ВЕКТОРЫ Скаляры и векторы

Доказательство. Пусть заданные пары имеют моменты М1 и М2. Выберем в пространстве произвольную точку А с радиусом-вектором Г1 и точку В с радиусом-вектором Г2 так, чтобы вектор АВ был перпендикулярен как вектору М1, так и вектору М2. Согласно теореме 1.4.2 найдем такие единичные векторы 1с1 и 1с2 и скаляры их и Н2, чтобы было выполнено [c.36]

В свою очередь из векторов можно будет построить более сложные величины — тензоры. При этом обнаружится, что скаляры и векторы являются частны.ми видами тензорных величин. [c.25]

Формулы преобразования позволяют указать аналитическое определение скаляров и векторов, которое легко обобщается и приводит к понятию о тензорах. [c.42]

Понятие о тензорах. Скаляры и векторы как тензоры соответственно нулевого и первого рангов [c.43]

Так как величина [/-расщепления не очень велика, то для описания умеренно сильного взаимодействия также можно попытаться использовать простейшую (линейную) комбинацию [У-скаляра и [/-вектора [c.312]

Скаляры и векторы. Скалярной величиной называется величина, характеризуемая только числом (например температура, работа и т. д.). Часто рассматривают величины, для определения которых кроме численного значения необходимо указать направление (например скорость точки, момент силы и т. д.). [c.7]

Скаляр и вектор. В математическом естествознании рассматриваются величины, определяющие свойства физических объектов и происходящих в них процессов. Задание численных значений (при выбранной системе единиц) заключает в себе произвол, обусловленный выбором той или иной координатной системы — системы отсчета, но существующие между величинами связи не зависят от этих извне привнесенных способов описания. Тензорное исчисление представляет математическое средство, с помощью которого формулируются такие инвариантные (не зависящие от системы отсчета) соотношения между изучаемыми объектами. [c.799]

Теперь дадим определение скаляра и вектора с позиции тензорной алгебры. [c.239]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Скаляры и векторы. Отвлеченные числа и физические величины, для полного определения которых не требуется задавать направления в пространстве, называются скалярными величинами, или просто скалярами. Например, скалярами являются объем, плотность, масса и энергия. Давление жидкости также является скаляром. Однако сила, действующая на бесконечно малую площадку вследствие давления на нее со стороны жидкости, не является скаляром, так как для полного описания этой силы должно быть задано направление, по которому она действует. [c.37]

Так как в настоящей книге мы пользуемся только тензорами второго порядка, ограничимся определением такого тензора. -Можно легко показать, что скаляр и вектор являются тензорами соответственно нулевого и первого порядков. [c.13]

Необходимо отметить, что при преобразованиях Лоренца скорость V считается постоянной, преобразуются время, координаты и функции поля. Поэтому при подстановке (22,17) в уравнения Максвелла, в вычислениях (22.18), (22.20) скорость V, являющаяся функцией координат и времени, не должна дифференцироваться по X, /. Это относится ко всем дифференциальным операторам над электромагнитными скалярами и векторами, содержащими множители I или V. [c.267]

Определяющие соотношения. Основной этап в моделировании процессов деформирования заключается в выборе определяющих соотношений. Под процессом понимается задание некоторого геометрического объекта (скаляра, вектора, тензора и т. п.) или их комбинаций в некоторой частице среды как функций времени 1. Большинство параметров МСС могут быть разбиты на основные (деформация, температура, градиент температуры, изменение объема, электрическая или магнитная напряженности и т. п.) и на их потоки (напряжения, энтропия, вектор теплового потока, давление, электрическая и магнитная индукции и т.п.). [c.646]

Здесь мы учли, что ротор берется в точке Р, а интегрирование должно проводиться по линиям тока Г. Эти две операции являются взаимно независимыми, поэтому можно поменять их порядок. Так как следует вычислить ротор от произведения скаляра и вектора, можно использовать тождество [c.122]

Многие характеристики движения сплошной среды имеют тензорную природу, поэтому рассмотрим основы тензорного исчисления. Заметим, что скаляр и вектор тоже являются тензорами, но наиболее простыми. Одних векторных и скалярных величин для описания движения сплошной среды недостаточно. [c.47]

Физические величины выражаются как истинными скалярами и векторами, так и псевдоскалярами и псевдовекторами. Такие вели- [c.66]

Подчеркнем, что в отличие от давления в жидкости и газе, которое тоже определяется формулой (22.1), напряжение в деформированном твердом теле зависит от ориентации площадки например, при деформации растяжения-сжатия оно максимально для площадок, перпендикулярных направлению приложенных сил (торцов малых элементов), и минимально на площадках, расположенных вдоль этого направления (на боковых поверхностях малых элементов). Такая ситуация описывается более сложными, чем скаляры и векторы, физическими величинами - тензорами (матрицами) в общей теории деформации фигурируют тензоры деформации и напряжения. [c.79]

Замечание. Сложение тензоров разных рангов не имеет смысла (например, бессмысленно говорить о сложении скаляра и вектора). [c.203]

Векторный базис — это система трех векторов, не все из которых параллельны одной плоскости. Если базисные векторы взаимно ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормальным. Если задан векторный базис е , 63, то произвольный вектор а может быть выражен через базисные векторы посредством операции умножения на скаляр и сложения [c.16]

Главный момент системы относительно оси I является не вектором, а скаляром и, следовательно, задается абсолютным значением и знаком. [c.342]

Проекция количества движения на ось (как н проекция на ось всякого вектора) — скаляр 2-го рода и определяется величиной и знаком. [c.291]

Поскольку угловая скорость — векторная величина, вектором должно быть и угловое ускорение. Но при вращении тела вокруг неподвижной оси обычно рассматривают угловую скорость как скаляр и потому здесь нас могут интересовать только величина и знак углового ускорения. [c.57]

Теперь ясно, как получить конкретную пару с заданным моментом М 0. Выберем произвольно радиус-вектор Г] и скаляр и ф 0, назначим и, чтобы было М м = 0, и определим [c.32]

Тензоры первого ранга (N=1) имеют в трехмерном пространстве компоненты п=3 =3, оии называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как числовым значением, так и направлением. При мерами векторов могут служить сила, скорость, ускорение и т. д. Графически вектор изображается направленным прямолинейным отрезком, длина которого в масштабе соответствует значению вектора или его модулю. Векторы обозначаются строчными буквами с черточкой вверху, например а, Б и т. д. Модули векторов означаются, как скаляры, т. е. а =а, 151=6 и т. д. Отрицательным по отношению к данному называется вектор с тем же модулем, но противоположно направленный. Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице. Единичные векторы обозначим крышечкой над буквой, например й, S, д. [c.7]

Скалярным произведением, двух векторов а и 5 называется скаляр [c.8]

Аналитическое изучение свойств абсолютных скаляров и векторов позволяет обобщить эти понятия и получить представление о более сложных геометрических и физичес ких объектах, чем рассмотренные выше. [c.43]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

Скаляры и векторы. Среди ионятий, которыми оиерирует механика, важное место зашшан Т понятия скалярной и векторной величин. [c.14]

Кроме скаляров и векторов будем использовать линейные преобразования (отображения) или тензоры, преобразующие векторы в другие векторы. Например, применим такой тензор Т к вектору и, преобразовав и с помощью Т в новый вектор у. Преобразование и-5- г = Ти называется линейным, если для двух векторов и, V [c.12]

Р1аряду с ранее определенными истинными скалярами и векторами введем еще в рассмотрение так называемые псевдоскаляры и псевдавек-торы. [c.47]

Естественным является предположение, что системы отсчета Oxyz и O x y z (отраженная) физически равноправны, т. е. уравнения в них сохраняют форму при инверсии осей. Векторные и скалярные уравнения механики действительно обладают этим свойством. Однако это не обязательно для любого уравнения вообще говоря, скаляры и векторы при инверсии могут изменяться. По отношению к инверсии скаляры делятся на истинные скаляры (или просто скаляры) и псевдоскоАяры. Истинный скаляр при инверсии осей не изменяется, т. е. удовлетворяет следующему условию [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...