Системы с периодическими коэффициентами

СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 231 [c.231]

СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 233 [c.233]

О линейных системах с периодическими коэффициентами. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений [c.544]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.470]

Отсюда следует, что матрица Р—периодическая, с начальными условиями Я(0) = /. Таким образом, установлено, что решение системы с периодическими коэффициентами должно состоять из экспоненциального сомножителя, который может быть нарастающим или затухающим, что определяется постоянной матрицей р, и чисто периодического сомножителя Р. Это — основной результат теории Флоке. [c.345]

Рассмотрим теперь поведение решений в окрестности исследованных периодических решений. Наглядной характеристикой автономной системы с одной степенью свободы является ее фазовый портрет. Для неавтономной системы с периодическими коэффициентами аналогичную роль играет стробоскопическая картина, образуемая точками фазовых траекторий в дискретные моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину, кратную периоду системы. Сдвиг времени на период определяет преобразование точек фазовой плоскости. Периодическому решению отвечает неподвижная точка такого преобразования. Периодическое решение будет устойчивым, если образ достаточно малой окрестности неподвижной точки остается малым при произвольном числе последовательных преобразований при этом стробоскопическая картина фазовых траекторий, близких к периодическим, дает замкнутые кривые, окружающие неподвижную точку. [c.101]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

Расстояние между линейными системами с периодическими коэффициентами А = Ву (1) X, =Вц (О X определяется как максимум расстояния между операторами В (<) и В (<) по I. [c.105]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

КНИГИ была доказана важная теорема Ляпунова, утверждающая, что характеристичное уравнение канонической системы с периодическими коэффициентами всегда является возвратным. [c.388]

Приведение системы с периодическими коэффициентами к нормальной форме. [c.283]

Общие сведения о линейных системах с периодическими коэффициентами [c.35]

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Несмотря на принципиальную важность, теорема Ляпунова не дает формальных правил преобразования уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому для выбора новой координатной системы (новых переменных) используется дополнительная информация в виде условия неизменности (инвариантности) процессов электромеханического преобразования энергии и энергетических соотношений относительно координат. Совместный учет математических условий преобразования и дополнительной информации в некоторых случаях делает выбор новой координатной системы однозначным. Иногда же выбор осуществляется путем сравнительного анализа ряда возможных координатных систем. [c.83]

Пусть движение системы описывается однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, имеющими одинаковый период. Параметрический резонанс в ней возникает тогда и только тогда, когда реализуется какой-либо из следующих случаев [c.244]

Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. [c.237]

А. М. Ляпунов показал [35], что всякую систему ли- нейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру-гина [19]. [c.239]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Дифференциальные уравнения типа (4) решены приближенно методом Б. Г. Галеркина и получены бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [c.134]

Из условий (26.20), (26.21) следует, что система с переменными коэффициентами имеет периодическое решение, если таковое имеет аппроксимирующая система. Последняя в соответствии с изложенным имеет периодическое решение, если матрица Н [к] обладает указанными выше свойствами. [c.156]

Электродвигатели переменного тока. Из электродвигателей переменного тока в современных машинах наибольшее применение благодаря высокой экономичности, простоте конструкции и системы управления, высокой надежности получили асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором. Система дифференциальных уравнений, описывающих при определенных допущениях электромеханические процессы преобразования энергии асинхронного двигателя в реальных фазных переменных, является существенно нелинейной с периодическими коэффициентами [17, [c.24]

Выше было доказано, что свойства решений системы дифференциальных уравнений (9.29) с периодическими коэффициентами и набором величин Хо определяются свойствами непрерывных решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При этом построение осуществлено в предположении, что набор величин Хо фиксирован операторами вида (8.50). Выясним теперь условия, при которых система дифференциальных уравнений [c.272]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Уравнения (П. 17) во вращающейся системе координат в общем случае будут представлять собой уравнения с периодическими коэффициентами, которые мы выписывать не будем. Только в частном случае, когда все свойства опор и подшипников осесимметричны, соответствующие уравнения опор во вращающихся осях координат будут уравнениями с постоянными коэффициентами. Условие осевой симметрии применительно к уравнениям (11.17) имеет вид [c.50]

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91 ], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163]. [c.52]

Анализ этого решения указывает на то, что в системах, движение которых удовлетворяет линейным уравнениям с периодическими коэффициентами, возможно неограниченное возрастание амплитуды даже при наличии диссипативных сил. [c.199]

Исследуя малые колебания механизма при его движении без нарушения контакта элементов пары, мы придем к системе двух дифференциальных уравнений, аналогичных тем, которые фигурировали в главе 4, т. е. к системе линейных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.223]

Периодическую краевую задачу Итератор-Ь позволяет решать для линейной системы с периодическими коэффициентами порядка не выше четырех (п 4), а Аркус-Ь) — систему линейных и нелинейных дифференциальных уравнений того же порядка, содержащих в нелинейном случае небо-лее 8 нелинейных функций. ГВС-100 допускает более высокие порядки решаемых систем уравнений [c.127]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Валснейшим из свойств системы с периодическими коэффициентами является зависимость между корнями характеристичного уравнения и корнями определяющего уравнения приведенной системы. Пусть А = есть постоянная матрица, на которую умножается интегральная матрица первоначальной линейной системы (2.37) с периодическими коэффициентами Рво. [c.109]

В локальной теории автономных дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов любое конечное число членов нор мальной формы Пуанкаре—Дюлака вычисляется с помощы конечного числа алгебраических действий. Для периодических дифференциальных уравнений уже вычисление оператора монодромии линеаризованной системы требует решения линейной системы с периодическими коэффициентами в R" при п>1 решение такого уравнения, как правило, не может быть найдено с помощью квадратур (см. 3, гл. 7). [c.110]

Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами. Пусть гамильтонова система с п + 1 степенями свободы имеет замкнутую траекторию, отличную от равновесия. Такие траектории не лежат изолированно, а образуют, как правило, однопараметрические семейства. Приведем задачу о ко-лебанкя.х в окрестности этого семейства к удобному виду. [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...