КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ Равновесие и движение вблизи положения равновесия

Вступительные замечания. Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе I (см. стр. 35—40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия. [c.188]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

В механике твердого тела вопрос об устойчивости равновесия решается изучением движения системы вблизи исследуемого положения равновесия (динамический критерий). Если малые возмущения вызывают движение, расходящееся из окрестности равновесного состояния, то последнее является неустойчивым если же происходят колебания около рассматриваемого состояния равновесия, то оно является устойчивым (устойчивым в малом). [c.347]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Колебания механических систем происходят вблизи устойчивых положений равновесия и вблизи устойчивых движений. Кроме этого интересного для оптико-механической аналогии факта, устойчивость имеет следующее, более глубокое значение. [c.243]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Из равенства (4.14) следует, что инерционный коэффициент при всех условиях является существенно положительной величиной, из равенства (4.17) следует, что для того, чтобы механизм, будучи выведенным из положения равновесия, мог совершать колебательное движение, квазиупругий коэффициент вблизи от положения равновесия также должен быть существенно положительной величиной. Только при этом условии положение статического равновесия механизма будет устойчивым. В противном случае частота колебаний будет либо мнимой величиной (если К < 0), либо равна нулю (если К = 0), что будет соответствовать положениям неустойчивого или безразличного равновесия механизма. [c.118]

КОВ струны относительно горизонтали. Таким же образом конфигурация паровой машины и всего приводимого ею в движение оборудования определяется угловой координатой маховика. Разнообразие систем подобного рода бесконечно однако, если исключить силы трения и другие диссипативные силы, то все эти системы, будучи каким-либо образом приведены в движение и затем предоставлены самим себе, движутся, подчиняясь уравнению сохранения энергии. Для случая малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия дифференциальное уравнение движения, как мы увидим, всегда сводится к тому же уравнению (1) 6. [c.27]

Выводы. Цилиндр, расположенный в жидкости вблизи твердой стенки, под действием радиационных сил акустического поля совершает колебательные движения. Колебания происходят относительно положений устойчивого равновесия, которые определяются как волновым числом акустической волны, так и отношением плотностей жидкости и материала цилиндра. Период колебаний цилиндра в его движении под действием радиационных сил зависит от длины волны, амплитуды скорости частиц жидкости, отношения плотности жидкости к плотности материала цилиндра, расположения цилиндра в начальный момент относительно положения устойчивого равновесия. В то же время он не зависит от радиуса цилиндра. [c.348]

Выражение (38.13) показывает, что вблизи положения устойчивого равновесия механическая система совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное отклонение а системы от положения равновесия называют амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой, при этом постоянная а именуется начальной фазой. Постоянные а и а определяются через начальные значения х (0) = лГф и U (0) = координаты и скорости системы по формулам [c.217]

Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны среды диссипативных сил трения. Как было показано в 29, для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея (29.19), описывающую процесс рассеяния механической энергии. Для одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, указанные функции имеют вид [c.223]

Математический маятник длины I находится в верхнем положении равновесия, а его точка подвеса совершает колебания в вертикальной плоскости с частотой р шо = л /д /1 и амплитудой а (маятник Капицы). При каком условии движение маятника вблизи верхнего положения равновесия будет устойчивым [c.18]

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы одномерная система вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее собой наложение двух гармонических колебаний собственного колебания с частотой о)о и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы Y< В отсутствие сил трения вынужденные колебания осциллятора проис ходят либо синхронно с изменением вынуждающей силы (при у < < соо). либо отстают по фазе на угол п (при у > соо). Случай у = = о требует специального рассмотрения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент / = О система находится в положении равновесия и покоится, т. е. л (0) = О и х (0) = 0. Пусть на систему действует вынужда- [c.220]

Магнитоупругий изогнутый стержень. В этом примере упругий стержень, закрепленный с одной стороны, изгибается магнитами которые помещены вблизи его свободного конца (см. гл. 2 и 4 и [136, 137, 139, 141]). Магнитные силы делают неустойчивым пря мое, неизогнутое состояние стержня и создают несколько положе ний равновесия, одно из которых показано на рис. 3.24а. В наших экспериментах с помощью четырех магнитов создавалось до четы рех положений устойчивого равновесия. После того как такой изгиб создан, система аналогична частице в потенциале из двух или более ям (см. рис. 1.2, 6). Все устройство помещается на вибро стенд и колеблется с постоянной амплитудой и частотой. При слабых колебаниях стержень остается вблизи одного из положений равновесия. Однако с ростом амплитуды стержень может выско> чить из потенциальной ямы и начинаются хаотические движения, при которых стержень переходит из одной ямы в другую (см. рис. 3.6). Отображение Пуанкаре для этого процесса показано на рис. 3.246. (Мы называем это отображение цветком Пуанкаре .) [c.104]

Изменение поведения колебательных систем и механизмов под действием вибрации. К этой группе эффектов 0ТН0С5ГГСЯ исчезновение прежних и появление новых положений равновесия и видов движения системы, смена характера положений равиовеош (то есть вх устойчивости или неустойчивости), из-меноше частот малых свободных колебаний вблизи положений устойчивого равновесия, эффекты вибрационной связи, в частности, самосинхронизация неуравновешенных роторов (вибровозбудителей), эффект вибрационного поддержания щ>ащения неуравновешенных роторов, своеобразное поведение так называемых "колебательных систем с ограниченным возбуждением" и некоторые другие. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...