ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство эргодической теоремы из "Динамические системы " Доказательство эргодической теоремы о том, что существует временная вероятность р такая, что точка Р траектории общего положения лежит в заданном объеме v многообразия М, имеет параллели с вышеуказанной теоремой о возвращении, как будет видно в дальнейшем. [c.343] Новая важная работа фон Неймана показывает только сходимость в среднем. Справедливость (17), для любой точки Р им не доказана и временная вероятность для любой траектории, в обычном смысле, не установлена. Непосредственное доказательство результатов фон Неймана было получено Е. Хопфом. [c.343] Теорема о возвращении устанавливала результаты непосредственно из этой леммы. [c.344] если л и не являются существенно дополняющими друг друга частями поверхности гт (одна из которых убывающая, а другая возрастающая), то они должны иметь, при определенных значениях А, общую измеримую компоненту 3 положительной меры, также инвариантную под действием Т. [c.345] Два таких множества S, принадлежащих различным А, явно различны, за исключением множества меры 0. Следовательно, может существовать только счстнос множество (г = 1, 2,. ..) из таких множеств, так как каждое из них имеет положительную меру. За исключением значений Aj, всличипы А, S и S являются дополняющими друг друга частями а без учета множества меры 0. [c.346] Выбирая множество значений таких, что А, /х находятся достаточно близко друг к другу, делаем вывод, что для всех точек на а, за исключением множества меры О, колебание tn P)/n, когда п становится бесконечным, меньше произвольного 5 0. [c.346] Теперь очевидно, что сформулированная теорема возвращения верна. [c.347] Эта теорема возвращения допускает некоторые явные обобщения. Во-первых, нет необходимости ограничиваться аналитическим случаем. Более того, вместо одной поверхности а мо кно взять любое измеримое множество а, вложенное в счетное множество различных простых элементов поверхности с -юс.онв д. 0. В этом случае (Р) обозначает время от Р на гт до первого последующего пересечения гт. [c.347] Конечно, идея приведенного доказательства содержится в лемме. Необходимо отметить отвлеченный характер этой леммы, так как она показывает, что вышеупомянутая теорема сразу же обобщается на случай функционального пространства при подходящих ограничениях. [c.348] Вернуться к основной статье