Оператор Фурье

Образуем теперь уравнения для трансформант, аналогичные уравнениям (4.4) и (4.7). Подействовав оператором Фурье на все слагаемые, например, первого из уравнений (4.4), получим [c.456]

Подействовав оператором Фурье (по переменным х и у), придем к обыкновенным дифференциальным уравнениям для трансформант [c.458]

Преобразования Лапласа и Фурье ставят в соответствие функции времени f(t) функцию комплексной переменной (для оператора Лапласа) f (s) или мнимой переменной (для оператора Фурье) f(yto). Исходная функция времени f(t) называется оригиналом, функции f(s) и f(/to) — изображениями. Изображение Фурье x(je>) для произвольного временного сигнала x(t) называют также комплексным частотным спектром сигнала. [c.746]

Преобразование Фурье широко используется в когерентной оптической обработке информации и применяется повсюду, где требуются частотный анализ, фильтрация, корреляция и распознавание сигналов. При определенных условиях [14, гл. 4] свойства когерентной оптической системы естественным образом описываются оператором фурье-образа, что в общем случае представляет собой двумерное преобразование Фурье. [c.27]

Подставив сюда выражения (1.15) и применив затем оператор Фурье к обеим частям равенств (2.1), получим [c.22]

Подставив в (2.24) выражения (1.15) п применив затем оператор Фурье к обеим частям равенств (2.24), получим [c.28]

Переход к f i-представлению. Умножив (8) на оператор Фурье J da ехр —iat), получим [c.106]

ВОЗМУЩЕНИЕ интегральным ОПЕРАТОРОМ ТИПА ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ (Пример) [c.267]

В качестве примера применения ядерных методов рассмотрим сейчас возмущение оператора умножения интегральным оператором типа оператора Фурье. Напомним, что возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким и достаточно быстро убывающим на бесконечности ядром изучалось в 4.1, 4.2. Ядро оператора Фурье, однако, не убывает на бесконечности. [c.267]

Решение 2. Если L — линейный оператор, то для определения функции Грина удобно использовать метод Фурье-преобразования. [c.20]

Вектор Ь может быть комплексным, например Ь=1к при усреднении разложения Фурье, или даже оператором.) Заметим, что эту формулу легко получить разложением в ряд по Ь функции [c.223]

Правые части этих уравнений представляют собой конечно-разностные аппроксимации оператора Лапласа, а в целом уравнения (4.47) и (4.48) соответствуют уравнению Фурье, решаемому в дискретизированном пространстве при непрерывном изменении временного аргумента. [c.87]

В этом случае перестановка порядка интегрирования приводит, как и в одномерном случае, к совершенно иному результату. Отметим, что использование разложений характеристик f(go,S) и /1(<7о, 0) в ряд Фурье позволяет получить для интеграла (3.26) представление, в которое входят степени одного простейшего сингулярного оператора. [c.60]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

После того как определена функция F t, р), ее удобно использовать для отыскания реакции объекта на различные входные возмущения. Действительно, F t, р) обладает свойством, аналогичным свойству (2.2.77) передаточных функций. Если вместо прямого и обратного преобразования Фурье (2.2.50) и (2.2.49 использовать, соответственно, прямое и обратное преобразования Лапласа, то правило действия оператора А можно записать с помощью F t, р) в следующем виде [c.91]

Дефектоскопическая информация во многих случаях представляет собой изображения различного типа. Например, при контроле усталостных трещин оператор сравнивает изображения эталонной и контролируемой поверхностей.. Аналогичные операции многократно выполняются при сравнении формы однотипных изделий, выявлении дефектов заданного типа на фоне структурных помех и т. д. Это вызывает утомление операторов и приводит -к ошибкам распознавания дефектов. Во всех этих случаях эффективно применение когерентно-оптических методов фильтрации основных частот изображения, позволяющих устранить ошибки операторов. Любое изображение можно представить его частотны.м спектром (спектром Фурье), представляющим собой совокупность синусоидальных решеток с различным периодом изменений яркости и различной ориентации на плоскости. Двумерное преобразование Фурье может быть -выполнено с помощью ЭВМ, однако оптические устройства выполняют эту операцию существенно проще и быстрее. Воздействуя на спектр изображения с помощью различных устройств (масок, диафрагм), можно осуществлять его обработку в реальном масштабе времени. [c.97]

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье —Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды здесь а — коэффициент температуропроводности и — оператор Лапласа. [c.38]

Разработанный Фурье-фрактографический анализ использовали для сравнительного анализа данных о кинетических закономерностях роста трещины в случае нерегулярного нагружения, чтобы измерения шага усталостных бороздок могли быть выполнены автоматизированно, без влияния субъективного отбора измеряемых величин оператором. [c.214]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

Правила перехода от квантовых к классич. величинам таковы. Классич. частоты определяют расстояния между соседними уровнями. Матричные элементы физ. величин переходят в фурье-компоненты соответствующих классич. величин. Наконец, перестановочным соотношениям операторов в квантовой механике соответствуют классические Пуассона скобки., помноженные на —ih. [c.254]

Эти два типа модовых эрмитовых пучков отличаются также разным видом ди-фракции Фраунгофера. Световое поле Е является собственной функцией оператора Фурье [18] [c.518]

Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными В 4 т. Т. 4. Интегральные операторы Фурье.— М. Мир, [c.226]

Т р е в Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье М. Мир, 1984 [c.308]

Во многих случаях для передачи и запоминания изображения необходимо использовать канал с широкой полосой пропускания и память с большой емкостью. Для уменьшения требований к указанным характеристикам системы необходимо использовать эффективное кодирование изображения или сжатие данных. Если определить, что изображение задано в NxN отсчетах, каждый из которых соответствует уИ-му уровню квантования по яркости, то под сжатием в области объектов понимают сокращение числа отсчетов и/или сокращение числа уровней квантования. Однако возможно другое сжатие информации, которое заключается в преоб-разозании изображения, например, с использованием операторов Фурье, Адамара, Хаара, затем квантовании полученных коэффициентов разложения и/или их исключении по какому-либо правилу. Для того чтобы восстановить изображение, выполняется обратное преобразование по сжатым коэффициентам. [c.212]

Отмечая эти точки на частотной характеристике (рис. VI.20) и вспоминая о наличии полосы пропускания, благодаря чему практически оказывается необходимым рассмотреть лишь конечное (и обычно небольшое) число таких точек, мы можем для каждой из этих точек определить модуль частотной характеристики и ее аргумент и, подставив их в формулу (73), найти вынужденное колебание. Этот ряд можно изобразить графически, откладывая в точках О, Q, 2Q,. .. оси Q значения амплитуд гармоник Ak и соответствующих сдвигов фаз ф (рис. VI.21). Такой график называется линейчатым спектром воздействия. Аналогично возникающее в результате вынужденное движение также представимо рядом Фурье и изображается своим линейчатым спектром. Частотная характеристика W (02) в этом случае играет роль оператора, преобразующего линейчатый спектр возмущающей силы в линейчатый спектр вынужденного движения. [c.251]

Полученное выражение для jq обладает одним большим недостатком оно не является калибровочно инвариантным. В этом можно убедиться, если вычислить divj, которая, согласно условию непрерывности, должна быть равна нулю. В Фурье-компонентах это требование сводится к условию qjq = 0. Легко видеть, что выраженио (4.7) в общем случае не удовлетворяет этому условию. Это обстоятельство, но замеченное авторами работы [2], но является удивительным, поскольку использовавшаяся ими техника теории возмущений не является калибровочно инвариантной. В действительности в формуле (4.7) под Aq следует понимать лишь поперечную часть потенциала. Преобразование (2.3) от операторов а , к паре операторов и производится таким образом, что образующиеся [c.899]

Для дальнейшего полезно рассматривать интеграл Фурье (4.65) как тождественный оператор, при действии которого на функцию f (х) получается та же функция. Для функции двух переменных 1) (х, t), рассматривая / как параметр, на основании (4.65) можно написат [c.140]

Взяв преобразование Фурье от r,ig(t) и применив оператор перехода к одной переменной в частотной области, получим следующую формулу для вычисления спектральной плотнэсти математического ожидания сигнала на выходе стационарной полиномиальной системы [c.110]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Предполагая здесь и в дальнейшем, что оператор преобразования Фурье коммутативен с оператором дифференцирования д/дРо, после умножения всех членов уравнений (4-1-Q)— (4-1-3) на os и интегрирования по X от О до 1, 1исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом (5-2-4)—(5-2-5) можно преобразовать к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений [c.157]

Симметрия между п ямым и обратным преобразованиями Фурье является причиной сходства формулировок теории в импульсном и конфигурац. представлениях. В пек-рых случаях эти две формулировки оказываются тождественными. Так, операторы угл. момента Дг = 1, 2, 3) пмегот один и тот же вид в обоих представлениях [c.133]

Рл- — фурье-компонепты оператора плотности заряда, [c.533]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Доказательство М,— В. т. основано на неравенстве Бого.тюбова для статистич. средних. Подстановка в него Фурье-комповент операторов спиновой плотности и гамильтониана Гейзеиберга даёт для двумерной решётки спинов [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...