Устойчивость движения равновесия

Однородный стержень АВ длины 2L = 180 см и массы Mi—2 кг подвешен в устойчивом положении равновесия на острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут перемещаться два шара массы ТИг = 5 кг каждый, прикрепленные к концам двух одинаковых пружин. Стержню сообщается вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей ni = 64 об/мин, причем шары расположены симметрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити удерживаются на расстоянии 2/i=72 см друг от друга. Затем нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение равновесия на расстоянии 2/2 = 108 см друг от друга. Рассматривая щары как материальные точки и пренебрегая массами пружий, определить новое число пг оборотов стержня в минуту. [c.291]

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [c.397]

Собственные колебания могут происходить не только около положения устойчивого равновесия, но и по отношению к устойчивому движению, например крутильные колебания равномерно вращающегося вала. [c.529]

А. М. Ляпунов (1857 — 1918) — создатель современной теории устойчивости движения. Ему принадлежит также исследование устойчивости форм равновесия вращающейся жидкости, имеющее огромное значение для научной космогонии. [c.6]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают вблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15). [c.236]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

На рис. 2.2 видно, что в устойчивых состояниях равновесия производная f (Xk) <0, а в неустойчивых состояниях Г > О- Значение f (л ) = О может быть как в точках устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия (см., например, точки х = Х2, х = на рис. 2.2). Поскольку характер движения в системе первого порядка полностью определяется видом функции / (х), представляет интерес рассмотреть случай, когда эта функция зависит от некоторого параметра X, и изучить влияние параметра X на характер фазового портрета рассматриваемой системы. Для этого, [c.22]

Таким образом, при любых значениях физических параметров в области ё > О рассматриваемая система обладает единственным глобально устойчивым состоянием равновесия какие бы начальные условия мы не задавали, система совершает затухающие (периодические или апериодические) движения. [c.39]

Устойчивой особой точке 0 ° соответствует установившееся движение динамической системы, называемое устойчивым состоянием равновесия. Область притяжения устойчивого состояния равновесия состоит из всех переходных движений, которые имеют своим предельным движением это равновесное состояние или, проще, которые в него переходят. В некотором смысле сказанным полностью решается вопрос о состояниях равновесия и их устойчивости в большом, поскольку состояния равновесия находятся из уравнения [c.245]

Как и всегда, особый интерес представляет случай бифуркаций с участием устойчивых состояний равновесия и периодических движений. В этом случае р = п — 1. Далее, как [c.265]

Таким образом, с участием устойчивых состояний равновесия или периодических движений возможна только одна [c.266]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Поясним сказанное простыми примерами. В простейшем случае имеется одно установившееся движение, устойчивое состояние равновесия или периодическое движение, а все остальные движения к нему приближаются. В этом случае говорят о глобальной устойчивости этих установившихся движений. В последнее время в рамках так называемой абсолютной устойчивости получены практически важные достаточные критерии глобальной устойчивости состояния [c.269]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Рассмотрим другой пример, известный под названием задачи О. И. Сомова (см. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М., 1973). На круглое неподвижное бревно радиусом R (рис. 121, б) перпендикулярно его горизонтальной оси положен тяжелый однородный брусок прямоугольного сечения высотой 2А. Выяснить условия устойчивости равновесия. [c.243]

Колебательные движения систем происходят около положения устойчивого равновесия. Так, например, маятник, выведенный из состояния устойчивого равновесия, совершает колебания около этого положения корабль, спокойно стоявший в порту, находившийся в равновесном состоянии, но выведенный какой-либо внешней причиной из этого состояния, качается относительно своего устойчивого положения равновесия. [c.263]

Полный фазовый портрет получается периодическим продолжением найденных фрагментов фазовых кривых на всю ось Видим, что возможные движения рассматриваемой системы существенно зависят от значения параметра р. Если р > 1 (угловая скорость О вращения кольца невелика сравнительно с циклической частотой и> маятника), то фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету математического маятника. Если р < 1 (угловая скорость вращения кольца больше циклической частоты маятника), то фазовый портрет системы приобретает существенные отличия от фазового портрета математического маятника прежние устойчивые положения равновесия становятся неустойчивыми, появляются новые устойчивые положения равновесия с соответствующей перестройкой фазового портрета и добавлением новых сепаратрис Такое явление можно интерпретировать как катастрофу качественной картины поведения системы при прохождении параметра р через значение 7 = 1. О [c.280]

Колебания системы возможны только около устойчивого положения равновесия. Действительно, если положение равновесия системы неустойчиво, т. е. при малых отклонениях от положения равновесия и малых начальных скоростях система удаляется от положения равновесия, то колебательные движения ее невозможны. [c.198]

Коэффициенты этих линейных уравнений не являются произвольными, так как они определяют кинетическую энергию Т и функцию рассеяния, которые являются положительными. Так как движение рассматривается вблизи устойчивого иоложения равновесия, от которого отсчитываются координаты q и и принято, что в этом положении П = 0, то во всех положениях системы, близких к равновесному, потенциальная энергия будет также положительной. [c.211]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Пример. Материальная точка массой т (рис. 14) движется под действием силы тяжести по внутреннем части поверхности сферы радиусом / вблизи устойчивого положения равновесия. В начальный момент при 1=0 х = Хд, у О, ал = 0, ц,, =у . Ось 02 направлена по вертикали вниз, а OJ и Ор расположены в горизонтальной плоскости. Начало координат находится в центре сферы. Определить движение точки и силу реакции сферы на точку. Эта задача известна каи задача о сферическом маятнике. [c.247]

При неустойчивом положении равновесия случайные возмущения приводят к тому, что система при дальнейшем движении все дальше и дальше удаляется от положения равновесия. Таким образом, прежде всего необходимо установить характер положения равновесия системы. Для этого требуется ввести точное понятие устойчивости положения равновесия системы. [c.408]

С древних времен в механике нашли отражение две элементарные концепции понятия устойчивости. Первая отождествляет понятие устойчивости основного (невозмущенного) состояния движения равновесия со свойством возмущенных состояний возвращаться к своему исходному состоянию. Вторая — отождествляет понятие устойчивости невозмущенного состояния со свойством возмущенных состояний пребывать в окрестности невозмущенного состояния. [c.318]

В 84—87 были рассмотрены некоторые положения", связанные с теорией устойчивости равновесия. В этой главе рассматривается значительно более сложный вопрос, а именно проблема об устойчивости движения. При этом будут рассмотрены лишь некоторые, по нашему мнению, наиболее существенные результаты, полученные в этой области аналитической механики. Эти результаты связаны с именем А. М. Ляпунова. Вместе с тем следует отметить, что за последние годы теория устойчивости движения получила огромное развитие. Однако согласно Н. Г. Четаеву следует признать, что изложение содержания даже избранных групп новых исследований и результатов заслуживает написания отдельны. книг в стиле, присущем авторам этих исследований ). [c.322]

Применение теорем А. М. Ляпунова об устойчивости движения к вопросу об устойчивости равновесия [c.344]

Жидкость может находиться в механическом равновесии (т. е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение (3,1), являющееся условием механического равновесия, мол<ет быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение носит название конвекции. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции. Оно может быть выведено следующим образом. [c.22]

Анализ влияния линейного сопротивления на собственные малые колебания показывает, что линейное сопротивление не может- сделагь устойчивое положение равновесия неустойчивым. Если в окрестности устойчивого положения равновесия система совершает незатухающие малые колебания, то линейное сопро-гивление превратит их в затухающие или сделает даже затухающими движениями. [c.443]

В первом и последнем случаях происходит исчез1юне-ние устойчивого установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места, поскольку при этом устойчивое состояние равуювесия непрерывно преобразуется в устойчивое же периодическое движение. Отметим, что при этом область притяжения устойчивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения устойчивого периодического движения. Сказанное поясняется рис. 7.8. [c.256]

Для иссследования устойчивости состояния равновесия консервативной системы достаточно записать выражение для потенциальной энергии системы в возмущённом движении и потребовать выполнения условий её минимума в исследуемом положении равновесия. 2. Возмущённые движения порождаются возможными начальными состояниями системы. [c.14]

А. М. Ляпунов, О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть maximum. Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935, стр. 353. [c.216]

А. М. Ляпунов указывает, что соображения, которыми пользуются при доказательстве известной теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия, можно распространить на доказательство других теорем, относящихся к вопросу об устойчивости движения. [c.339]

Устойчивость состояния равновесия консервативной системы можно исследовать без составления уравнений движения. Для итого достаточно записать выражение для потенщшльиоп энер-гпи системы в возмущенном движении и истребовать выполнения условий ее минимума в исследуемом положеини равновесия (критерий Лагранжа). Неустохиивость устанавливается с помощью теорем Четаева (см. библиографические ссылки па стр. 268). [c.269]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...