Уравнения равновесия нормальных напряжений

Рассмотрим теперь простые соотношения между нормальными напряжениями в приборе типа диск—диск. Уравнения равновесия нормальных напряжений для данного случая в силу наличия осевой симметрии с учетом преобразования х , х , х- ц>, г, г имеют вид (инерционными членами пренебрегаем) [c.236]

Один из методов решения задач теории упругости состоит в исключении компонент напряжения из уравнений (123) и (124) с помощью закона Гука и в вырал<ении компонент деформации через перемещения с использованием формул (2). Таким путем мы приходим к трем уравнениям равновесия, содержащим только три неизвестных функции и, и, w. Подставляя в первое из уравнений (123) нормальное напряжение [c.250]

Результаты для распределения напряжений, приведенные в разд. III, Д, никоим образом не связаны, разумеется, с формой волокон в целом. Уравнения равновесия в напряжениях сохраняют форму (58) и (59), использованную ранее для случая первоначально прямолинейных волокон при выводе этих уравнений из уравнений (56) и (57) мы использовали лишь прямолинейность нормальных линий. Уравнения равновесия по-прежнему допускают общие интегралы вида (60), (61), (64) и (66). [c.326]

Формула (17.8) носит название формулы Лапласа формула (17.9) иногда именуется уравнением равновесия зоны или просто уравнением зоны. Напряжение называется меридиональным нормальным напряжением, о i— окружным (широтным, кольцевым) нормальным напряжением. [c.471]

Нормальное напряжение азз может быть определено из третьего уравнения равновесия Коши в проекции на ось Хз=2 [c.189]

Таким образом, задача Ламе сводится к определению двух неизвестных нормальных напряжений и о<, являющихся функциями радиальной координаты г. Для решения этой задачи нужно прежде всего выяснить, что могут дать уравнения равновесия элемента. К сожалению, в данном случае содержательным оказывается только уравнение равновесия в проекциях на направление радиуса. Второе уравнение — в проекциях на касательную — здесь тождественно удовлетворяется. [c.107]

При составлении уравнения равновесия сил, действующих на элемент балки, не следует сразу переходить к напряжениям силу в одном торцовом сечении надо обозначить //, а в другом Л -1-с1Л и подчеркнуть, что звездочка (или какой-либо другой значок или индекс) нужна для того, чтобы было ясно, что речь идет о равнодействующей нормальных сил, возникающих не во всем поперечном сечении балки (кстати, продольная сила в поперечном сечении балки равна нулю), а только на части сечения, принадлежащей выделенному элементу. Равнодействующую касательных сил следует обозначить бТ. Эта сила определяется из уравнения равновесия. [c.207]

Последнее уравнение равновесия (16.2.3) позволяет установить распределение нормальных напряжений по высоте сечения бруса и получить окончательную формулу для их вычисления [c.285]

Воспроизводя рассуждения 1.7 применительно к растягиваемому стержню, изображенному на рис. 2.1.3, рассечем его мысленно плоскостью тп, перпендикулярной оси стержня (не слишком близко к концу), и отбросим одну часть, например верхнюю. Оставшаяся нижняя часть изображена на том же рисунке справа. Действие верхней части на нижнюю можно заменить равномерно распределенными по сечению тп нормальными напряжениями а. После того как это сделано, составим уравнение равновесия нижней части стержня [c.45]

В 3.3 нас интересовали только нормальные напряжения при изгибе, поэтому из шести уравнений равновесия мы фактически составили только три. Проектируя силы, действующие слева от сечения на оси х ж у, мы получим величины, которые называются перерезывающими силами [c.83]

Подставляя эти соотношения в уравнения равновесия (6.1), убеждаемся, что при отсутствии объемных сил уравнения равновесия обращаются в тождества. Чтобы преобразовать уравнение сплошности (6.2), сложим почленно формулы для нормальных напряжений (6.24) [c.99]

Прямоугольная пластина, подверженная действию сил в ее плоскости, находится в плоском напряженном состоянии. При этом в пластине имеются в общем случае внутренние усилия Nj , N у и Л/д,,, а нормальное перемещение w равно нулю. Предположим, что при некотором сочетании значений внутренних усилий наряду с плоской формой равновесия становится возможной сколь угодно близкая к ней искривленная форма равновесия. При этом уравнение равновесия (16.63) в направлении нормали к срединной плоскости примет вид [c.414]

Давления Ро и р,- вызывают в сфере также нормальные напряжения в окружном направлении, величину которых мы найдем из условия равновесия элемента, вырезанного из сферы двумя концентрическими сферическими поверхностями радиусов R и R- -dR и круговым конусом с малым центральным углом г з (рис. 205). Это уравнение равновесия имеет вид [c.397]

Решение. Ни одно дифференциальное уравнение равновесия не удовлетворяется, равно как и граничные статические условия. Если удержать формулы сопротивления материалов для нормального напряжения в поперечном сечении, т. е. [c.49]

Решив уравнение (2.52) совместно с уравнением равновесия (2.49), найдем значения продольных С1л и N2, выраженные через нагрузку Q. Разделав силы и N2 на площади поперечных сечений и р2 соответственно, определим нормальные напряжения и 02 в стальных стержнях. Приравняв зат м большее из этих напряжений допускаемому напряжению [а], найдем значение Q, равное допускаем эй нагрузке [2 ] [c.64]

Подставляя в уравнения равновесия (2.54) и (2.55) и в дополнительное уравнение (2.56) числовые значения а, Ь, I, 5з, бз, Е, 1, р2, Гз и рещая их совместно, можно определить продольные силы N2 и Л з, возникающие в стержнях при монтаже конструкции. Разделив эти силы на площади поперечных сечений стержней, найдем нормальные напряжения в поперечных сечениях. [c.67]

Таким образом, мы убедились, что найденные значения о, Ог/, удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности деформаций. Кроме того, о и Гху удовлетворяют граничным условиям по верхней и нижней кромкам в каждой точке, а что касается удовлетворения граничным условиям по боковым кромкам, то и о удовлетворяют этим условиям в интегральном смысле. Реакция опор на боковых кромках для точного удовлетворения граничным, условиям должна быть распределена по параболе. Нормальные напряжения на боковых кромках не равны нулю, но их равнодействующая и момент равны нулю. [c.80]

Выражения (4.32) для нормальных и касательных напряжений характеризуют напряженное состояние треугольной подпорной стенки. Отметим, что полученное решение является точным решением, так как оно удовлетворяет всем уравнениям равновесия как внутри, так и на границах тела и уравнениям совместности деформаций. [c.83]

В примерах, рассмотренных в разд. II, Б, II, В, и III, Е, для определения деформации необходимо было использовать уравнения равновесия. Однако этих уравнений недостаточно для полного определения поля напряжений. Чтобы получить недостающую информацию, нужно рассмотреть суммарное касательное усилие, действующее по всей длине каждого волокна или нормальной линии. В настоящем разделе мы используем этот способ для получения некоторых простых результатов, касающихся конечных деформаций. [c.311]

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали состоянием чистого растяжения . Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т — = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 5з(0, X) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения. [c.333]

Напряжения в данной задаче те же, что и в случае плоских деформаций, наложенных на осевое растяжение, за исключением того, что теперь направление растяжения совпадает с азимутальным (разд. V, Г). Уравнения равновесия сводятся, как и для плоских деформаций, к двум соотношениям на характеристиках, определяющим изменение Т вдоль волокон и изменение Р вдоль нормальных линий. Отсюда следует, что, как и в случае плоских деформаций, для любой кинематически допустимой деформации, всегда можно построить согласующееся с ней поле напряжений. [c.337]

Вторая гипотеза используется лишь при определении перемещений и связанной с ними осевой деформации волокон стержня, параллельных его оси. Эта гипотеза, таким образом, используется при определении лишь нормальных напряжений в плоскости поперечного сечения стержня на основании уравнений закона Гука. Касательные же напряжения в рамках второй гипотезы, разумеется, не могут быть определены при помощи закона Гука, поскольку согласно этой гипотезе сдвиги равны нулю. Для определения касательных напряжений используется уравнение равновесия. Картина здесь совершенно аналогична наблюдаемой в теории поперечного изгиба стержней гипотеза плоских сечений применяется лишь для определения и (путем использования закона Гука), для отыскания же х х и (или) Хгу рассматривается равновесие элемента балки, так как закон Гука применен быть не может, поскольку в рамках гипотезы плоских сечений сдвигов нет. [c.386]

Фотоупругий анализ меридиональных и радиальных срезов мо дели дает возможность определить разности — ае и стг — а учитывая, что при выбранном способе замораживания деформаций осевые напряжения равны ну.яю, можно легко получить окружные СГ0 и радиальные напряжения СТг в интересующем сечении модели. Однако в области сварного шва возникает пространственное напряженное состояние. Для определения компонент тензора напряжений в области сварного шва, т. е. для разделения разностей нормальных напряжений, используется метод численного интегрирования одного из дифференциальных уравнений равновесия осесимметричной задачи теории упругости [c.276]

Задача заключается в определении нормальных и касательных напряжений на поверхностях раздела слоев и деформированного состояния оболочки. Уравнения, описывающие ЭДС i-ro слоя оболочки в случае плоской деформации, имеют вид уравнения равновесия dNi [c.292]

Для разделения нормальных напряжений производят обычно численное интегрирование уравнений равновесия (94). Положим, что путь интегрирования совпадает с осью оу. Тогда формула численного интегрирования будет иметь вид [c.75]

Данный метод разделения нормальных напряжений можно значительно упростить, т. е. осуществить за счет измерений на одном только срезе. Для этого дифференциальное уравнение равновесия нужно рассматривать в системе координат ух, % (рис. 18), повернутой на угол 45° вокруг оси оу, т, е. [c.76]

Анализ уравнений теории оболочек позволяет сделать вывод, что различие напряженных состояний исходной и возмущенной оболочек вызвано изменением величин нормальных кривизн, обусловленным малыми возмущениями формы срединной поверхности оболочки. Это особенно сказывается при большом меридиональном усилии ТI, которое почти не изменяется в зависимости от геометрических размеров. Это усилие, умноженное нд кривизну меридионального сечения, входит в соответствующее уравнение равновесия и при изменении кривизны значительно изменяет остальные усилия и моменты. [c.145]

Уравнения равновесия (8.1)—(8.3) пока не могут быть использованы, потому что закон распределения нормальных напряжений по сечению остался неизвестным. [c.148]

Для определения зависимости нормальных напряжений от изгибающего момента решим систему уравнений, состоящую из. уравнений равновесия (8.1)—(8.3) и уравнения совместности деформаций (8.6). Подстановка величины а из (8.6) в (8.1) дает соотношение г Е [c.150]

Стержень, изображенный на рис. 8.1б, рассечем поперечным сечением, отбросим правую часть и рассмотрим условия равновесия левой части (рис. 18.2). С поперечным сечением свяжем ортогональную систему координат х. Рис /8 2 У причем ось z совместим с нейтральной линией, а ось у — с осью симметрии поперечного сечения (рис. 18.2). Около произвольной точки в первой координатной четверти выделим элементарную площадку dA, по которой действует элементарная сила lN = а dA. Ее направление примем совпадающим с направлением положительного (растягивающего) нормального напряжения а. Таким приемом мы пользовались ранее в гл. 1 и 8. Из шести уравнений равновесия три обращаются в тождества [c.315]

Величина каждого из главных напряжений Ti или 02 в общем случае двухосного напряженного состояния остается неизвестной. Для их определения требуются дополнительные экспериментальные измерения или численное интегрирование уравнений равновесия в главных осях. Однако, на свободном контуре эти напряжения могут быть определены по картине полос. Поскольку одно из главных напряжений, нормальное к контуру, равно нулю, порядок полосы на свободном контуре соответствует величине другого контурного напряжения [c.536]

В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения <г. Выделив вокруг любой точки с координатами у и Z элементарную площадку dF, обозначим действующую на нее силу dN adF. Отмеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару М, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, г. [c.218]

При рассмотрении равновесия элемента оболочки, ограниченного двумя парами нормальных сечений, проходящих через а- и Р-линии (рис. 9.3.2) напряжения в сечениях элемента предварительно приводятся к сечениям срединной поверхности, т.е. заменяются силами и моментами. Уравнения равновесия составляют в векторной форме, а затем проецируют на оси основного тетраэдра. Внешняя нагрузка, приложенная к элементу, [c.132]

Напряжения касательные в заполнителе 56, максимальные 26, нормальные 15, 44, в поперечных сечениях 44 - Ползучесть 69 - Равновесие 46, - Силовые факторы в сечении 15, - Теория стесненного кручения Власова 34 - Уравнения равновесия 48, 52 - Устойчивость 95 [c.619]

Г . Т гу, гх И T xz- Таким образом, ДЛЯ ПОЛНОГО определения напряженного состояния в точке необходимо задание всех девяти компонент напряжения трех нормальных напряжений и шести касательных. Однако с помощью уравнения равновесия моментов можно показать, что величины х у и и а также и [c.88]

Распределение нормальных напряжений. Из дифференциальных уравнений равновесия для плоской задачи (XII. 1) следует [c.254]

Способ учета поперечного обжатия в рамках классиче ской теории оболочек интегрированием соотношений закона Гука для трансверсальной де4юрмации при вычисленном из уравнений равновесия нормальном напряжении описан в [42, 84, 132]. [c.11]

Очень важно довести до сознания учащихся условность самого понятия напряжения смятия . Строго говоря, это не напряжения, так как термин напряжения применяется для выражения интенсивности внутренних сил, а здесь мы имеем дело с силами, внешними по отношению к каждой из деталей соединения. Итак, при соприкосновении деталей под нагрузкой возникают распределенные по поверхности контакта силы взаимодействия, возникает давление одной детали на другую. Условно принимают, что давление равномерно распределено по поверхности контакта и в каждой точке нормально к этой поверхности. Условимся, как это принято, называть это давление напряжением смятия и обозначать сгсм- Значит, в данном случае условно называем поверхностную интенсивность внешних (а не внутренних ) сил напряжением. Заметим, что термин давление употребляется в прямом смысле, т. е. это сила, отнесенная к площади (кстати, выражение удельное давление , встречающееся в учебной литературе, тавтологично). Принятое допущение о характере распределения давлений позволяет обосновать, почему в случае контакта деталей по поверхности полуцилиндра роль площади смятия играет прямоугольник —диаметральная проекция поверхности полуцилиндра. Мы не склонны настаивать на том, чтобы давать этот вывод учащимся. Он элементарен, надо составить уравнение равновесия сил, показанных на рис. 9.1, но [c.96]

Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряжений, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что нормальные напряжения, меняющиеся с координатой Хз, влекут за собою появление касательных напряжений, и дифференциальное уравнение рановесия элемента будет [c.315]

Остается исследовать нормальные напряжения сг , которыми пренебрегли по сравнению с напряжениями и а . Для их еделения возьмем третье уравнение равновесия (4.1) и, считая, мные силы равными нулю, найдем [c.117]

Можно видеть, что при допущениях (а) и (б) относительно деформаций не возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Не возникают и искажения плоскостей иопеэечиых сечений, поскольку е ., и обращаются в нуль. В каждой точке мы имеем чистый сдвиг, определяемый компонентами и Туг. функция х, у), опредсляющая депланацию поперечного сечения, должна быть выбрана таким образом, чтобы удозлетво-рялись уравнения равновесия (123). Подставляя выражения (г) в эти уравнения и пренебрегая массовыми силами, находим, что функция 1 ) должна удовлетворять уравнению [c.301]

Принимая допущение о прямолинейности нормального элемента, мы тем самым пренебрегаем сдвигами в направлениях 2 , и гаг, т. е. мы должны бы пренебречь и касательными напряжениями Тз1 и Тзг, а следовательно, и поперечными силами <2з1 и зг- Однако пренебрегать поперечными силами (2з1 и Qri. не следует, так как они играют существенную роль в уравнениях равновесия. Иначе говоря, первое допущение Кирхгофа — Лява следует трактовать таким образом, что при определении деформаций волокон в оболочках II пластинах пренебрегаем сдвигами, вызванными действием касательных напряжений Тм и Тзг, по не самими напрялщнпямн. [c.238]

Напряжения. Воспользуемся методом сечений. Мысленно отбросим часть бруса, лежащую слева от сечения а Ьх и рассмотрим равновесие оставшейся правой части (рис. 2.24, в). По сечению ахЬх будет действовать напряжение, которое можно разложить на нормальную и касательную составляющие. По элементарной площадке действует нормальная сила момент которой относительно нейтральной оси будет о уо Р = = с1М. Поскольку поперечная сила, являющаяся проекцией на плоскость сечения главного вектора внутренних сил упругости, действующих по сечению, при чистом изгибе равна нулю, и, принимая во внимание, что сила, лежащая в плоскости сечения, не может дать момента относительно любой оси, лежащей в этой же плоскости, касательное напряжение х у должно быть равно нулю и в дальнейшем при рассмотрении чистого изгиба не должно учитываться. Запишем уравнения равновесия для правой части бруса [c.150]

Когда после сварки плоских краев сегмента труба освобождается от всех внешних нагрузок, деформация ее является такой же, как и в состоянии чистого натяжения, но напряжения распределены иначе. Поскольку a z — S3 — Р, условие отсутствия напряжений на концах трубы выполняется, если здесь имеет место равенство Р = S3. В таком случае из уравнения равновесия dPldz = Q следует, что P = Si 0,X) всюду внутри тела, если деформация в действительности остается той же самой. Полученное равенство кажется противоречащим требованию равенства нулю нормального давления на внешней и внутренней поверхностях трубы. Однако из уравнений равновесия [c.336]

Для решеиия плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (7. ) и уравнение неразрывности деформаций (7.3). Однако часто приходится иметь дело с напряженным состоянием, гтри котором во всех точках тела действуют только радиальные нормальные напряжения а . Остальные составляющие напряжений, как и составляющие объемных сил, равны нулю. Такое напряженное состояние называется простым радиальным. [c.91]

Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (7.1), убеждаемся, что при отсутствии объемных сил последние сбращаются в тождества. Чтобы преобразовать уравнение неразрывности деформаций (7.3), сложим почленно формулы для нормальных напряжений (7.24) [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...