Колебания Виды струны

Характер колебаний, которые струна совершает в действительности, зависит от начальных условии. Например, струна будет колебаться только в основном тоне, если при t = О она имела форму первой кривой (п = 1) и все ее точки были в покое. Если же начальная форма струны иная, то кроме основного тона появляются и обертоны, так как колебания струны представляют совокупность налагающихся друг на друга отдельных колебаний. Уравнение движения примет в этом случае такой вид [c.567]

Представим у-е гармоническое колебание однородной струны в виде [c.259]

Менее известны электромеханические ФВП с упругими колебательными системами в виде струн, мембран, пластин, оболочек. Струнные ФВП представляют собой конструктивно обособленные узлы или устройства, включающие механический резонатор с линейным одномерным распределением масс (т. е. струну) и встроенные элементы систем возбуждения и регистрации его колебаний — магниты, электроды и т. д. Как правило, струнные ФВП осуществляют преобразование силы натяжения струны в частоту одной из форм (обычно — низшей) ее собственных изгибных колебаний. На базе струнных ФВП созданы такие приборы, как датчики кажущихся ускорений (акселерометры), датчики давлений, датчики малых перемещений и др. [c.444]

Ни Д. Бернулли, ни Эйлер не располагали еще тогда общим методом сведения задач динамики к задачам статики. Даламбер, разработавший такой метод, смог вывести в 1750 г. первое уравнение математической физики в частных производных — уравнение поперечных колебаний однородной струны в виде [c.267]

Чтобы определить нормальные колебания ограниченной струны, можно воспользоваться общей методикой, разобранной в главе I. При любом таком нормальном колебании у изменяется как простая гармоническая функция времени, например как os(w/- -e). Тогда у = —п у и уравнение (2) 22 принимает вид [c.94]

Другие граничные условия. В общем случае поперечных колебаний непрерывной струны нет необходимости, чтобы оба ее конца были закреплены. Один или оба конца могут быть свободны, по крайней мере в случае поперечных колебаний. Натяжение струны и равновесную конфигурацию можно создать при помощи невесомого кольца, скользящего без трения по стержню, который направлен вдоль оси X и перпендикулярен оси равновесной конфигурации (эта ось совпадает с осью г). Нормальные моды при этом будут иметь другую конфигурацию, чем в случае двух закрепленных концов. Они по-прежнему будут синусоидальными функциями от 2, описываемыми выражением (19), а дисперсионное соотношение между частотой и длиной волны будет иметь вид (22). Действительно, все рассуждения, предшествовавшие решению (23), которое представляет собой общее решение для смещения струны в отдельной моде, не зависят от начальных условий. Мы перешли к решению для струны, закрепленной в точках 2=0 и 2=L, после рассмотрения решения (23). [c.75]

Простейшими периодическими функциями, с какими знакомы математики, являются круговые функции, выражаемые с помощью синуса и косинуса в самом деле, других функций, которые приближались бы к ним по своей простоте, нет. Они могут обладать любым периодом и, не допуская никакого другого изменения (за исключением величины), представляются вполне подходящими, чтобы образовывать простые тоны. Кроме того, Фурье доказал, что наиболее общая однозначная периодическая функция может быть разложена в ряд по круговым функциям, периоды которых целое число раз содержатся в периоде данной функции. Таким образом, следствием общей теории колебаний является то, что только тот частный их тип, который мы склонны теперь рассматривать как соответствующий простым тонам, способен сохранять свою целостность среди превратностей, каким он может подвергаться. Всякий другой вид колебаний, поскольку одна его часть затрагивается в иной степени, чем другая, доступен какому-либо физическому анализу. Если бы анализ внутри уха происходил по принципу, отличному от того, который имеет место в согласии с законами неживой материи вне уха, следствием этого было бы то, что звук, первоначально простой, мог бы превратиться в сложный на своем пути к наблюдателю. Однако нет никаких оснований полагать, что в действительности происходит что-либо подобное. Если принять, что в согласии с теми представлениями, какие мы можем создать об интересующем нас предмете, анализ звука внутри уха должен осуществляться физическим механизмом, подчиняющимся тем же законам, какие господствуют и снаружи, то все говорит за то, что и тоны следует считать обязанными колебаниям, выражаемым круговыми функциями Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным этим. В главе о колебаниях струн мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совершаемого струной, и, в частности, о том, является ли его компонентой какое-нибудь определенное простое колебание или нет. Здесь мы уже располагаем решающим критерием. Экспериментальным путем установлено, что всякий раз, когда согласно теории имеет место какое-либо простое колебание, можно слышать соответствующий тон, всякий же раз, когда такое колебание отсутствует, тона слышать нельзя. Мы вправе поэтому принять, что простые тоны и колебания кругового типа неразрывно связаны друг с другом. Этот закон был открыт Омом. [c.39]

Мы рассмотрим теперь коротко другой очень любопытный вид сохранения постоянной интенсивности колебаний, особенностью которого является то, что сила, поддерживающая колебания, действует с частотой, вдвое большей частоты самого колебания. Лучшим примером этого является, повидимому, разновидность опыта Мельде, в которой поперечные колебания тонкой струны поддерживаются тем, что один из ее концов связан с колеблющейся ножкой масси шого камертона движение точка [c.101]

Ряды Фурье.—Резюмируем полученные результаты. Струна, закрепленная в двух точках, имеет бесконечное число возможных частот колебаний. Если опоры жёсткие, то эти частоты связаны ме кду собой особенно простыми соотношениями. Если такая струна приведена в колебания соответствующим образом, то она может колебаться с одной из этих частот. Однако, в общем случае её движение должно составиться из всех возможных колебаний вида [c.105]

Ряд (10.12) очень ясно показывает явление резонанса и резонансные свойства системы, которые мы начали изучать в 7, посвящённом связанным системам. Вид струны в её установившемся движении обычно есть комбинация всех нормальных мод колебания струны, выражаемых законом sin ппх/1). Если частота вынуждающей силы u)/2ir близка к одной из собственных частот ПС 21, роль соответствующей моды в образовании формы струны становится большей, чем роль всех других. Другими словами, когда частота вынуждающей силы прибли-№ается к одной из собственных частот струны, оказывается, что амплитуда движения неограниченно возрастает и форма струны [c.119]

Таким образом, мы видим, что аналогия оказывается плодотворной. Каждая нормальная мода оказывается аналогичной простому осциллятору или контуру с индуктивностью М х, п), сопротивлением R x, ,n) и ёмкостью 1/A (x, п), соединёнными последовательно. Характеристический импеданс n-Vi моды колебания возмущений струны определится выражением [c.150]

Рассмотрим формы колебаний натянутой струны, симметричные относительно середины. Легко видеть, что в данном случае подходящей является функция —а , представляющая симметричную параболу, удовлетворяющую условиям на концах (//)t= i = 0. Умножая эту функцию на х ,..., получим ряд симметричных кривых, удовлетворяющих условиям на концах. Таким образом, мы приходим к следующему выражению для кривой изгиба колеблющейся струны [c.371]

Уравнение (7.221) эквивалентно уравнению колебаний системы с одной степенью свободы, например приведенной на рис. 7.24. Если не учитывать силу веса, то уравнение малых колебаний массы т, закрепленной на струне (рис. 7.24), имеет следующий вид [c.220]

В простейшем случае однородной струны с закрепленными концами собственные формы колебаний системы имеют вид (х) = [c.329]

Учитывая, что к = 2я/ ., получим 1 = пХ. Таким образом, решения вида (10.2.16) дают собственные колебания, при которых на струне укладывается целое число длин волн. Это четные обертоны струны. Для таких колебаний точка Ь = 1/2 является узлом и поэтому резонатор не влияет на собственные частоты. [c.331]

Особенно простой вид система (2.54) принимает для предварительно напряженной прямолинейной гибкой нити-струны (рис. 13). В этом случае Np = N , ds = d , dA /ds=l, di//ds = 0, EA Nf,, и система (2.54) разбивается на два уравнения — продольных (и ) и поперечных (Uy) колебаний [c.40]

Найдем еще и другое решение рассмотренной задачи о колебании струны. Оставим принятые единицы длины и времени прежними, т. е. положим опять длину струны и продолжительность простого колебания основного тона равными я тогда дифференциальное уравнение для перемещения примет вид [c.370]

Даниил Бернулли отметил это сложение простых и изохронных колебаний при движении колеблющейся струны, нагруженной множеством мелких грузов он рассматривал его как общий закон всех малых взаимных движений, которые могут иметь место в любой системе тел. Единственного случая, подобного случаю колеблющихся струн, было недостаточно для того, чтобы установить этот общий закон однако тот анализ, который мы только что дали, обосновывает этот закон вполне надежно и в общем виде из него видно, что сколь неправильными ни могли бы нам показаться малые колебания, наблюдаемые в природе, они всегда могут быть сведены к простым колебаниям, число которых равно числу колеблющихся в той же системе тел. [c.458]

При возбуждении в С. стоячих волн точки С. имеют разные амплитуды смешений, но движутся синхронно, прогибы всех точек одновременно достигают своих макс. и мин. значений. Произвольное возмущение закреплённой С. может быть представлено в виде суммы её собств. гармонии, колебаний с частотами и амплитудами смещений А . Наибольшая энергия колебаний приходится на осн, частоту oi, а с увеличением номера п энергия собств. колебаний падает и становится тем меньше, чем больше номер частоты. Соответственно струна излучает звук, характеризуемый осн. тоном и обертонами. Последние создают тональную окраску звука — тембр. Полная энергия колебания струны IV определяется энергиями отд. собств. колебаний и равна [c.10]

В случае свободных гармонических колебаний струны фиксированной частоты ш амплитуда и(х) будет определяться из уравнения вида (170) при /(л ) = О, т. е. из однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. [c.114]

Сравнительная оценка демпфирующих свойств материалов может быть также произведена при изгибных колебаниях консольного образца 3 (рис. 11.8.3, д), жестко закрепленного в подвешенной на струнах 1 массивней плите 2 или в установленной на плоских пружинах 1 (рис. 11.8.3, е) в виде широких полос или диафрагм платформе 2 электродинамического возбудителя 4. [c.320]

Наблюдение за многообразием различных явлений природы показывает, что между процессами распределения света, колебаний вдоль натянутой струны или волн по поверхности воды много общего. Эти процессы подчиняются одинакового вида элементарным математическим уравнениям. Не вдаваясь в подробности о природе световых волн, можно и для светового колебания написать, что [c.8]

Это значит, что при помощи подстановки вида (14.11.5) мы, как и в 13.7, получим неоднородные уравнения колебания струны [c.200]

Легко видеть, что гармоничность обертонов системы тесно связана с равномерным распределением узловых точек вдоль системы. Действительно, например, для второго обертона (второго нормального колебания) однородной струны, кроме двух у.зловых точек на концах струны, появляется еще узловая точка в середине струны. Эгу узловую точку можно закрепить мы этим не нарушим второго нормального колебания струны, которое при этом превран1ается в первое нормальное колебание (основной тон) для каждой из двух половин струны. Но основной тон для половины струны должен быть ровно вдвое выше основного тона для всей струны. Поэтому второй обертон для всей струны должен быть ровно вдвое выше ее основного тона, т. е. должен быть гармоническим. Гармоничность обертонов как раз связана с тем, что узловые точки делят однородную колеблющуюся систему на равные части. [c.672]

Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях участка струны, заключенного между двумя движущимися вдоль нее абсолютно жесткими закреплениями, вынолненными, например, в виде колец с внутренними диаметрами, равными диаметру струны. На начальном этапе, пока еще амплитуда колебаний достаточно мала, волновые процессы в системе описываются уравнением [c.157]

Продольные колебания стержней или проволоки почти не находят важных практических применений, за исключением некоторых примитивных видов телефона. Что касается стержней, то у них высота тона продольных колебаний очень высока по сравнению с высотой тона поперечных колебаний при этом очень трудно избежать появления поперечных колебаний при возбуждении продольных. Далее, если сравнить частоты продольных колебаний натянутой струны с частотами соответственных поперечных колебаний, то отношеипе будет таким же, как отношение скоростей волн, [c.154]

Рис. 132. Кривая у2(с) для нормальных колебаний сплошной струны с периодически меняющимися плотностью и упругой постоянной (расшм-реиная зонная схема). Если бы струна была совершенно однородной, то кривая у2(с) имела бы вид параболы. Эту кривую следует сравнить с изображённой иа рис. 131.

Полученные формулы для рассмотренных величин (выражения (6.И) — (6.18)) проверялись многими авторами экспериментально, а приведенный путь расчета А (или а/й и с(Й)) уточнялся. Трудность экспериментальной проверки теории, основанной на струнной модели движения дислокаций в поле звуковой волны, состоит в том, что в теорию входит много параметров (/ , Ь, В, А, С, Ь и т. д.), определить более или менее точные значения которых представляет значительные трудности. Так, для того чтобы согласовать данные для А(Й), получающиеся из теории, с экспериментальными результатами, приходится задавать средние значения для плотности дислокаций 1яй10 —10 м В 10 —10 / 10 —10 и т. д. Эти значения не могут быть точно измерены. Качественный характер приведенных теоретических зависимостей, тем не менее, оправдывается на эксперименте. Хотя в саму теорию заложено много упрощающих предположений, описанная модель колебаний закрепленной дислокации, имеющей вид струны в вязкой среде, в общих чертах, по-видимому, следует считать правильной. [c.268]

Для Оценки акустических параметров струны прибегают к некоторым допущениям Предполагают, что струна не имеет жесткости, плотность струны равномерна по длине, колебания возбужденной струны происходят с относительно малой амплитудой в одной плоскости. Тогда уфавнение колебания закрепленной на концах струны в среде без трения можно представить в виде [c.87]

Возбуждение струн дискантового регистра. В дискантовом (верхнем) регистре (примерно 61...88 хоры) периоды колебаний струн не только сравнимы со временем удара молотка, но и могут быть меньше его. В дискантовом регистре за время удара к месту касания молотком струны успевают вернуться отраженные опорами волны не только от ближней, но и от дальней опоры. Анализ показывает, что влияние отрал<енных волн на ускорение молотка, а следовательно, и характер силы, действующей на струну, практически незначительно. Поэтому можно считать, что сила, действующая на молоток, изменяется по закону, близкому к синусоидальному. Поскольку время касания молотком струны больше периода ее собственных колебаний, реакция струны на молоток имеет упругий характер. Амплитуды колебаний струны малы по сравнению с величиной сжатия фильцевой подушки молотка (он более гибкий, чем струны). Зависимость ускорения молотка от времени имеет форму, близкую к синусоидальной. Тогда силу воздействия молотка па струну, если пренебречь трением фильцевой подушки (/ = 0), можно представить в виде [c.138]

В главе II мы дали ряд применений операторного метода го преимущества по сравнению с обычными методами при решении простых задач не были очевидными, и могло показаться, что мы используем неубедительные доводы для доказательства ценности операторною метода. Теперь, однако, хмы видим, чю лаже задача о колебаниях простой струны полностью подтвер-ждае нашу точку зрения на преимущества операторного метода. Честно говоря, следует признаться, что результирующий ряд для 7/ х, I) не представляет собой хорошего приближения для описания движения реальной фортепианной струны, приведённой в движение ударом отчасти это обусловлено тем, что реальная с 1 руна обладает определённой жёсткостью. Мы покажем в следующей главе, как можно уточнить полученное решение. [c.125]

Картину распространения бегущей волны по струне можно наглядно представить себе следующим образом. Вообразим трубку, изогнутую в виде синусоиды с амплитудой и расстоянием между максимумами X = vT, где v скорость распространения импульса вдоль струны, а Т — период тех колебаний, которые совер-HiaeT конец струны. Продернем струну в эту трубку и затем будем дви- < < [c.681]

Если струна имеет бесконечную длину, то по ней могут распространяться колебания любой длины. Колебания струны, закрепленной на обоих концах, описываются стоячими волнами синусоидального вида. Наибольшая длина волны, отвечающая минимальной частоте (vmin), равна удвоенной длине струны (2L). Узлы стоячей волны расположены в точках закрепления струны. Это так называемый основной тон струны и частота его равна v. Наряду с ним возможны колебания с более высокими частотами, кратные v,— обертоны, т, е. частоты 2v, 3v и т. д. Частота 2v (первый обертон) соответствует появлению одного узла посредине струны, так что обе половины струны влево и вправо от него колеблются в противоположных фазах. [c.27]

Модель Дебая. Вначале Дебай пренебрег атомной структурой твердого тела, рассматривая его как упругий континуум. Это эквивалентно тому, как если бы представить. твердое тело лише нным внутренней структуры, т. е. в виде трехмерного аналога непрерывной струны. Число колебаний такого тела бескс1нечН 0, а частоту их можно вычислить по геометрическим раз.мерам тела, его упругости и плотности. В итоге получается основная частота колебаний и бесконечное число обертонов. [c.39]

Все выводы предыдущего параграфа справедливы при предположении, что источник внешнего воздействия на систему обладает бесконечно большой мощностью. Только в этом случае можно считать постоянными амплитуду напряжения (генератор напряжения) или амплитуду тока (генератор тока) и не учитывать обратное влияние системы на источник колебательной энергии. Учтем теперь, что реальный источник обладает конечной мощностью, и колебательная система оказывает на него обратное воздействие Рассмотрим механическую систему, эквивалентная схема кото рой представлена на рис. 10.17. Возбуждаемая струна характе ризуется плотностью р, натяжением Т и плотностью сил трения h В центре струны через пружину связи с коэффициентом упру гости k подключен генератор механических колебаний. Генера тор представлен в виде резонатора с массой М, образованного пружиной с коэффициентом упругости k и элементом трения, характеризуемым коэффициентом крез- Автоколебательные свойства резонатора учтены зависимостью йрез от амплитуды колебаний. Эта зависимость приведена на рис. 10.18 (мягкий режим). Величина Ар является амплитудой устойчивых стационарных колебаний генератора в отсутствие связи со струной. [c.341]

Формулы, дающие движение натянутой струны, нагруженной неопределенным числом равных тел, не вызывают никаких затруднений, поскольку движение каждого тела определяется частным уравнением ясно, что если эти же формулы можно применить к движению струны постоянной плотности, допуская, что число тел берконечно велико, а их взаимные расстояния бесконечно малы, то закон, который отсюда получится для колебаний струны, будет совершенно независим от ее первоначального состояния и если этот закон окажется тем же, какой получается из рассмотрения произвольных функций, то тем самым будет доказано, что эти функции могут быть любого вида, непрерывного или прерывного, лишь бы только они представляли начальное состояние струны. Этим именно путем я в первом томе Memoires de Turin доказал правильность построения Эйлера, которое до тех пор еще не было достаточно обосновано. Примененный мною там анализ, за исключением некоторых упрощений, которые я ввел с тех пор, совершенно подобен тому, какой я дал сейчас я полагал, что его следует [c.517]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Возбуждение волн. Источниками В. могут служить любые движения, нарушающие равновесное состояние среды (системы) камень, брошенный в воду, движущееся по воде судно, полёт снаряда, вибрации мембраны, струны, голосовых связок человека, колебания за-рядоп и токов в антеннах радиостанций и т. д. Во всех этих случаях источники поставляют энергию, уносимую бегущими В. Если источники синусоидальны [напр., ф-ция / и волновом ур-нии (5) — синусоида], то в линейных системах они возбуждают гармонич, волны. Источники В. классифицируются либо по типам создаваемых ими полей, либо по механизмам возбуждения. Так, пульсирующий шар создаёт в сжимаемой среде (газе, жидкости) симметричную сферич. звуковую В. типа (21а). Такой источник наз. монополем (рис. 13, а). Малые колебания тела как целого, напр, вдоль оси 2 около нек-рого положения равновесия (г—0), дают несимметричную сферич. В, вида [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...