Теплоемкость ферми-газа

Из всего вышесказанного следует, что тепловую энергию в металле при его нагревании воспринимают не все свободные электроны, как это имеет место для обычного идеального газа, а только те, энергия которых лежит в интервале k T вблизи энергии Ферми. Именно эти электроны и определяют теплоемкость электронного газа. [c.179]

Формулу для теплоемкости электронного газа можно получить, если известны зависимости энергии Ферми и полной энергии электронов от температуры. Для нахождения этих зависимостей необходимо знать распределение электронных состояний по энергии,, которое является наиболее важной характеристикой электронного энергетического спектра. Введем понятие плотности состояний. Снова, как это мы делали для -пространства (рис. 6.4), в пространстве импульсов построим сферы с радиусами р и p+dp. Объем сферического слоя толщиной dp [c.179]

Классические теории предсказывают, что каждый свободный электрон должен иметь теплоемкость, равную Зко/2. Тогда металл с одним Свободны м электроном на атом должен иметь выше температуры Дебая теплоемкость 37,5 Дж/(моль-К) по сравнению с 25 Дж/(моль-К) для неметалла (необходимо учесть, что концентрация электронов в металле составляет около 10 см ). Но эксперименты показывают. что дополнительная теплоемкость электронного газа в металле очень мала и пропорциональна абсолютной температуре. Плотность разрешенных состояний описывается формулой (3.24), если потенциальная энергия электрона внутри металла не меняется. Поэтому в соответствии с равенствами (3.24) и (3. 19) уровень Ферми занимает такое положение, что [c.108]

По формуле. (14.63) для молярной М = Ма и кЫл = = 2 кал/К-моль) теплоемкости электронного газа в металлах при комнатной температуре (Г=300 К) получаем величину Су = = 0,05 кал/моль, которая почти в 100 раз меньше молярной теплоемкости классического одноатомного идеального газа. Это показывает, что электронный газ в металлах следует не классической, а квантовой статистике (Ферми — Дирака). Крайне малая величина теплоемкости электронного газа обусловлена тем, что вследствие принципа Паули тепловое движение затрагивает сравни- [c.240]

Найти поправки первого порядка малости к химическому потенциалу, давлению и теплоемкости для слабо вырожденных бозе- и ферми-газов 1). [c.197]

Теплоемкость ферми-жидкости выражается через т по обычной формуле для ферми-газа. Действительно, согласно [c.37]

Теперь мы выведем выражение для электронной теплоемкости металлов. Электронная жидкость описывается с помощью модели газа частиц, обладающих свойствами отдельных электронов в периодическом поле. Для простоты будем называть эти частицы электронами , но, конечно, следует помнить об отличии электронов от истинных, образующих ферми-жидкость. Энергия такого ферми-газа дается формулой [c.32]

Фиг. 67. Удельная теплоемкость идеального ферми-газа.

Рис. 38. Графики теплоемкости С гдг и величины рь/в для бозе- и ферми-газов. Пунктиром обозначены графики тех же величин для классического идеального газа

Рис. 45. Температурная зависимость удельной теплоемкости идеального ферми-газа

С качественной точки зрения полученный выше результат для vn, если не считать небольшого несовпадения коэффициента, соответствует экспериментальным данным выделение из общей теплоемкости металла части, связанной с электронным газом, дает Сэл в. Это, несомненно, успех теории. Однако, рассматривая более внимательно электронный газ в металлах, мы обнаруживаем ряд обстоятельств, не отраженных в модели идеального ферми-газа. Рассмотрим на чисто качественном уровне основные из них. [c.159]

Удельная теплоемкость Не в области в < р, которая оказывается линейной по температуре, сопоставляется с формулой для теплоемкости идеального вырожденного ферми-газа, в которой масса частицы т заменена на эффективное значение т [c.176]

Общий вид температурной зависимости теплоемкости двумерного идеального ферми-газа представлен на рис. 128 (см. также комментарий к задаче 53). Легко показать, что в двумерном случае (аналогичный расчетом. 2, п.а)) [c.236]

Ситуация несколько усложняется в случае двумерных идеальных газов (см. задачи 19 и 26). Низкотемпературное и высокотемпературное поведение теплоемкости бозе- и ферми-газов в масштабе температуры вырождения 0 = Л 2т АжН/дУУ (в ферми-случае за счет учета спиновых состояний д = 2 и во = г) здесь просто совпадают [c.287]

В случае одномерных идеальных бозе- и ферми-газов ситуация еше более своеобразна. В низкотемпературной области O С = h vN/gVy/2m степень зависимости теплоемкости vn от в для бозе-газа понижается еше на 1/2 (для трехмерного бозе-газа vn ДДя двумерного — Сук в, для одномерного — Сук в / ) так как в одномерной бозе-системе в случае а = -ц/в е < 1, [c.288]

Рис. 129. Температурная зависимость теплоемкостей одномерных идеальных бозе- и ферми-газов

Решение. В качестве модели электронного газа используем низкотемпературный (9 4 ер) идеальный ферми-газ — N заряженных (eэ , = -е) частиц в объеме V, на однородном положительно заряженном фоне (модель желе ) с плотностью заряда р = еЫ/У. Эта модель, игнорирующая не только пространственную структуру ионной решетки металла и соответствующие изменения геометрии поверхности Ферми (см. гл. 2, 2, п. в) 3), но и вклад относительно тяжелых и малоподвижных (по сравнению с электронами) ионов в общие термодинамические характеристики системы, достаточно распространена в электронной теории металлов как самая простая и однокомпонентная. Удельные значения внутренней энергии, энтропии, теплоемкости и свободной энергии определяются выражениями (см. 2, п. в)-2) [c.290]

Найдем количественное выражение для теплоемкости вырожденного ферми-газа электронов в трехмерном случае. Этот расчет является, возможно, наиболее ярким успехом теории [c.193]

Зависимость энергии, энтропии, теплоемкости и свободной энергии ферми-газа от температуры в трехмерном случае изображена на рис. III. 2. Значения некоторых термодинамических функций приведены в табл. III. 2. [c.316]

Показать, что при достаточно низких температурах удельная теплоемкость идеального ферми-газа равна [c.263]

Определить химический потенциал и теплоемкость ультра-релятивистского сильно вырожденного идеального ферми-газа (спин 1/г). [c.280]

Рис. 170. К интерпретации линейной зависимости, теплоемкости идеального ферми-газа от температуры 1 — газ частиц 2 — газ дырок 3 — частицы, фактически не принимающие участия в тепловом движении

Таким образом, результаты расчета физических свойств в приближении свободного электронного газа Ферми позволили достичь значительно большего совпадения рассчитанных и измеренных величин электронной теплоемкости металлов и построить улучшенную теорию связи в кристаллах с учетом принципа неразличимости. Однако многие характеристики металлов все еще не нашли надлежащего объяснения. [c.54]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Т. е. средняя потенциальная энергия F(r) есть постоянная величина. Для решения задачи нужно выбрать граничные условия. Будем рассматривать границы кристалла как бесконечно высокие, тонкие, непроницаемые потенциальные стенки. Тогда мы придем к задаче о движении в ящике частиц, подчиняющихся квантовой механике и статистике Ферми. В самом деле, если бы электроны не подчинялись статистике Ферми, а вели себя как газ из классических частиц, то они должны были бы обладать теплоемкостью которой у них, как известно, в действительности нет [c.68]

Все экснерименты по теплоелгкости яспо показывают, что жидкий Не не ведет себя как идеальный ферми-дираковскпй газ. Теплоемкость подобного газа с температурой вырождения 4,98° К (определенной согласно плотности и массе атома Не ) представлена на фиг. 107 кривой С. Из значений теплоемкости могут быть вычислены разности энтропии, комбинируя которые с дан- [c.575]

Достаточно точное выражение для теплоемкости электронного газа в металле можно получить, опираясь на следующие два предположения 1) возбуждаться (черпать энергию) могут лишь те электроны, энергетические уровни которых лежат внутри слоя шириной коТ вблизи уровня Ферми все прочие электроны не принимают участия в поглощении тепловой энергии 2) способные к возбуждению электроны ведут себя так же, как простой газ частиц с тепловой энергией 3/2 коТ каждая. Поэтому при температуре Т полная энергия п свободных электронов в едИ Ннце объема металла описывается выражением [c.125]

В этой работе исследовалось влияние взаимодействия электронов с фононами как на спиновую восприимчивость, так и на теплоемкость электронного газа. Выяснилось, что с точностью до членов порядка отнощения т/М взаимодействие электронов с фононами не оказывает влияния на спиновую восприимчивость. Этот результат нетрудно понять. Действительно, вспомним, что спиновая восприимчивость определяется изменением энергии Ферми при наложении магнитного поля. Но электрон-фононное взаимодействие с точностью до членов порядка т/М не влияет на эту энергию (так же как и на энергию связи или на сжимаемость). Отсюда явствует, что с указанной степенью точности взаимодействие электронов с фононами не влияет и на спиновую восприимчивость. (Заметим, что взаимодействие электронов с периодическим полем неподвижных ионов оказывается, конечно, весьма сущестйенным.) С другой стороны, на теплоемкость системы взаимодействие электронов с фононами оказывает некоторое влияние. В работе [33] был проведен тщательный расчет этого влияния для натрия. Оказалось, что взаимодействие электронов с фононами приводит к увеличению теплоемкости примерно на 10%. Этот результат находится в хорошем согласии с результатами Сильвер.-стейна, а также и с опытом (см. 6 гл, III). [c.352]

График зависимости Суц от температуры представлен на рис. 128 (см. комментарий к задаче 53). Неожиданным в этих результатах может показаться полное совпадение низкотем-шературного поведения Суп с теплоемкостью идеального двумерного ферми-газа (см. задачу 19) Суп и отрицательность квантовой поправки к классическому пределу для теплоемкости Суц = 1 в высокотемпературном случае, которая, кстати, тоже совпадает с аналогичной поправкой к Суц в ферми-случае. > [c.251]

В связи с последним замечанием представляет интерес расширить тематику только что рассмотренной простой задачи и рассмотреть проблему плошалей для других систем, графики теплоемкости которых с ростом температуры также выходят на классическую асимптоту, а в вырожденной области могут располагаться целиком под ней как это имеет место для идеального ферми-газа (см. рис. 45) и гармонических осциЛлято PQB (см. рис. 70), или пересекать ее, как в случае бозе-газа (см. рис. 54) или врашательногв вклада в теплоемкость (см. рис. 69 интересно также сопоставить с рассматриваемой точки зрения различие в температурном поведении теплоемкостей Со и с,, изображенных на рис. 108), ит.д. [c.286]

Если же рассматривать электроны как вырожденный ферми-газ, то следует учитывать, что электроны заполняют все уровня в зоне проводимости вплоть до уровня Ферми хо = кТо (> кТ). Тепловая энергия, равная по порядку величины кТ, не может возбудить электронов с низколежащих уровней в силу принципа Паули. Поглотить энергию кТ и перейти на свободные уровни могут лишь электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Это обусловлено тем, что в вырожденном случае функция распределения Ферми резко падает от 1 до О в области шириной порядка кТ вблизи уровня Ферми. Таким образом, число электронов, которые могут испытать тепловое возбуждение, имеет величину порядка МТ1То, так что вклад их в атомную теплоемкость имеет порядок ( /г) КТ Но, т. е. пренебрежимо мал при Г <С Го- Полагая, что плотность состояний дается формулой (4.9). получаем для хр [c.287]

Зная зависимость плотности состоянрм от энергии и вид распределения Ферми, можно вычислить теплоемкость электронного газа. Удельная теплоемкость при постоянном объеме [c.14]

Установленное нам.и выше свойство графика тенлоем кости с(0) исходит из того, что с(0)=( е/с 0 и что при 0->-оо тенлоем кость с(0) с(со) =сопз1, а не является следствием использования частотного разложения, удобного при рассмотрении моделей т ер дого тела. Площадь, заключенная между графиком теплоемкости и ее асимптотой положител.ьна в случаях, когда энергия основного состояния для соответствующего вида движения отлична от нуля при рассмотрении вклада в теплоем кость от колебаний (см. рис. 183) она равна Йсо/2, для идеального ферми-газа (см . [c.615]

Учет других обменных членов сводится просто к добавлению энергии Wu. к энергии Ек отдельной частицы. Эта энергия, если ее включить в рассмотрение, вызывает существенные отличия только при больших длинах волн. В обычной теории электронного газа, как известно, обменная энергия Wк приводит к очень малой плотности состояний на поверхности Ферми, а при низких температурах — к удельной теплоемкости, которая значительно меньше, чем наблюдаемая. Бом и Пайне показали, что если в коллективном описании учесть экранировку полей электро- [c.763]

Термоэлектронная эмиссия довольно хорошо объясняется с точки зрения классической теории, основанной на предположении, что свободные электроны в металле двигаются подобно молекулам газа в соответствии с законом распределения скоростей Максвелла (см. 5-4-3). Однако существуют случаи, когда необходимо в отношении к свободным электронам в металле применять статистику Ферми — Днрака (см. 5-1-6). Как пример этого рассмотрим задачу определения теплоемкости твердого тела. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...