Определение вектора и скаляра

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА И СКАЛЯРА [c.25]

Определение вектора и скаляра. В теоретической механике кроме сил имеется много других количеств, которые характеризуются величинами и направлениями и к которым применимо правило геометрического сложения таковы, например, следующие количества момент силы, момент пары сил, скорость, количество движения и т. д. Все общие свойства их и относящиеся к ним общие предложения объединяются в общем учении о векторах. [c.25]

Вектор а и скаляр р будем полагать известным . Определение вектора х из этого уравнения сводится, очевидно, действию, обратному скалярному умножению. Это действие можно рассматривать как действие деления, соответствующего действию скалярного умножения. Рассмотрим вектор [c.36]

Определения скаляра, вектора и тензора [c.7]

В то же время между скалярным умножением векторов и обычным умножением скаляров существует глубокое различие. Так, не существует скалярного произведения более чем двух векторов, а, следовательно, нельзя говорить об ассоциативном законе для векторных множителей. Далее, не существует деления как действия обратного скалярному умножению в самом деле, если известно произведение и один из сомножителей, то этого ещё недостаточно для однозначного, определения другого-сомножителя. Действительно, если [c.7]

Операции сложения и вычитания тензоров, так же как умножения на скалярный множитель, ничем не отличаются от соответствующих операций над векторами. Если Р и <3 — два теизора, а Л— скаляр, то будем иметь следующее определение сложения и вычитания [c.49]

Из определения т, М и /С видно, что для данного движения % данного тела значения этих функций в данный момент времени 1 представляют собой соответственно вектор, антисимметричный тензор и скаляр. [c.39]

Очевидно, что АВс, где А, В суть ш-матрицы и с есть wi-век-тор, представит от вектор Сс, причем С = АВ. Аналогичным образом а-СЪ, где а, Ь суть ти-векторы и С есть ти-матрица, представит скаляр а с, причем с = СЪ. По определению транспонированной матрицы а сЪ = ЪС а. [c.12]

Здесь Л — скаляр, ау и и—векторы-столбцы. Подставив (7.2.6)— (7.2.8) в (7.2.1) и (7.2.2) и приравняв коэффициенты при равных степенях х, получим уравнения для последовательного определения о и и . Первое уравнение имеет вид [c.349]

Очевидно, что в уравнении (11.2), записанном в математических символах, будут фигурировать как плотность, так и скорость. Плотность является скалярной величиной, а скорость — векторной все члены в уравнении (1-1.2) — скаляры, поскольку величина, к которой применяется принцип сохранения (масса), является скалярной. Даже если предположить, что выполняется уравнение (1-1.1), т. е. что рассматривается жидкость постоянной плотности, то все же уравнение (1-1.2) не может быть разрешено относительно скорости, поскольку для определения неизвестного вектора недостаточно скалярного уравнения. [c.12]

Это определение, уже известное для скалярной функции, распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тензорные функции. Производная il3, которая является скаляром для скалярных функций, представляет собой вектор для векторных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы уже встречались с примерами таких производных в гл. 1. [c.78]

Мы будем различать связанные векторы ), физически прикрепленные к определенной точке пространства, скользящие векторы., которые можно перемещать вдоль некоторых прямых ( линий действия , или оснований ), и, наконец, свободные векторы, не связанные физически с определенной точкой пространства. Ниже мы покажем, что изучение векторов можно свести к изучению некоторых совокупностей скаляров. Однако эти скаляры не будут абсолютными, так как будут зависеть от выбора координатной системы. [c.25]

Формулы преобразования позволяют указать аналитическое определение скаляров и векторов, которое легко обобщается и приводит к понятию о тензорах. [c.42]

Здесь os (А, В) обозначает косинус угла между векторами А и В. Очевидно, что определение скалярного произведения совсем не связано с системой координат, т. е. скалярное произведение векторов представляет собой скаляр. Заметим, что os (А, В) = os (В, А), и поэтому скалярное произведение коммутативно [c.49]

В физике широко применяется и другой вид произведения двух векторов. Это произведение является вектором, а не скаляром, но вектором в несколько ограниченном смысле. По определению векторное произведение — это вектор, нормальный [c.53]

В трехповодковой группе е вращательными парами каждая из реакций кинематических пар содержит два неизвестных (скаляр реакции и ее направление). Всего, следовательно, имеется 12 неизвестных, непосредственно определяющих векторы реакций. Аналогично плану решения для двухповодковых групп, первым этапом является определение тангенциальных составляющих реакций внешних шарниров. [c.288]

Скаляры и векторы. Скалярной величиной называется величина, характеризуемая только числом (например температура, работа и т. д.). Часто рассматривают величины, для определения которых кроме численного значения необходимо указать направление (например скорость точки, момент силы и т. д.). [c.7]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и техниче ских науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление за- [c.210]

Теперь дадим определение скаляра и вектора с позиции тензорной алгебры. [c.239]

Совокупность скалярных или векторных величин, заданных в некоторой конечной или бесконечной области так, что каждой точке области соответствует одно определенное значение скаляра или вектора, образует поле скалярной или векторной величины, короче — скалярное или векторное поле. Таковы скалярные поля температурное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом теле, и векторные поля силовое поле, например, поле тяготения, поле скоростей во вращающемся твердом теле и др. [c.39]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

И. 1. Набла-оператор. В скалярном поле, задаваемом функцией координат (p xi, Х2, Хз), может быть определен вектор дгас1ф (градиент), проекции которого на оси ортогональной декартовой системы координат равны частным производным от скаляра ф по х, [c.839]

По определению после перехода к новому базису скаляр ф остается неизменным, а с , должны преобразовываться, как компонелты вектора и соотретственно тензора второго ранга. Тогда т. т г должны [c.447]

Полиадное умножение векторов представляет собой некоторую операцию над векторами, приводящую к новым объектам (не векторам и не скалярам). Для определения этой операции достаточно указать ее свойства. В частности, существен порядок перемножаемых векторов (э эг = Ьа2а1). По определению операция полиадного умножения является линейной (выполняется свойство дистрибутивности, порядковое положение числовых множителей в произведении несущественно). Например, спра ведливо равенство [c.53]

Доказательство. Необходимость. Пусть К , = I,..., Н] Т1. Согласно определению 4.6.1 существуют скаляры Л1,...,Ат такие, что для соответствующего этому набору реакций ЗЛ -мерного вектора X будет выполнено х = Ахах -Ь. .. -Ь АтЯт- Возьмем виртуальное перемещение г , I/ = 1,..., Л ) 6 Т системы точек и построим соответствующий ему ЗЛ -мерный вектор б. По определению 4.6.2 виртуальных перемещений имеем (а -, й) = 0, = 1,..., т. Следовательно, [c.337]

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного конт-равариантного вектора ЛР вдоль некоторой кривой и ковариантный вектор В , определенный на той же кривой. В любой точке взятой кривой произведение ВрЛР является скалярной функцией параметра s и поэтому (5 зЛ ) —также скаляр. В правой части ра-ds [c.23]

В предыдущих подразделах приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракщга, характеризуемая определенным количеством компонэтт, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тетзоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориента1дш множества координат и дня их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с помощью тензоров второго ранга вычисление объема Q непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат [c.250]

Смотреть страницы где упоминается термин Определение вектора и скаляра : [c.32] [c.335] [c.206] [c.349] [c.53] [c.33] [c.16] [c.17] [c.210] [c.488] [c.30] [c.49] [c.110] [c.128] [c.101] [c.236] [c.342] [c.601] [c.174] [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...