем взаимодействующих частиц. Мы ограничимся для простоты рассмотрением Г-Г-Л -системы. Согласно формулам (63.11) и (63.1), энтропия системы равна [c.325]

Кинетическое уравнение, выведенное Больцманом в 1872 г., оказалось столь успешным и сыграло столь важную роль имении потому, что из него вытекала возможность определения энтропии, а также следовало, что энтропия обладает свойством (12.2.2). Таким образом, теория Больцмана исторически была первой теорией, объясняющей необратимость на ( почти ) механическом уровне. Теорема Больцмана известна также под названием Н-тео-ремы такое название объясняется тем, что Больцман использовал букву И для обозначения величины [—7 (х f)b [c.55]

В заключение следует отметить, что в соответствии с теоремой Нернста (III начало термодинамики), согласно которой энтропия системы стремится к нулю при Г-> 0, любой твердый раствор не может быть термодинамически равновесным при низких температурах, поскольку энтропия смешения зависит только от концентрации и не обращается в нуль при О При достаточно низкой температуре твердый раствор. должен распадаться либо на чистые компоненты, либо на промежуточные фазы стехиометрического состава с упорядоченным расположением атомов в кристаллической решетке. Однако распад наблюдается не всегда ввиду ничтожно малой скорости диффузии при низких температурах. [c.197]

Так как мы определяли только разности энтропий между некоторыми двумя состояниями системы, то приведенная выше формулировка теоремы Нернста физически дол кна быть интерпретирована так все возможные состояния системы при температуре Г = О имеют одинаковую энтропию. Поэтому, очевидно, удобно выбрать состояние системы нри Г = О как стандартное [c.121]

В каком бы состоянии —жидком или твердом, 1в виде чистого вещества или химического соединения — не существовало вещество, энтропия его согласно тепловой теореме п,ри Г -> О имеет одно и то же значение, если только вещество в каждом из этих состояний находится в термодинамическом равновесии. [c.57]

Теорема 1. Если эйлерова характеристика х(М) < О гл энергия /г > О, то топологическая энтропия ограничения системы на уровень энергии положительна. [c.149]

Весьма наглядным и вместе с тем строгим методом построения существования энтропии для реальных процессов может служить метод, предложенный проф. Н. И. Белоконем в 1954 г. на базе использования теоремы теплового равновесия тел. [c.78]

ИЛИ адиабаты холодного сжатия. В самом деле, формула (11.1) следует из общего термодинамического соотношения Тй8 = йг - -pdV, если учесть, что температура Т равна нулю. Но при Г = О энтропия 5 по теореме Нернста также равна нулю, т. е. остается постоянной. Поэтому изотерма Г == О является одновременно и адиабатой = 0. [c.538]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Доказательство. Согласно теореме 18.3.3 Л представляет собой объединение непересекающихся замкнутых подмножеств Л, и... иЛ и эти подмножества циклически переставляются отображением /, причем / — топологическое перемешивание на множествах Л . Теорема о спецификации 18.3.9 и следствие 6.4.10 позволяют нам применить теорему 20.1.3 к отображению для каждого г. Очевидно, однозначно определенные меры максимальной энтропии для / переставляются отображением /, а их усреднение /-инвариантно. Обратно, если д — /-инвариантная мера, обладающая максимальной энтропией, то условная мера на любой топологически перемешивающей компоненте / — однозначно определенная мера максимальной энтропии. [c.621]

Будем считать, что энтропия остается конечной и непрерывной при Г -> 0. (Это предположение эквивалентно теореме Нернста.) Показать, что каждая из величин X = Ср, 1 , 1р, т , гпр стремится к нулю в этом пределе. [c.44]

Замечание 12.34. По определению, энтропия потока (pt в непрерывном случае равна h (pt). Если (М, /i, pt) — К-поток (см. определение 11.1), то (М, /г, pi) — ii-система. Следовательно (теорема 12.31), энтропия h((pi) ii-потока положительна. [c.51]

Теорема 4.1 (Я. Г. Синай [43]). Любые два автоморфизма Бернулли с одинаковой энтропией слабо изоморфны. [c.53]

Теорема 1.5 (см. [20]). Если Г — эргодический автоморфизм с энтропией Н Т), то Н Т) = 1/2 с Т), где с(Т) —нижняя грань множества таких чисел 0, что Т допускает а. п. п. I со скоростью f(n) —в/1п п. [c.73]

Эта формулировка третьего начала термодинамики принадлежит Планку она, как и предшествующая ей тепловая теорема Нернста (согласно которой в области абсолютного нуля температуры энтропия любого тела в состоянии равновесия не зависит от температуры, объема и других параметров, характеризующих состояние тела 1906 г.), является обобщением многочисленных опытных данных. [c.43]

Однако, когда в экспериментах были получены относительно низкие температуры, обнаружилось, что именно в этой области теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы неприменима. В области достаточно низких температур удельная теплоемкость не остается постоянной, а быстро приближается к нулю. Для объяснения этого явления в 1907 г. Эйнштейн смело использовал только что созданную квантовую теорию и обнаружил, что уменьшение теплоемкости представляет собой проявление какого-то фундаментального закона природы. Если удельная теплоемкость стремится к нулю при приближении Т к нулю, то зависимость энтропии от температуры должна резко отличаться от изображенной на фиг. 2. На фиг. 3 и 4 показаны возможные виды зависимости энтропии от температуры, которые находятся в согласии как с экспериментальным ходом зависимости удельной теплоемкости от температуры, так и с требованиями квантовой теории. [c.24]

В 1912 г. немецкий физик М. Планк показал, что при абсолютном нуле не только не происходит изменения энтропии твердых тел, но и энтропия каждого тела в отдельности равна нулю, т. е. 5 = 0. Эти следствия свидетельствуют о том, что при приближении к абсолютному нулю температуры свойства тел изменяются и перестают зависеть от температуры. Следовательно, тепловая теорема может быть сформулирована так Абсолютный нуль температуры недостижим, ибо невозможно представить себе при абсолютном нуле вещество, которое будет лишено своих свойств . [c.205]

Идея статистического толкования термодинамики, как известно, возникла потому, что отнюдь не все микроскопические начальные состояния приводят к соответствующему Г-теореме течению процесса. Г-теореме (как и другим макроскопическим законам) можно придать поэтому лишь статистический смысл, опираясь на утверждение, состоящее в том, что подавляющее большинство микросостояний данной, выделенной начальным опытом области ДГо приводит к течению процесса, согласующемуся с Г-теоремой. Однако это утверждение справедливо лишь при известных ограничениях величины и формы начальных областей ДГд (см, также 8). Так, например, если подавляющее большинство микросостояний области ДГо через время t приводит к ззозрастанию энтропии, то подавляющее [c.95]

Физическая основа теоремы Нернста состоит в том, что при достаточно низких температурах существующий в системе беспорядок устраняется иод влиянием сил взаимодействия между элементарными частицалш. Это происходит в области температур, в которой энергия взаимодействия Е сравнима с тепловой энергией кТ. Следовательно, можно ввести характеристическую температуру Н порядка Elk, соответствующую переходу системы в новую упорядоченную фазу или состояние. При Г=0 наблюдается крутой наклон на верхней из кривых, изображенных на фиг. 2, а в теплоемкости при постоянном внешнем параметре (равной TdS/dT) наблюдается четко выраженный максимум. [В случае перехода первого рода на (6 —Г)-кри-вых имеет место разрыв непрерывности и, следовательно, скрытая теплота.) При температурах много ниже 0 энтропия очень слабо зависит от внешнего параметра, и вещество теряет свою эффективность в качестве рабочего вещества охладительного цикла. [c.422]

Если имеется смесь различных идеальных газов, то с помощью полунепроницаемых перегородок (т. е. перегородок, проницаемых для одного газа и непроницаемых для другого) можно обратимо разделить эту смесь на составляющие ее компоненты, каждый из которых имеет объем смеси, без сообщения теплоты и затраты работы и, следовательно, без изменения энтропии системы (см. задачу 3.26). Это приводит к следующей теореме Гиббса об энтропии газовой смеси энтропия смеси идеальных газов равна сумме энтропий этих газов, когда каждый из них в отдельности занимает при температуре смеси тот же объем, что и вся смесь К Вычислим, пользуясь этой теоремой, увеличение энтропии при смешении двух различных газов, разделенных вначале перегородкой, занимающих объемы и 2 и имеющих одинаковую температуру Г (Vj и Vj — число молей каждого газа). Энтропия газов до смешения [c.69]

Из теорем а, 6, в м г могут быть получены важные следствия, касающиеся условий равновесия термодинамических систем. В частности, из теоремы а вытекает, что если система е совершает работы и имеет постоянное значение энтропии, то состоянием равновесия системы является состояние с минимальной внутренней зрнергией. Действительно, так как то состояние с минимумом U служит состоянием равнове- [c.112]

Осн. задачи, решаемые энтропийной теорией,— вычисление (оценка) энтропии для тех или иных классов систем и выяснение взаимоотношений между энтропией и др. характеристиками ДС. Для сдвига в пространстве реализаций последовательности независимых, одинаково распределённых случайных величин (Б-сдвига) энтропия равна В классе Б-каскадов и Б-потоков энтропия играет определяющую роль, являясь полным инвариантом две такие ДС изоморфны, если они имеют одинаковую энтропию (теорема Орнстейна D. Ornstein, 1970), Для класса К-систем (включающего Б-системы в качестве подкласса) это уже не так существует несчётное семейство попарно неизоморфных К-систем с одинаковой энтропией (правда, все известные К-системы физ. происхождения являются Б-системами). Но и с К-системами энтропия связана самым непосредств. образом, т. к, К-системы и только они имеют вполне положит, энтропию любая нетривиальная факторсистема такой системы имеет поло жит. энтропию (теорема Рохлина — Синая В. А. Рохлин, Я. Г. Синай, 1961). Тем самым у К-свокства имеется чисто энтропийный эквивалент. [c.630]

Мы видим, что энтропия и теплоемкость электронного газа стремятся к нулю при Г - 0 в согласии с теоремой Нерпста. [c.282]

Возникает вопрос каким образом статистическая физика, основанная на обратимых во времени законах микропроцессов, может приводить к необратимым законам макроскопических процессов, в частности, к описанию процессов релаксации и к закону возрастания энтропии в замкнутых системах. В особенно отчетливой форме этот вопрос был поставлен в связи с так называемой теоремой возврата (Пуанкаре, Цермело), согласно которой за достаточно большое время фазовая траектория в Г -пространстве, изображающая поведение системы, вернется в область, сколь угодно близкую к некоторой начальной точке этой траектории. [c.544]

Сначала доказанному Больцманом утверждению об убывании if-функции придавался смысл абсолютного закона,— вероятностные предпосылки вывода не были отмечены. Одним из возражений было приведенное Цермело [4] указание на применимость к вопросу об изменении ZT-функции возвратной теоремы Пуанкаре. Больцман, установив, что периоды возврата чрезвычайно велики, показал, что согласие с принципом монотонного изменения Я-функции может быть восстановлено, если считать, что в действительности мы находимся на нисходящей ветви /Г-кривой. Цермело отмечал невероятность подобного предположения, так как мы наблюдаем в природе не один процесс возрастания энтропии, а огромное число таких процессов, о каждом из которых пришлось бы сделать выдвинутое Больцманом предположение. [c.24]

В каком бы состоянии — жидком или твердом, в виде чистого вещества или химического соединения —не существовало вещество, энтропия его согласно тепловой теореме при Т -> О имеет одно и то же значение, если толь-, ко вещество в каждом из этих состояний находится в термодинамическом равновеоии. Так, например, при Г О энтропии жидкого и твердого состояния любого вещества будут равны друг другу, а энтропия смеси, состоящей из 1 моля вещества А и 1 моля вещества, В, будет равна энтропии 1 моля иххи- мического соединения АВ (если только последнее существует). [c.89]

Так как при г = О имеем (52 — 31)/су = О, то из 2 — - 1 > О следует г > 0. Иначе говоря, из условия возрастания энтропии 82 > 81 вытекает, что существуют только скачки уплотнения > О, р2 > Р1- Это предложение называют теоремой Цемплена. [c.85]

Резюме. Для непрерывного отображения Х Х и подмножества KdA определяется топологическая энгропия h f. К). Для компактных пространств X обобщаются известные теоремы об энтропии в случае компактного подмножества У, а также некоторые результаты, касающиеся хаус-дорфовой размерности для специальных подмножеств У <г А 5 , Предлагается понятие эптропнйной сопряженности ДЛЯ гомеоморфизмов, [c.181]

Впервые понятие кинетического уравнения было введено Больцманом в 1872 г. Обычно в это понятие вкладывается такой способ описания поведения системы, который бы явно отражал необратимые процессы эволюции. Свойство необратимости было выражено Больцманом в виде знаменитой Я-теоремы, или, иначе, теоремы о неубывании энтропии. Структуры уравнений, удовлетворяющих условиям Я-теоремы, как выяснилось спустя много лет, допускают не очень большое разнообразие и сейчас известны достаточно хорошо (см., например, [1—13]). Тем не менее огромное число монографий и работ, посвященных кинетическому описанию вещества, связаны не только с различными конкретными приложениями, но и с изучением принципиальных вопросов такого описания, внимание к которым со стороны физиков не ослабевает со временем. Причиной этого является особое состояние проблемы кинетического уравнения. В то время как Больцману пришлось в трудных условиях отстаивать свою теорию, сейчас ни у кого нет сомнений в сираведливостп кинетического описания движения и в справедливости известных кинетических уравнений. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, когда и при каких условиях (не формального характера) этими уравнениями можно пользоваться. [c.103]

Доказательство. Поскольку отображение /, = / д разделяющее, по предложению 3.2.14 мы имеем i>(/i) top(/i)- Чтобы доказать обратное неравенство, сведем проблему к случаю, когда /, — топологическое перемешивание сначала можно рассмотреть Л =/itjw(/,)> поскольку h p f ) = = /i(op(/2) из (3.3.1), а это равенство является, в свою очередь, следствием вариационного принципа (теоремы 4.5.3). Спектральное разложение (теорема 18.3.1) позволяет заключить, что существует такое п е N, что множество NW fi) разлагается на конечное количество компонент, на которых отображение является топологическим перемешиванием. По второму утверждению предложения 3.1.7 достаточно рассмотреть ограничение отображения /3 = на топологически перемешивающую компоненту X максимальной топологической энтропии, т. е. р(/з) = пр(/2)= пр(/,) и (/з) = op(/2) = г op(/l ) [c.584]

По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78]

Третий закон термодинамики был установлен Нернстом (Лауреат Нобелевской премии 1920 г.) на основе обобщения экспериментальных исследований различных веществ при сверхнизких температурах. Он известен как тепловая теорема или принцип Нернста в любом изотермическом процессе, проведенном при абсолютном нуле температуры, изменение энтропии системы равно нулю, т.е. А т=о-0, 8= о=соп81. Иначе говоря при абсолютном нуле температуры изотермический процесс одновременно является изоэнтропийным. Принцип Нернста был развит Планком, который предположил, что при абсолютном нуле температуры энтропия равна нулю. [c.62]

В. Нернст (1906) на основе электрохим. исследований пришёл к выводу, что эти слагаемые универсальны они не зависят от давления, агрегатного состояния и др. хар-к в-ва. Этот новый, вытекающий из опыта принцип обычно наз. третьим началом термодинамики или тепловой теоремой Нернста. М. Планк (1911) показал, что 3-е начало Т. равносильно условию энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения темп-ры к абс. нулю (поскольку универсальную константу в выражении энтропии можно положить равной нулю). Из 3-го начала Т. следует, в частности, что коэфф. теплового расширения, изохорный коэфф. давления др1дТ)у и уд, теплоёмкости Ср и су обращаются в нуль при Г -> 0. Необходимо отметить, что 3-е начало Т. и вытекающие из него следствия не относятся к системам, находящимся в т. н. заторможённом состоянии- При- [c.752]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...