Параллельное векторное поле

Параллельное векторное поле [c.21]

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля. [c.21]

Пусть координаты произвольной точки Р, находящейся на рассматриваемой кривой, являются функциями параметра s. В каждой точке этой кривой построим вектор, равный вектору, заданному в точке Р. Таким образом, вдоль кривой будет иметь параллельное векторное поле. Выведем уравнения, которым должно удовлетворять это поле. [c.22]

Таким образом, параллельное векторное поле вдоль заданной кривой должно удовлетворять дифференциальным уравнениям (1.70). [c.22]

Возьмем какой-либо вектор в данной точке пространства и построим во всех точках этого пространства параллельные ему векторы. В этом параллельном векторном поле компоненты ЛР будут функциями координат х . Если через любую точку этого поля про- [c.22]

Принимая во внимание, что условие (1.71) должно быть удовлетворено для всех кривых, выходящих из точки Р, получим, что параллельное векторное поле удовлетворяет системе дифференциальных уравнений вида [c.23]

Учитывая, что Af — произвольный контравариантный вектор параллельного векторного поля и что произведение такого вектора на выражение внутри скобок в правой части (1.74) является скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что [c.24]

Отсюда следует, что вектор также есть параллельное векторное поле вдоль рассматриваемой кривой. Таким образом, (1-77) есть уравнения, которым удовлетворяет параллельное ковариантное векторное поле Вр вдоль данной кривой. [c.24]

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного кова-риантного вектора Лр вдоль некоторой заданной кривой и контравариантный вектор определенный на той же кривой. Поступая так же, как при выводе формулы (1.76), и учитывая, что параллельное векторное поле Лр должно удовлетворять (1.77), получим абсолютную производную контравариантного вектора по параметру s [c.24]

Рекуррентное (параллельное) векторное поле ) Рь —произвольный вектор, а=0. [c.192]

Электрическая поляризация вещества, состоящего из полярных молекул, отличается от электрической поляризации вещества, состоящего из неполярных молекул. Молекулы, имеющие постоянные дипольные моменты, поляризуются полем не только вследствие индукции, т. е. появления наведенного дипольного момента, определяемого поляризуемостью, но и вследствие ориентации молекул полем. При отсутствии поля молекулы в результате теплового движения расположены хаотично (рис. 16.2, а) и поэтому векторная сумма всех моментов диполей в среднем близка к нулю. При наложении внешнего электрического поля на каждый диполь действуют силы, стремящиеся ориентировать его параллельно электрическому полю (рис. 16.2,6). В этом случае сумма всех дипольных моментов молекул уже не равна нулю и диэлектрик приобретает электрический момент. Такой тип поляризации называют ориентационной, или дипольной, поляризацией. [c.7]

Для параллельного в области т векторного поля [c.37]

Световые волны представляют собой электромагнитное поле, для полного описания которого требуются четыре основных векторных поля Е, Н, D и В. Для определения состояния поляризации световых волн используется вектор электрического поля. Такой выбор связан с тем, что в большинстве оптических сред физические взаимодействия с волной осуществляются через электрическое поле. Основной интерес к изучению поляризации световых волн обусловлен тем, что во многих веществах (анизотропные среды) показатель преломления зависит от направления колебаний вектора электрического поля Е. Это явление можно объяснить движением электронов, которые раскачиваются электрическим полем световых волн. Для иллюстрации этого предположим, что анизотропное вещество состоит из несферических иглообразных молекул, причем все молекулы ориентированы таким образом, что их большие оси параллельны друг другу. Пусть в таком веществе распространяется электромагнитная волна. Вследствие анизотропной структуры молекул электрическое поле, параллельное осям молекул, будет сильнее смещать электроны вещества относительно их равновесного положения, чем электрическое поле, перпендикулярное осям молекул. Поэ- [c.63]

Рис. Б.1. Параллельный оси Xj элемент объема и значения векторного поля F на элементах поверхности dS и dS .

Абсолютно параллельное (ковариантно постоянное) векторное поле а = 0, Pf = 0. [c.192]

При отождествлении противоположных сторон восьмиугольника все восемь вершин склеиваются. Заметим, что с топологической точки зрения эта конструкция эквивалентна склейке поверхности рода два из гиперболического восьмиугольника в п. 5.4 д, так что полученная таким образом поверхность гомеоморфна сфере с двумя ручками. Мы дадим другое доказательство данного факта, построив векторное поле на этой поверхности и вычислив его эйлерову характеристику. Это будет векторное поле, которое мы позднее исследуем с динамической точки зрения. Выберем направление на плоскости, не параллельное никакой стороне, и рассмотрим семейство ориентированных отрезков прямых внутри восьмиугольника, параллельных этому направлению. Отождествление параллельных сторон позволяет нам склеить все эти отрезки, исключая те, которые начинаются и оканчиваются [c.469]

Решение. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий [c.7]

Пусть теперь F(0) = О. Тогда на прямой, задаваемой уравнением (а,ю) 6 7 а = 0 , векторное поле системы перпендикулярно этой прямой в координатах (а, ю). Если бы существовал монотонный цикл, то возле цикла в данных координатах все траектории не бьши бы параллельны циклу. [c.191]

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного конт-равариантного вектора ЛР вдоль некоторой кривой и ковариантный вектор В , определенный на той же кривой. В любой точке взятой кривой произведение ВрЛР является скалярной функцией параметра s и поэтому (5 зЛ ) —также скаляр. В правой части ра-ds [c.23]

Распространим эти результаты на дифференцирование тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля Б , С", определенные вдоль некоторой кривой. Пусть А тп есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой АтпВ С дает скаляр, поэтому его производная по s есть также скаляр [c.25]

КРИВИЗНЙ ТЕНЗОР (Римана тензор) — локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой t) наз. векторное поле F (ж), для к-рою обращается в пуль коварианткая прои.- вод-пая Vf по направлению скорости кривой x =dx jdt. [c.491]

Определим К-линию как интегральную кривую системы dxi/dt = Ki(x), или dx/dt = K dx = Kidi). Таким образом, если К соответствует поступательному движению параллельно оси Xi, то К-линии суть прямые, параллельные этой оси если К соответствует винтовому движению относительно оси J i, то К-линии представляют собой винтовые линии вокруг этой оси и т. д. Теперь к векторному полю UK над областями R, ограниченными поверхностями S", где S" состоит из К-линий, мы при- [c.209]

Силиконы — Применение в качестве смазок 2 — 221 Силовая схема Зворыкина 5 — 273 Силовой многоугольник 1 — 364 Силовой план 1 — 364 Силовые линии векторного поля I—23 Силоизмерительные устройства 6 — 4 Силумин — Усадка 5 — 22 Силы — Перемещение параллельное 1 — 356 [c.470]

Чтобы записать уравнение в вариациях, определим еще коеа-риантную производную по 1 векторного поля I), заданного на геодезической х (1). Определение состоит в том, что мы должны взять вектор (t + Щ, параллельно перенести его из точки х 1 А) в точку X (I) вдоль геодезической и затем продифференцировать получившийся вектор в касательном пространстве ТМх(1) по к при /г = 0. В результате получается вектор касательного пространства ТМх(1), который называется ковариантной производной поля % ( ) по и обозначается через ВУВЬ. [c.275]

ОН определен при всех значениях времени только для тех точек, орбиты которых никогда не попадают в вершину. Так как множество таких точек имеет полную меру Лебега, с точки зрения эргодической теории сохра-НЯЮШ.ИЙ меру поток определен для всех значений времени. Чтобы применить теорему 14.6.3, домножим векторное поле определяющее поток, на неотрицательную функцию р, обращающуюся в нуль только в вершинах и такую, что интегрируема по Лебегу. Векторное поле рХ непрерывно и однозначно интегрируемо и определяет непрерывный сохраняющий положительную на открытых множествах меру Л поток. Вершины являются неподвижными точками седлового типа, и отображение возвращения на любую трансверсаль совпадает с отображением возвращения для первоначального разрывного потока. Обозначим ч ез Т группу параллельных переносов, порожденную сдвигами 2 ,..., 1 . Пусть Р],..—вершины многоугольника Р. [c.484]

Теперь с помощью последнего равенства мы покажем, что tp p) W (p) для плотного множества значений t из окрестности 0. Для этого выберем два вектора v е Е (р) и го Е (р) таким образом, что d9(v, w) ф 0 это возможно, потому что в — невырожденная форма. Далее, рассмотрим короткие кривые с [О, е]— Жо (р) и % [0> Жос(Р)> являющиеся отрезками геодезических в этих подмногооо разиях. Для достаточно малого е найдется точка Z ( (е)) П Жос(с (е))- Выберем так, что z = е (с (е))- Существуют гладкие кривые 7 с И ос(с (е)) и 7, С (с (е)), идущие в Z и z соответственно. Так как сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения непрерывны в 7 -топологии, эти кривые можно считать почти параллельными с и с соответственно. Например, можно параллельно перенести касательные векторы к вдоль геодезических в соответствующие точки 7 и гарантировать, что получившееся векторное поле вдоль 7 настолько близко к касательному векторному полю, насколько нам нужно, при условии, что е достаточно мало. Заметим также, что с точностью до произвольно малого гладкого возмущения можно считать точку z периодической. Перенос кривых и 7 под действием потока представляет собой четырехзвенную ломаную, соединяющую точку р с точкой р р) кривыми из сильно устойчивого и неустойчивого слоев. Добавляя маленький отрезок орбиты р, мы, таким образом, получаем замкнутую кусочно гладкую кривую с. Она проектируется в простую кривую в трансверсали Т, так что эту кривую можно рассматривать как границу поверхности А, инъективно проектирующейся на поверхность тг(А) в Т. Теперь заметим, что с точностью до умножения в на постоянный множитель по теореме Стокса мы имеем [c.578]

Действительно, (1е1Яр представляется в виде произведения detЯO и определителя D ограничения на множество векторных полей, параллельных y t). Ограничим лагранжиан на двумерное пространство Т аТМ и применим к полученной системе теорему 1. В левой части формулы (5) в этом случае будет стоять определитель D. Таким образом, [c.160]

Эту операцию геометрически можно описать следующим образом. Пусть ё (Р) и Р ) — два вектора некоторого векторного поля в двух близких точках Р и Р с координатами (х ) и (x + dx ). Разности = a P ) — — (Р) = dx da4dx не могут быть компонентами вектора, поскольку а - (Р) и ё Р ) относятся к двум разным точкам. Однако если а Р ) — вектор, полученный параллельным переносом а из точки Р в точку Р, то разность а (Р ) — [c.239]

Теорема. Каждая точка области, где задано вещественио дифференцируемое илн комплексно-аналитическое поле направлений, имеет окрестность, в которой существует диффеоморфизм (соответственно, биголоморфное отображение), переводящий интегральные кривые векторного поля в параллельные прямые. [c.20]

Диаграммой Ньютона векторного поля, а называется ломаная, которая строится следующим образом, Рассмотрим объ- единение всех квадрантов, вершины которых расположены точках носителя поля о, а стороны сонаправлены со сторонами первого координатного угла. Граница выпуклой оболочки это- го множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, ни одно звено которой не параллельно координатным осям (она может. a) maIЬ JL.лa-QДHDЙJГQЗKи)>.Эта -Ломаная -и вазываетеяк диаграммой Ньютона-поля . - - - - -------- [c.92]

Таким образом, в каждой точке мы имеем одномерное комплексное (или двумерное вещественное) представление группы и(1) (или 0(2) ф = 1+ i ф2) Разность у) — х) не является правильным объектом, ибо не преобразуется по представлению нашей (калибровочной) группы. Аналогично производная не является правильным объектом. Чтобы обойти это, мы введем векторное поле А (ж), преобразующееся под действием нашего представления по формуле —) А +, и с его помощью определим параллельный перенос ф х) в точку у по кривой С, соединяющей ж и у [c.50]

Перенос наших рассмотрений на случай векторных полей в и-мерном пространстве может быть сделан непосредственно на основе аналогичных геометрических рассмотрений. Однако мы предпочтем здесь другой аналитический, более простой для формулировки и более конструктивный способ определения ind к. Пусть в и-мерпом пространстве Л (аг1,..., аг ) задано достаточно гладкое векторное поле П, составляющие которого П((а ). Пусть имеется некоторая достаточно гладкая замкнутая гиперповерхность д,. Отображение О в данном случае конструируется следующим образом берем внутри <1 точку о и проводим вектор к параллельный вектору к поля П в заданной точке к поверхности й. Этот вектор пересекает д, в одной или нескольких точках, которые ставим в соответствие к. Пусть одна из этих точек есть и ее координаты суть х. Введем для данной точки якобиан У отображения [c.71]

Приведенные при исследовании предыдущего примера формулы для изменения кривизны гладкой кривой в М под действием динамической системы позволяют сразу написать дифференциальное уравнение для векторных полей, задающих искомые локальные многообразия. Пусть 0< 1< 2< — моменты последовательных отражений траектории точки хбМ от края дМ, t n- oo при п- оо Т1г== г— 0=0 qiGдQ.— точки, в которых происходят соответствующие отражения от границы дQ , и v i —скорости непосредственно перед и после -го отражения со5фг=—( г , Кг — Оператор второй квадратичной формы границы дQ в точке qi — изометрический оператор, отображающий гиперплоскость Аг в (содержащую точку qi и перпендикулярную вектору Дг ) параллельно векто-ру n qц) на гиперплоскость (содержащую точку и перпендикулярную 1),,+) 1 4 — оператор, отображающий Ач параллельно V- на гиперплоскость касательную к границе дQ в точке q,i, а У, — сопряженный к нему оператор. Рассмотрим. [c.181]

Сечение этой ретракции тогда отождествляется с векторным полем на окрестности V. Выберем в начале координат вектор V, трансверсальный к многообразиям 5 . Если V достаточно мал, то комплексная точка, им изображаемая, находится вне 8, и это свойство сохраняется при параллельном переносе вектора V [c.132]

Если все вибраторы, образующие антенну, параллельны, векторный потенциал А имеет только одну компоненту. и граничные условия у поверхности каждого вибратора, заключающиеся в равенстве нулю касательной составляющей ащряженности электрического поля Е, могут быть заменены эквивалентными граничными условиями для вектора А, аиалоличным и (6.3). При этом для каждого вибратора может быть составлено уравнение типа (6.9) [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...