Векторы Интеграл линейный

Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сторонах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой (Oj 0)2 и волновым вектором к kj (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называют комбинационными). [c.145]

Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы). [c.9]

Другой важной в механике теоремой, дающей преобразование линейного интеграла в поверхностный, является теорема Стокса циркуляция вектора по замкнутому контуру I равна потоку вихря вектора через поверхность S, ограниченную данным контуром [c.16]

Обозначим посредством р (а) линейную плотность дислокаций, распределенных на отрезке а , а ) оси х р (л ) dx есть сумма векторов Бюргерса дислокаций, проходящих через точки интервала dx. Тогда полное напряжение, создаваемое в точке х оси х всеми дислокациями, запишется в виде интеграла [c.169]

Она имеет определенный смысл и может быть использована при любом сколь угодно большом значении п, но не имеет смысла при и, следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство. Это видоизменение очевидно при переходе от дискретных значений Х( к непрерывно изменяющейся величине х сумма в (22.6а) переходит в интеграл, т. е. скалярное произведение бесконечномерных векторов д и /), базисные представления которых задаются [c.143]

С таким интегралом мы уже встречались при рассмотрении кручения призмы произвольного поперечного сечения. Там рассматривался линейный интеграл вектора полного касательного напряжения в поперечном сечении призмы по замкнутой кривой (циркуляция касательного напряжения т. II, 11.12, раздел 11). [c.25]

В общем случае значение линейного интеграла вектора зависит от того пути который соединяет точки Мд и М1. Если же вектор является потенциальным, т. е. представляет собой градиент некоторого скаляра ф, то значение линейного интеграла равняется разности значений функции ф в точках М и Мо [c.25]

Отсюда вытекает следствие — если функция ф однозначна, то линейный интеграл потенциального вектора не зависит от пути Ь. [c.25]

Циркуляция г вектора а есть линейный интеграл по замкнутому контуру при заданном направлении обхода [c.192]

Циркуляция Г вектора а вдоль замкнутого контура L есть линейный интеграл по этому контуру при заданном направлении обхода [c.233]

Линейный интеграл вектора а по L представляет собой работу вектора d при перемещении точки приложения а вдоль L. [c.233]

КОГО вектора по замкнутому контуру равна нулю, если контур может стягиваться в точку поля, не пересекая границ поля. Линейный интеграл потенциального вектора не зависит от формы линии, а только от ее концов (- Го, ул, о) и М (.с, у, t) [c.234]

П. 6. Преобразование Стокса. Известно, что линейный интеграл (циркуляция) вектора по дуге С [c.847]

Здесь Yi и Ya — многозначные функции. Решением уравнений (2.3) будет любая линейная комбинация выражений (2.4), соответству-ЮШ.ИХ разным значениям функций ух и уа. Эту неоднозначность в выборе решений можно устранить путем согласования вида выражений для ф х, z) и йу (х, z) с физическими требованиями единственности источника энергии. Казалось бы, что в данном случае достаточно потребовать, чтобы интеграл по поверхности полуцилиндра большого радиуса R от нормальной к его поверхности составляющей вектора Умова был положительным. Однако вследствие существования в упругом теле двух типов волн можно предположить такую ситуацию, когда указанное общее требование выполняется, однако в продольных или поперечных волнах имеется приток энергии из бесконечности. В связи с этим при конкретизации частных решений [c.88]

Линейный интеграл вектора 67 Литий 151, 234 [c.737]

Завихрение и циркуляция. Математическим понятием, получившим большое применение при анализе движения жидкости, является циркуляция — линейный интеграл от касательного компонента вектора скорости, взятый по всей замкнутой кривой (рис. 15) [c.48]

Уравнения совместности иногда называют условиями сплошности непрерывного поля смещений. При их невыполнении нельзя говорить о непрерывности вектора и (г ), т. е. о сплошности среды. Если ограничиваться линейными деформациями, то восстановление вектора и (г ) по компонентам тензора деформаций можно провести при помощи криволинейного интеграла, получая при этом необходимые условия для суш,ествования непрерывного поля и (г), т. е. условия совместности компонент тензора деформации. [c.81]

Интеграл (2.33) можно вычислять одновременно с решением основной и вспомогательных систем ОДУ, подставляя в (2.33) Z t) на каждом шаге интегрирования. Таким образом, для вычисления матрицы А или вектор-градиента Аг прямым методом необходимо решить т вспомогательных линейных систем ОДУ (2.30) независимо от количества выходных параметров п. При больших т это составит большой объем вычислений. Этот недостаток устранен в вариационном методе анализа чувствительности, где для определения строки матрицы чувствительности Аг интегрируется только одна дополнительная система ОДУ, называемая сопряженной. Вариационный метод применяется для выходных параметров — функционалов вида (2.32). [c.48]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Следоадтельно, для каждой замкнутой кривой С рассматрииаемой области линейный интеграл вдоль С равен скалярному произведению вектора Р, представляющего поверхность, ограничиваемую кривой С и ротации Я. [c.82]

Ротация скоростного поля в точке Л равна предельному зиаченню, к которому приближается линейный интеграл (отнесенный к единице поверхности делением на площадь элемента поверхности) от вектора скорости вдоль кривой, заключающей бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению ротации. [c.82]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Рассмотрим задачу о наличии дополнительного к интегралу энергии И формального интеграла в виде ряда (1.3) с аналитическими в области D X Т" коэффициентами. Согласно п. 1, надо положить. S = 1. В нашем случае множество Пуанкаре Pi опредено как множество тех точек у D, для которых найдутся такие п - 1 линейно независимых векторов а,а, . G Z", что [c.183]

Предположим теперь, что имеется аналитическое поле симметрий и. Пусть ди — фазовый поток системы дифференциальных уравнений, порождаемой полем и. Преобразования из группы ди переводят периодические траектории 71 и 72 в себя, поскольку эти траектории невырождены. Следовательно, преобразования из ди переводят двоякоасимптотические траектории в двоякоасимптотические траектории. Па этих траекториях поля и и v линейно зависимы. В противном случае Aj и Aj пересекались бы по двумерным аналитическим площадкам и поэтому совпадали бы по свойствам регулярности и аналитичности. Отсюда вытекает, в частности, что и и v линейно зависимы во всех точках Aj и Aj Выше было показано, что в предположениях теоремы 1 объединение Aj и Aj—ключевое множество в М. Следовательно, векторы и х) и v x) зависимы при всех х G М. Так как г О, то и = Аг , и функция А — интеграл уравнений (2.1). Поскольку А — аналитическая функция на М, то А = onst, что и требовалось доказать. [c.262]

Ее граф Кокстера получается из графа л) отбрасыванием одной вершины. Этот случай отличается от общего тем, что все линейно независимые векторы из Д удовлетворяют условию (4.7). Если все коэффициенты V отличны от нуля, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.10) не имеют дополнительного интеграла, степень которого не превышает шести число 6 выбрано не случайно — это ранг группы Кокстера, порожденной отражениями относительно векторов из спектра Д. Отметим, что в остальных интегрируемых системах с двумя степенями свободы степень дополнительного полиномиального интеграла равна именно рангу соответствующей группы Кокстера. [c.394]

Пусть а = и, у) — наибольший элемент 3. Ясно, что эта точка является одной из вершин вьшуклого многоугольника (3). Вершиной 3 Е 3, примыкающей к а, назовем максимальный линейно независимый с а вектор из 5. Если множество 3 не лежит на одной прямой, то примыкающая вершина заведомо существует. В противном случае уравнения Гамильтона допускают линейный интеграл. Наша задача заключается в том, чтобы доказать ортогональность векторов а и /3. [c.412]

Линейный интеграл векторов Е вдоль замкнутой цепи равен сумме эдс вдоль этой цепи. Ф-лы (4) и (5) применимы не только к изотропным телам, но и к кристаллам, но только у анизотропных тел множитель а является уже не скаляром, а тензором, так что вектор j является линейной векторфункцией от Е. [c.26]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...