Производное отображение частное

Если пространство состояний представляет собой прямую сумму нескольких пространств, то можно рассматривать частные производные отображения. Напри.мер, выражение [c.207]

Имея в виду только пояснение факта естественного возникновения точечных отображений при рассмотрении динамических систем с малыми параметрами при производных, ограничимся частным случаем а = = = а = 0. Фазовое пространство системы уравнений (2) четырехмерно и при д, = 0 его полное рассмотрение весьма затруднительно. Учитывая, что параметр а мал, естественно рассматривать предельное разбиение фазового пространства при х -> 0. При 1 О в фазовом пространстве переменных 1, хч, г/1, 1/2, как известно, выделяется двухмерная поверхность медленных движений [c.151]

Дифференцирование дифференцируемых отображений многообразий в локальных координатах также не представляет труда если / М->М к (ЦН), (V, к) — локальные карты окрестностей точек р М и /(р) 6 ЛГ соответственно, тогда дифференциал отображения / в точке р относительно стандартных базисов задается матрицей частных производных отображения й о/о А в евклидовом пространстве. [c.706]

Производная отображения В и его частные производные задаются соответственно равенствами [c.44]

Будем считать частные производные dv/dxt и саму функцию v независимыми функциональными аргументами, тогда, вводя отображение [c.202]

ЯКОБИАН. Пусть функции fi xu Х2) и f2(Xi, Х2) непрерывно дифференцируемы в области Z), т.е. имеют непрерывные частные производные по обеим переменным. Отображение (II.1) также называ ется дифференцируемым. Его [c.70]

В подавляющем большинстве случаев в интегральные вариационные функционалы, формализующие критерии оптимальности, входят первые частные производные функций, осуществляющих отображение. Уравнения Э 0 для них — система уравнений в частных производных второго порядка, как правило, эллиптического типа. Они отражены в предлагаемой работе кратко, в порядке обзора. [c.513]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

И тем не менее оказалось возможным выделить весьма широкий класс систем вида (2) (содержащий уравнения газовой динамики при дозвуковых режимах), на которые теорема Римана распространяется. Для выделения этого класса мы перепишем систему (2) в другом виде, заменив четыре участвующие в ней частные производные Их, Пу, Vx и иу четырьмя другими величинами, которые элементарно через них выражаются. Эти величины называются характеристиками отображения. Они служат параметрами параллелограмма, который дифференциал отображения I преобразует в единичный квадрат с основанием, наклоненным под углом Р (О Р < 2п) к оси м характеристики, конечно, зависят от р. В качестве таких характеристик выбираются [c.97]

Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда q(p) =/з и q [p) = 1, система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Коши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае т — ta = log I f (z) I + i arg f (z), где f — комплексный потенциал, является аналитической функцией как от z, так и от w = f(z). Таким образом, переменные (т, а) и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений. [c.103]

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с /г-конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши —Римана, /г-конформные отображения связаны с простейшей гиперболической системой [c.127]

При фиксированном отображении у интеграл 5" (2) является функцией т. Вычислим частную производную д8 дх при т = 0. Утверждение. Справедливо следующее представление [c.192]

ММ поведения (ММП) применительно к металлорежущим станкам, узлам и механизмам описывают кинематику и динамику движений. Их адекватная математическая форма - системы дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных, которые подвергают различным преобразованиям, например отображению в комплексное пространство для получения решений в частотной области, или численно интегрируют, воспроизводя в выбранном масштабе движения реального объекта. [c.339]

Уже в элементарном анализе становится понятно, как полезно представлять функцию одной вещественной переменной t в окрестности точки ig в виде суммы главной линейной части — ig) и членов более высокого порядка o t - tg). Менее элементарный вариант той же идеи играет центральную роль в теории гладких динамических систем. Если 7 с R" — открытая окрестность точки и / 17 — R — дифференцируемое отображение, мы можем представить / вблизи от в виде суммы постоянной части /(а ), линейной части — и членов более высокого порядка. Дифференциал Df является линейным оператором в R", представляемым в координатной форме матрицей частных производных. Если [c.28]

Докажите следующий частный и видоизмененный вариант С -сильной структурной устойчивости для д. Для любого такого непрерывного отображения < [ [0,1 ] - [0,1 ], что д, (0) = gj (1) = О, if,(l/2)= 1, отображение д — д является С -гладким на [0,1] 1/2 и функция s-s, достаточно мала вместе со своей производной, существует такой гомеоморфизм Л (О, 1]— [0,1], С°-близкий тождественному, что д, = h о д о h . [c.91]

Доказательство. Повторим соображения, доказывающие, что из непрерывности частных производных следует принадлежность функции к классу С. Для двух данных близлежащих точек х, у мы должны показать, что уз(у) — <р(х) =Ь(у—х) с точностью до членов более высокого порядка по у — ж для некоторого линейного отображения . Так как отображение уз С -гладко вдоль слоев и Т , для точек г е W x)r W y), близких к X и у с точностью до членов более высокого порядка, мы имеем Ну) - = Р У) - = 1(.У - ) + - 2 ). где Ь [c.608]

Что касается непредсказуемости эволюции реальных физических систем, то проведенное нами обсуждение отображений и хаоса многим читателям может показаться неубедительным. И если бы не нижеследующий пример из области механики жидкостей, связь между отображениями, хаосом и дифференциальными уравнениями, описывающими физические системы, могла бы до сих пор не выйти за рамки математических журналов. В 1963 г. специалист по физике атмосферы по имени Э.Н. Лоренц из Массачусетсского технологического института предложил простую модель тепловой конвекции в атмосфере . Жидкость, подогреваемая снизу, становится легче и всплывает, а более тяжелая жидкость опускается под действием гравитации. Такие движения часто организуются в конвективные валики, подобные движениям жидкости в трехмерном торе, показанном на рис. 1.23. В математической модели конвекции, которую предложил Лоренц, используются три переменные (х, у, г), описывающие состояния системы. Переменная х пропорциональна амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует в жидком кольце, а переменные у и г отражают распределение температуры по кольцу. Так называемые уравнения Лоренца можно формально получить из уравнения Навье — Стокса, уравнения в частных производных механики жидкости (см., например, гл. 3). В безразмерном виде уравнения Лоренца записываются следующим образом [c.40]

Критерий гомоклинической траектории является математич . ским приемом получения прогностического соотнощения между безразмерными фуппами переменных физической системы. Он да ет необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения дв> намической системы (см. разд. 6.3 — Фрактальные фаницы области притяжения ). Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря. [c.178]

Вычисление производной в общем случае сводится к этому частному. Лдя этого берется произвольный вектор иногда он называется "пробным вектором) и рассматривается вспомогательное отображение 7 действу ощее по фор ле u e) lL(< i ia) Тогда справедлива фор ла [c.18]

Например, это условие выполнено, если частные производные как функции Р непрерывны по Липшицу, а в пространстве отображений введена норма пространства (й, (подробности см. в упражнении 4.1). [c.174]

Действительно, из этих Неравенств следует, что обе величины в квадратных скобках равны нулю. Таким образом, значения двух отображений и Дц р для предыстории-константы (а, Ь ), значение которой совпадает с равновесной ситуацией (а, Ь), являются значениями соответствующих частных производных от равновесной реакции накопления в этой ситуации, а тогда утверждение теоремы следует из соотношений (XV. 6-9) 1,2 и определений (1). [c.479]

Такая двойственность возможной интерпретации градиентных соотношений (7) и (4) отражает фундаментальное свойство инволюционного преобразования (4). Обычно говорят, что отображение (4) области (р, 8) на область (г, з) представляет собой контактное преобразование. Слово контакт связывается с однократным частным дифференцированием. Заметим, что соотношение (6) между частными производными второго порядка не обращается в тождество в силу одного только равенства (5). [c.17]

Набросок доказательства. Особенность Морса функции характеризуется невырожденностью квадратичной формы — гессиана функции, определенного матрицей вторых частных производных. Аналогично, в случае отображения, имеющего критическую точку коранга 1, на ядре касательного отображения можно определить квадратичную форму, называемую трансверсальным гессианом (определенную с точностью до умножения на ненулевое число), невырожденность которого будет характеризовать тип 51 особенности. Тип 51 с нулевым трансверсальным индексом будет характеризоваться положительной определенностью (или отрицательной определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возможности дать здесь формальное определение трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычисляется в настоящей ситуации это квадратичная форма [c.153]

При рассмотрении иерархических уровней ММ будут представлять собой модели на микроуровне, макроуровне и метауровне. Особенностью ММ на микроуровне является отображение физических процессов в непрерывном пространстве и времени. С помощью дифференциальных уравнений в частных производных рассчитываются поля механических напряжений и деформаций. [c.439]

Пристрелочный метод. Этот метод основан на решении так называемых некорректных граничных задач теории уравнений с частными производными. Пусть, например, требуется найти конформное отображение криволинейной полосы О — О <. у <. у(х) на прямолинейную полосу Д = О < у < 1 . Мы видим, что эта задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа [c.121]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

В механике сплошной среды предполагается, что не только отображения взаимооднозначны, но и частные производные отличны от пуля [c.23]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Все положительные меры эквивалентны, т. е. они имеют одну и ту же совокупность множеств меры нуль. Любая абсолютно непрерывная мера абсолютно непрерывна относительно любой положительной меры. Класс положительных мер инвариантен относительно диффеоморфизмов, а также относительно сюръективных дифференцируемых невырожденных отображений, т. е. отображений, якобиан которых (определитель матрицы частных производных в локальных координатах) обращается в нуль только на множестве меры нуль. [c.193]

Для отображения / Q rX = XiX 2X--.X Хп, которое дифференцируемо в точке а s Q, легко проверить, что п частных производных djf (а) существуют и [c.43]

Мы также будем пользоваться обозначениями с мультииндексами для частных производных высшего порядка в случае отображений f Пусть а = (а1, Оз, а )еЫ" — [c.59]

Мы считаем Ь заданным (в типичных случаях постоянным или нулевым) вектором, и тогда уравнение (1) превращается в условие на деформацию X. В традиционных теориях это условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка по времени и пространственным координатам (по отдельности или по совокупности). В общем случае это — дифференциальнофункциональное уравнение, которое с учетом приведенной формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является линейным относительно производных по пространственным координатам. Возможности современного анализа далеко не достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых задач или задачи с начальными данными для таких уравнений. Тем не менее довольно много известно о частных решениях для специальных классов отображений , и остальная часть этой книги посвящена доказательству и объяснению этих известных в настоящее время теорем рациональной механики. [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...