Линейные системы с периодическими коэффициентами

О линейных системах с периодическими коэффициентами. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений [c.544]

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.470]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

Расстояние между линейными системами с периодическими коэффициентами А = Ву (1) X, =Вц (О X определяется как максимум расстояния между операторами В (<) и В (<) по I. [c.105]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

Общие сведения о линейных системах с периодическими коэффициентами [c.35]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Анализ этого решения указывает на то, что в системах, движение которых удовлетворяет линейным уравнениям с периодическими коэффициентами, возможно неограниченное возрастание амплитуды даже при наличии диссипативных сил. [c.199]

Исследуя малые колебания механизма при его движении без нарушения контакта элементов пары, мы придем к системе двух дифференциальных уравнений, аналогичных тем, которые фигурировали в главе 4, т. е. к системе линейных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.223]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

Таким образом, краевая задача (8)-(10) сведена к решению счетной системы задач Коши (12), (13) для линейных уравнений с периодическими коэффициентами, частота изменения которых равна 2П. Отметим, что влияние внешнего электрического поля определяется квадратом напряжения [/ = 1/ соз Ш. Если 1/о = = О, то = О и уравнения интегрируются в явном виде. Получающееся решение описывает свободные осесимметричные колебания круглой мембраны. При По ф О, О искомое решение Уn t) п = 1, 2,..., выписывается при помощи функций Матье [6]. Случай 1) = О (постоянное напряжение) также представляет интерес (см. ниже). [c.49]

В соответствии с теорией А. М. Ляпунова решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами [c.160]

Следует отметить, что предположение об отсутствии кратных мно- кителей и здесь является излишним. В самом деле, в предыдущем рассуждении мы лишь в одном месте пользовались этим предположением — при ссылке на доказанную в 5 возможность приведения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами посредством надлежащего линейного преобразования зависимых переменных с периодическими коэффициентами. Ио эта возможность имеет место во всех случаях, как доказано, например, в цитированной монографии А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения (см. в особенности 47 главы III этой монографии). [c.366]

Мы видим, что системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами (однородные) резко отличаются по своим свойствам от таких же систем с постоянными коэффициентами. [c.131]

Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды. [c.69]

Пусть движение системы описывается однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, имеющими одинаковый период. Параметрический резонанс в ней возникает тогда и только тогда, когда реализуется какой-либо из следующих случаев [c.244]

Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. [c.237]

А. М. Ляпунов показал [35], что всякую систему ли- нейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру-гина [19]. [c.239]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91 ], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163]. [c.52]

На рис. 3 приведены фазовые траектории системы, поведение которой описывается уравнением (1) в зоне основного параметрического резонанса при различных значениях ji 0 0,1 0,2 0,3. Анализ графиков на рис. 3 показывает, что изменения фазовых траекторий при увеличении коэффициента аналогичны изменениям фазовых траекторий линейной колебательной системы второго порядка при уменьшении коэффициента трения. Фазовая траектория при д. 0,3 аналогична фазовой траектории системы при = О и с отрицательным коэффициентом трения. Таким образом, периодическое изменение жесткости колебательной системы в зоне параметрического резонанса компенсирует потери на трение и с увеличением коэффициента пульсации приводит к раскачке системы, аналогичной поведению линейной системы с отрицательным трением, [c.62]

Значительно сложнее случай параметрического возбуждения. При этом (1) является системой линейных ди(])ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Достаточно подробная теория существует в настоящее время лишь для случая, когда коэффициенты изменяются гармонически. Даже в этом случае решения таких уравнений как правило являются непериодическими. Влияние параметрического возбуждения на спектр вибраций описать теоретически пока невозможно. Скорее всего, следует ожидать появления в спектре дополнительных гармоник, лежащих в областях параметрического резонанса колебательной системы [9]. [c.48]

Периодическую краевую задачу Итератор-Ь позволяет решать для линейной системы с периодическими коэффициентами порядка не выше четырех (п 4), а Аркус-Ь) — систему линейных и нелинейных дифференциальных уравнений того же порядка, содержащих в нелинейном случае небо-лее 8 нелинейных функций. ГВС-100 допускает более высокие порядки решаемых систем уравнений [c.127]

В локальной теории автономных дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов любое конечное число членов нор мальной формы Пуанкаре—Дюлака вычисляется с помощы конечного числа алгебраических действий. Для периодических дифференциальных уравнений уже вычисление оператора монодромии линеаризованной системы требует решения линейной системы с периодическими коэффициентами в R" при п>1 решение такого уравнения, как правило, не может быть найдено с помощью квадратур (см. 3, гл. 7). [c.110]

Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти пери-одическге решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть ) оторых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46). [c.57]

Метод построения вспомогательных ц-систем. Показано, что предложенный для ЛСПК метод построения вспомогательных ц-систем в данном случае приводит к ц-системам более широкого класса разрывным, вообще говоря, по / вспомогательным линейным системам с периодическими, аналитическими на интервалах непрерывности коэффициентами. (На промежутке [О, Т] периодичности вспомогательная ц-система может иметь, в силу аналитичности коэффициентов исходной системы, лишь конечное число точек разрыва.) [c.104]

Метод Ляпунова оценки характеристичной постоянной, системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, развитый для уравнения Хилла, был распространен на общий случай системы двух линейных уравнений с периодическими коэффициентами В. М. Старжинским (1953—1960, 1964) и на некоторые типы линейных систем произвольного порядка В. М. Старжинским (1958—1959) и В. А. Якубовичем (1957). [c.37]

Валснейшим из свойств системы с периодическими коэффициентами является зависимость между корнями характеристичного уравнения и корнями определяющего уравнения приведенной системы. Пусть А = есть постоянная матрица, на которую умножается интегральная матрица первоначальной линейной системы (2.37) с периодическими коэффициентами Рво. [c.109]

С. Н. Шиманов доказал в 1954 г., что характеристические показатели системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами также являются голоморфными функциями от параметра, входящего в коэффициенты такой системы. [c.261]

Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова, М. Г. Крейпэ, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, Р1. М. Гель-фанда и В. Б. Лидского, Ю. Мозера и др. Полученные результаты изложены в монографии [97], где приведена и обширная библиография по устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи о параметрическом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики. Будем предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствующая системе (1.1), имеет вид [c.43]

Пусть теперь Зс,(/),Х2(/),ЗСз(0- периодическое решение периода Ттой же системы третьего порядка. Линеаризуем ее в окрестности X,, Х2, и придем к линейным уравнениям с периодическими коэффициентами - уравнениям типа (17.8), (17.70). Составим характеристическое уравнение линеаризованной системы. Эго будет уравнение (17.20) при /1 = 3 [c.345]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Алгоритм нормалшшции гамильтоновой системы линейных уравнений с периоднческнмп коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу 11(0 вещественной и ненрерыи-пой 2л-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система [c.396]

Эта система допускает следующие решения а = Ь = Л = 0, что соответствует отсутствию в системе установившегося периодического движения (состояние покоя). Такое состояние является возможным равновесным состоянием системы, и вопрос о его осуществимости при данных значениях параметров системы и характере внешнего воздействия можно решить только на основе рассмотрения вопроса об устойчивости данного состояния. Анализ устойчивости системы по отношению к малым отклонениям от состояния покоя приводит к линейному уравнению с периодически изменяющимся коэффициентом (типа уравнения Матьё). Для этого уравнения, как мы [c.136]

Пусть вибрационная машина допускает схематизацию в виде линейной системы с постоянными параметрами и одной степенью свободы, определяемой координатой х исполнительного органа 1 (рис. I, а), масса которого т. Исполнительный орган совершает вынужденную вибрацию под действием периодической вынуждающей силы F t), имеющей период 2я/со, сил пружины 2 с коэф<1)11циентом жесткости с и демпфера 3 с коэффициентом сопротивления Ь. Пружина и демпфер могут моделировать взаимодействие исполнительного органа с обрабатываемой средой и другими частями машины. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...