ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения малых колебаний консервативной системы из "Теоретическая механика " Рассмотрим голономную систему материальных точек и тел, число степеней свободы которой равно / и которая движется под действием консервативных сил. [c.446] Предположим, что, применяя статический принцип виртуальных перемещений (или какой-либо другой способ), мы нашли несколько положений равновесия. Выберем из них то, которое нас интересует, и перенесем в него начало координат, т. е. положим, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Предполо 4Сим, кроме того, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет изолированный минимум, т. е. что избранное положение равновесия устойчиво. Это дает нам право на приближенное описание возмущенного движения, если, разумеется, начальные возмущения численно малы. [c.446] Потенциальная энергия системы представляет собой однозначную непрерывную функцию координат q, имеющую непрерывные частные производные по всем координатам по меньшей мере до второго порядка включительно ). Опреде.чяется потенциальная энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выбрать так, чтобы в положении равновесия было t/ (О, О. 0) = 0. Следовательно, в некоторой конечной Д-окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией координат q, возрастающей при удалении от положения равновесия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия). [c.447] чтобы среди обобщенных координат не было циклических. [c.447] Возмущенное движение системы мы будем описывать в первом приближении, для чего систему дифференциальных уравнений возмущенного движения запишем в виде системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.447] Для построения теории малых колебаний удобно заменить функцию Лагранжа ее приближенным выражением. Разложим коэффициенты Aij q) в выражении кинетической энергии по степеням q и удержим первые члены разложения. В разложении функции и (q) сохраним члены второго порядка. [c.447] Условимся в дальнейшем не пользоваться символом приближенного равенства, так как вся теория малых колебаний использует приближенные уравнения. [c.448] Система (7.29) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если от системы (7.29) перейти к системе 21 уравнений первого порядка, где неизвестными функциями будут q и q, затем привести ее к нормальному виду, то мы придем к уравнениям типа (7.14). [c.449] Система материальных точек и тел консервативна, следовательно, H = H(q,p) (f = 0). [c.449] Очевидно, что если все ф I будут численно малы, то и [ будут малыми. Поэтому мы можем перейти к приближенной записи канонических уравнений, разложив правые части их по степеням ц тл р VI удерживая главные линейные части этих разложений ). [c.450] Вернуться к основной статье