Лапласа тождественный

С увеличением п приходим к значению нормальной производной, равному нулю, что соответствует решению, тождественно равному нулю. Из вида выражения (16.1) следует, что для любого п можно подобрать такие значения у, что решение будет больше любого наперед заданного числа. Отсюда следует, что предел решения (по параметру п) не будет стремиться к решению для предельных краевых условий, а, значит, решение задачи Коши для уравнения Лапласа с несколько измененными краевыми условиями может привести к решениям, существенно различающимся между собой. [c.190]

Обратимся теперь к уравнениям равновесия (1.10) гл. II. Первые два уравнения при таком представлении удовлетворяются тождественно, а последнее сводится к уравнению Лапласа для функции (р х,у) [c.266]

Следует заметить, что равенства (31.17) и (31.32) отнюдь не тождественны. Так, может случиться, что закон сохранения кинетического момента будет соблюдаться в движении относительном и не будет справедлив для движения абсолютного, или наоборот. Пусть, например, данная система состоит из весомых частиц тогда к каждой частице её приложена сила m g постоянного направления. Такая система сил эквивалентна одной силе, именно, весу Mg системы, приложенной к центру масс. Поэтому если рассматриваемая материальная система свободная, то закон сохранения кинетического момента выполняется для относительного движения вокруг центра масс но он не будет, вообще говоря, справедлив для движения абсолютного. Даже, если закон сохранения кинетического момента соблюдается для обоих движений, абсолютного и относительного, всё-таки постоянные во времени векторы Gq и <5 > будут, вообще говоря, различны и по модулю, и по направлению точно так же неизменные плоскости Лапласа для движений абсолютного и относительного будут в общем случае отличаться по своему направлению. [c.313]

Выше отмечалось, что любое явление описывается замкнутой системой уравнений и что число этих уравнений в системе должно быть равным числу неизвестных. При этом не вникали в характер этих уравнений, хотя и рассматривали некоторые частные примеры. В основном это были дифференциальные уравнения математической физики. Известно, что при выводе этих уравнений, как и при составлении уравнений математической физики, используются самые общие законы природы. Специфические особенности исследуемого явления находят отражение в конкретных формах дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются математической записью фундаментальных законов природы. Вместе с тем эти уравнения еще не дают конкретных данных для описания исследуемых явлений. Все явления, независимо от их индивидуальных признаков, описываются одинаковой системой уравнений. Таким образом, видим, что система дифференциальных уравнений (в частном случае — одно уравнение) является моделью некоторого класса подобных явлений. Эти явления могут иметь одинаковую или разную физическую природу. Главное при этом, что все они описываются совершенно тождественными системами уравнений. С этим мы встречались при моделировании задач, описываемых уравнениями Пуассона, Лапласа, Фурье, Гука. [c.145]

Основным достоинством гидродинамической модели является тождественность получаемых уравнений уравнениям гидродинамики. При принятых допущениях потенциал скорости (р удовлетворяет уравнению Лапласа [c.83]

В тех случаях, когда температурное поле оказывается двумерным или одномерным, оператор Лапласа соответственно упрощается благодаря тождественному равенству нулю производных по тем координатам, от которых температура не зависит. [c.167]

Однородные гармонические полиномы, обозначаемые далее Рп х, у, z), удовлетворяют уравнению Лапласа. Поскольку в выражение полинома S/ Pn степени п — 2) входит - п(п— 1) произвольных коэффициентов, требование его тождественного обращения в нуль приводит к такому же числу соотношений, связывающих y(n-f 1)(п-Ь2) коэффициентов Р доказывается, что эти соотношения линейно независимы. Поэтому существует [c.894]

Тождественность этих рещений может быть доказана несколькими путями 1) использованием свойств тэта-функций [30, 31] 2) с помощью преобразования Лапласа в этом случае решения типа (10.3) получаются в результате применения теоремы обращения, а решения типа (10.2) — в результате разложения изображения в ряд по отрицательным степеням показательных функ- [c.268]

Для классической физики в целом характерно следующее. Она исходит из существования тождественных себе, неизменных элементарных тел, форма, величина, сочетания, конфигурация и движения которых объясняют всю совокупность явлений природы. Высший разум, знающий координаты и скорости таких элементарных тел, мог бы, по мнению Лапласа, предвидеть все дальнейшее. [c.386]

Это уравнение тождественно уравнению Лапласа в теории тяготения. То же уравнение встречается и в теории электропроводности (илп теплопроводности) в металлах. Если, например, через ф обозначить электрический потенциал, а удельное сопротивление среды принять равным единице, то формулы (3) 69 дают компоненты тока. Эта аналогия окажется полезной в дальнейшем. [c.261]

Тем не менее в пределе, при 1е ->-оо, электростатическая задача о диэлектрическом теле переходит в электростатическую задачу о металлическом теле. Действительно, при s ->oo (19.25а) дает (<9Ф+/дЛ/ ) = О, а решение уравнения Лапласа внутри замкнутого объема с таким граничным условием тождественно равно нулю— это следует, например, из уравнения [c.195]

Из свойств (5), (6) и (7) вытекает важное следствие о единственности безвихревого движения внутри односвязного объема, если на границах объема заданы а) либо иа1 ния потенциала ср, ( ) либо значения нормальной составляющей скорости й< 1йп, в) либо значения ср на одних частях границы и значения й< 1йп на прочих. В самом деле, если предположить существование двух различных внутри жидкости потенциалов ср, и срз, то их разность ср] — ср,, удовлетворяя уравнению Лапласа и условиям свойств либо (5), либо (6), либо (7), была бы постоянной внутри жидкости, т. е. движение с потенциалом ср, было бы тождественно с движением, обладающим потенциалом ср2. [c.36]

Рассматриваются граничные интегральные уравнения динамических задач для упругих тел с трещинами в пространстве преобразований Лапласа. В связи с этим все излагаемые результаты относятся к дифференциальным и интегральным уравнениям, а также функциям в пространстве преобразований Лапласа. Поэтому в соответствующих местах во избежание повторений слова в пространстве преобразований Лапласа опускаются. Введенные выше поверхностные потенциалы (5-4) удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости везде в области V за исключением внешней границы дУ и поверхностей трещин й. Частные решения, соответствующие действию объемных сил и неоднородным начальным условиям, выражаются объемными потенциалами. В связи с этим решение той или иной задачи динамики упругих т л с трещинами можно представить в виде суммы граничных и объемных потенциалов. Граничные потенциалы должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничным условиям на внешней поверхности тела дУ и поверхностях трещин й. Для нахождения этих неизвестных строятся граничные интегральные уравнения. При этом используются интегральные соотношения (5.51) или (5.58), в которых учтены свойства граничных потенциалов на границе тела (5.39) и на поверхности трещии (5.43). Во избежание повторений ниже будем использовать соотношения (5.58). [c.124]

Оператор Лапласа от многочлена (4,3) есть, очевидно, также однородный многочлен от х, у, z, но уже (п—2)-й степени, а потому он содержит всего различных членов, коэффициенты которых суть линейные однородные функции от коэффициентов многочлена Un (х, у, z). Для того чтобы многочлен (4.3) был гармоническим, нужно, чтобы VUn(x, у, z) был тождественно равен нулю, а для этого необходимо, чтобы все коэффициенты многочлена VUn были равны нулю. [c.152]

Стокс отметил, что эти уравнения движения вязкой жидкости точно удовлетворяются, если мы описываем волны на воде решением уравнения Лапласа (5) для безвихревого течения. Так, дифференцируя уравнение (5) по а и 2 соответственно, мы получаем, что члены с коэффициентом ц в соотношениях (78) и (79) тождественно равны нулю. И только граничным условиям, присущ им вязкой жидкости, это решение не может удовлетворять, например, из-за наличия ненулевого горизонтального движения у дна. Мы объясним, как исправить этот недостаток путем введения пограничного слоя. [c.288]

Сравнивая (7) с выражением функции для действительного движения на большом расстоянии от сферы (6), мы видим, что оба они тождественны, если не считать того, что делителями служат в них две различные постоянные, именно Р 1кс) в первом случае и Fn(ik )—во втором. То же самое справедливо и для главных членов (членов порядка г ) в выражениях для сгущения и для скорости. Следовательно, если тип колебания сферы таков, что нормальная скорость ее поверхности выражается функцией Лапласа какого-либо порядка, то возмущение на большом расстоянии от сферы будет изменяться в зависимости от направления по такому же закону, как если бы боковые движения были задержаны, причем амплитуда смещения на данном расстоянии от центра изменяется в обоих случаях как амплитуда смещения в нормальном направлении самой поверхности сферы. Единственным различием здесь является то, которое выражается символическим отношением F ik ) Р 1кс). Если предположить, что F ik ) приводится к виду jjb ( os sin а ), то амплитуда действительного колебания будет [c.234]

Если для функций X можно сформулировать три независимых от Р краевых условия, а это так в подавляющем большинстве случаев, то функцию / можно считать тождественно равной нулю. Для доказательства достаточно сформулировать эти краевые условия относительно хь тогда вследствие единственности решения краевой задачи для уравнения Лапласа (9. 5) получим 1=0 и система (9.7) — (9.8) будет эквивалентна системе (9.1) — (9.2). [c.153]

Уравнение Лапласа будет иметь периодический по х интеграл, удовлетворяющий этому условию лишь в том случае, если с[ =0, При таком значении с[ функция фз х, у) будет снова давать потенциал скоростей бесконечно малого волнового движения. Мы будем считать, что такое движение дается найденной уже функцией Ф1 х, у). Если этого не предполагать, то заменой параметра е некоторым новым параметром 8 можно тем не менее представить бесконечно малое движение лишь первым членом ряда (5). Таким образом, можно считать, что функция ф2 (х, ) тождественно равна нулю. [c.610]

Для упрощенного уравнения (10.8) начальное условие ф< = О следовало бы опустить, но в любом случае решение остается тождественно равным нулю для ж > О в течение некоторого интервала времени, так что никакой разницы нет. Используя преобразование Лапласа, будем искать решение уравнения (10.5) в следующем виде [c.331]

Это уравнение представляет собой уравнение Лапласа и тождественно с уравнением для распределения давления в несжимаемой жидкости. Из настоящего заключения вытекает непосредственно, что все решения задач, приведенные во второй части настоящей работы, за исключением гл. VI и VII, можно вновь интерпретировать для сжимаемой жидкости. При этом термин давление просто заменяется термином плотность по отношению к обоим видам распределения внутри течения и на его контурах. Например, для линейного течения с плотностями жидкости на контурах У1 и Уа распределение плотности будет [c.518]

В это же время Лаплас ) приложил метод, примененный Мопертюи для получения с корпускулярной точки зрения закона преломления обычного луча, к задаче двойного лучепреломления. Лаплас использовал принцип наименьшего действия, математическая сторона которого настолько усовершенствовалась со времен Мопертюи, что стало возможно применять его К более сложным проблемам, чем иростое преломление света. Лаплас предположил, что кристаллическая среда действует на световые корпускулы необыкновенного луча так, что изменяет их скорость в отношении, которое зависит от наклона необыкновенного луча к оси кристалла. В самом деле, разность квадратов скоростей обыкновенного и необыкновенного луча пропорциональна квадрату синуса угла, который образует необыкновенный луч с осью кристалла. Принцип наименьшего действия тогда приводит к закону преломления, тождественному с тем, который был найден Гюйгенсом. Закон преломления необыкновенного луча может быть также выведен из принципа Ферма при допущении, что скорость обратно пропорциональна той, которая предполагается при рассмотрении вопроса с помощью принципа наименьшего действия скорость, соответствующая принципу Ферма, согласуется со скоростью, найденной Гюйгенсом. [c.803]

Ясно, что линии тока не могут выходить из области течения в которой вихрь скорости отличен от нуля, т. е. из области турбулентного следа (но они могут входить в след из области потенциального течения). В то же время турбулентные пульсации скорости могут проникать из следа в область потенциального движения, но со значительным ослаблением. Действительно, в случае потенциального движения несжимаемой жидкости уравнения движения в форме (1.7) будут удовлетворяться тождественно поэтому течение будет описываться одним лишь условием несжимаемости (1.5), эквивалентным уравнению Лапласа Дф = 0 относительно потенциала скорости ф (определяющего скорость соотношением йф/ Хг). Пусть г обозначает координату поперек следа тогда поле ф(х, (/, г) удобно разложить на компоненты вида ф = фо(г) X кхх- кчу) Из уравнения Аф=0 следует, что с1 (р1с1г = к о, где [c.72]

Т. о., множитель N x) представляет собой выражение, тождественное заданному оператору, но составленное не из абс. величин, а из относительных (полу-ченших делением на параметрич. значения Xo,jio)-li e изложенное распространяется на любой однородный оператор в целом. Напр., для лапласиана [c.81]

Из этого уравнения видно, что в пределе Х - со преобразование Лапласа функций состояния становится тождественным с преобразованием Лежандра функций Массьё — Планка,. если выполняются следующие условия [c.69]

Условия на внешней границе пограничного слоя вычисляются лз урав 1ений Эйлера (2.97), соответствующих системе (2.95) с граничными условияхми (2.96). Эти уравнения формально можно получить, полагая вязкость тождественно равной нулю. Уравнения Эйлера можно решить численными методами, например методом характеристик для внешнего сверхзвукового течения, или, решая уравнения Лапласа или Пуассона, для дозвуковых течений. С вычислительной точки зрения важно, чтобы решения уравнений Эйлера были найдены с той же точностью, с которой ищется решение уравнений пограничного слоя. Ошибки вычисления внешнего течения могут заметно повлиять на свойства решения, получаемого в пограничном слое. [c.117]

Это уравнение свободной поверхности при гравитационном течении было приложено к разнообразным проблемам последнего . Повидимому, аналитическая процедура, которую можно применить для решения этого уравнения, соответствует той, что была развита в главе IV для математической трактовки двуХ( азмерного уравнения Лапласа при распределении давления в несущей жидкость пористой среде, так как она фактически с внешней стороны дает выражение, тождественное приведенному нами ранее. [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...