Изгиб парами, приложенными на концах

Отсюда следует, что волокна, лежащие в плоскости х = 0, не удлиняются и не укорачиваются иными словами, эта плоскость будет нейтральной плоскостью. Удлинение или укорочение какого-нибудь продольного линейного элемента определяется по расстоянию его от нейтральной плоскости и по кривизне упругой линии правила для этого совершенно такие же, как в случае изгиба парами, приложенными на концах. [c.355]

Значит, мы получим решение задачи изгиба кривого кругового бруса парами, приложенными на концах, если в формулах (10) 60 возьмем [c.219]

Предположим, что координатные оси выбраны только что указанным образом. Тогда мы получим решение задачи изгиба бруса парами, приложенными на концах, моменты которых параллельны одной из главных осей инерции сечения относительно центра его тяжести. [c.514]

Изгиб балки история вопроса, 15, 32, 33, 34 изгиб парами, 33, 140, 174 изгиб силой, приложенной на конце, 33, 149, 345—365 частные виды сечений узкое прямоугольное, 149, 381 круговое, 351 эллиптическое, 35 прямоугольное, 353 другие формы сечений, 352, 353 касательное напряжение при — — 346, 357 ф >рмулы для [c.669]

Главная часть научной работы Сен-Венана относится к математической теории упругости, и о ней будет сказано далее. Но он внес многое также и в элементарное учение о сопротивлении материалов, в особенности в теорию изгиба стержней ). Он первый исследовал точность допущений, лежащих в основе теории изгиба, а именно 1) поперечные сечения балки остаются при ее деформировании плоскими и 2) продольные волокна балки при этом не оказывают давления друг на друга, находясь в состоянии простого осевого растяжения или сжатия. Он доказывает, что оба эти допущения строго выполняются лишь в случае чистого изгиба, когда на балку действуют две равные, противоположно направленные пары, приложенные по концам. Исследуя чистый изгиб балки прямоугольного сечения (рис. 63, а), он показывает, что изменения [c.164]

Точность этой формулы зависит от величины а . (В случае растягивающих сил величина эта может быть значительно больше 1. На практике а обыкновенно не превосходит десяти.) В случае сосредоточенной силы посредине погрешность при вычислении прогиба по формуле (19) будет около 1,2% для а =1 и около 2,2% для а =2. С возрастанием погрешность возрастает и формула (19) дает лишь грубое приближение. При удалении изгибающей силы от середины точность формулы (19) изменяется и в крайнем случае, при изгибе парой сил, приложенной на конце, погрешность достигнет 2,5% для а =1 и 4,3% для а =2. Заметим, что большие значения а получаются лишь в случае весьма гибких стержней. К таким стержням обыкновенно не прилагают сосредоточенных нагрузок. При действии равномерно распределенной нагрузки точность приближенной формулы (19) значительно большая. При а =1 погрешность около 0,3%, при а =2 погрешность 0,7% и при а =10 погрешность приблизительно 1,7%. В случае параболического распределения сплошной нагрузки точность ( рмулы (19) еще большая. [c.188]

Все обстоятельства изгиба стержней с заделанными концами можно получить, пользуясь решениями для стержней с опертыми концами, если иметь формулы для углов поворота концов и для прогиба при действии на сжатый или растянутый стержень изгибающей пары сил, приложенной на конце. [c.198]

В случае изгиба парой или силой, приложенной на конце, Ф определяется из формулы (130), в остальных слу шях нужно пользоваться величиной Ф, определяемой по формуле (132). [c.304]

Изгиб парами, приложен- ньши на концах. И в этом случае решение вполне элементарно. [c.513]

Элементарная теория изгиба. Рассмотрим балку, ограниченную цилиндрической поверхностью произвольного поперечного сечения и двумя плоскостями, нормальными к этой поверхности. Ось г принимается за центральную ось, проходящую через центры тяжести поперечных сечений балки, а плоскость ху совпадает с одним из концов балки. Балка изгибается двумя парами с моментами М, приложенными на концах и действующими в плоскости х% цилиндрическая поверхность свободна от внешних нагрузок. В элементарной теории изгиба балок допускается, что длина центральной оси не меняется и плоские сечения остаются плоскими и нормальны к деформированной центральной оси. Отсюда легко получим, что продольная деформация балки определяется выражением [c.70]

Если на балку действуют две равные и противоположные пары, приложенные по концам, то балка испытывает чистый изгиб. В соответствии с положением плоскости действия изгибающих пар чистый изгиб может быть плоским или косым. [c.53]

Балка на упругом основании с шарнирными концами изгибается парой Мо, приложенной на конце (рис. 23). Найти уравнение изогнутой оси [c.29]

Балка АВ пролетом / опирается правым концом на шарнирную опору, а левым на винтовую пружину и изгибается парой сил, приложенной в точке В (см. рисунок). Составить уравнение [c.166]

Балка АВ, свободно лежащая на двух опорах, изгибается парами сил, приложенными к ее концам (см. рисунок). Каково соотношение между величинами моментов этих пар, если точка перегиба [c.171]

Определим изгибающие и крутящие моменты для вала 4D. Силы Т V. t натяжения ремня), действующие на шкив, заменяем силой T+t, приложенной в центре шкива, и парой Т—t) Ro, где Ro— радиус шкива. Сила T -t вместе с весом шкива Q производит изгиб вала пара же (Г—t) Ro, скручивая вал, уравновешивается парой, приложенной к его правому концу. [c.377]

Стальная балка прямоугольного поперечного сечения, защемленная одним концом, изгибается парой сил с моментом = 1 кгм, приложенным на другом свободном конце (см. рисунок). Длина балки /=1 м, размеры сечения = 6 см, А = 0,5 см. Путе i интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки определить величины наибольшего прогиба и угла поворота,концевого сечения и сравнить их с результатами точного решения. [c.173]

Предположим, что стержень, ось которого совпадает с осью г, изгибается парами сил, приложенными по концам и действующими в одной из главных плоскостей стержня (рис. 9). Эту плоскость примем за плоскость гж, тогда составляющие напряжения, получаемые на основании гипотезы плоских сечений, будут следующие [c.67]

Сравнивая это с результатом, полученным нами раньше для прямых стержней [см. формулу (66)], заключаем, что первая сумма полученного выражения (74) представляет собой прогиб прямого стержня. Второй суммой оценивается влияние кривизны. Дополнительный прогиб, обусловленный начальным искривлением, совершенно не зависит от поперечной нагрузки, и мы его можем вычислить без всяких затруднений, если только заданы коэффициенты Ь , Ъ . Пользуясь сложением действий поперечных нагрузок, мы при помощи выражения (74) легко найдем прогибы при любой поперечной нагрузке. Возьмем, например, изгиб равномерно распределенной нагрузкой стержня, имеющего начальное искривление по параболе. Чтобы представить это искривление в виде тригонометрического ряда, поступим так. Возьмем случай изгиба прямого стержня двумя равными и прямо противоположными парами сил, приложенными по концам. На основании формулы (63) уравнение искривленной оси представится так [c.232]

Предлагаем читателю решить самостоятельно задачу балка длины / лежит на двух опорах (шарнир и каток) и изгибается парами с моментами М1 и Мг, приложенными в ее концах найти потенциальную энергию балки и углы ф1, ф2 поворота концевых сечений. [c.386]

Изгиб стержня силами, распределенными вдоль его длины. Если на стержень действуют силы и пары, приложенные не только на его конце, но и в других точках, то стержень может принимать такие формы равновесия, которые были бы невозможны при действии сил только на конце. [c.439]

Для дальнейшего упрощения рассуждений можно, кроме того, воспользоваться принципом наложения ( 17, гл. V), позволяющим рассматривать по отдельности системы нагрузок, статически эквивалентные каждому из шести компонентов двух векторов и При этом компоненту 5г будет соответствовать растяжение (или сжатие) стержня вдоль его оси компонентам у—изгиб стержня поперечными силами, приложенными на его конце компонента.м — изгиб стержня парами сил, приложенными на его конце, и, наконец, компоненту —кручение стержня приложенной на его конце парой сил. [c.239]

В случае изгиба растянутого стержня парой Сил, приложенной на правом конце, уравнение изогнутой оси получается из уравнения (26), [c.42]

Пользуясь бесконечным рядом, вывести уравнение кривой изгиба балки, показанной на рис. 36, , если на нее действует пара сил, приложен- ная на левом конце. [c.50]

Решение. Проведем произвольное поперечное сечение на расстоянии г от свободного конца балки и рассмотрим условие равновесия левой отсеченной части, изображенной отдельно на рис. 7.9, б. Очевидно, поперечная сила Q равна нулю, так как нагрузка (внешние силы), приложенная к оставленной части, представляет собой пару сил, которая, как известно, ни на одну ось проекции не дает. Следовательно, балка работает на ч и с т ы й изгиб. [c.228]

В сопротивлении материалов пару сил нельзя переносить в ее плоскости, и мы говорим о точке приложения пары, О сосредоточенной паре или сосредоточенном моменте. Это ясно из рис. 4, на котором изображены две балки, защемленные на одном конце (замурованные в стену) и нагруженные парами сил. В первом, случае изгибается вся балка, во втором — только заштрихованная половина. [c.17]

Стержень углового поперечного сечения (рис. 204) изгибается парами приложенными на концах и действующими в плоскости большей полки. Найтц направления главных центральных осей и и о, величиныи главных моментов инерции и величину наибольшего нормального иапряжения при изгибе, если М м 10 кгсм. При решении задачи воспользоваться формулой (132). [c.198]

При таком способе решения задачи может случиться, что на поперечных сторонах полосы х О, х = Г) кроме усилий, необходимых для зфавновеши-вания заданных нагрузок, появятся еще некоторые добавочные усилия. В самом общем случае усилия эти на каждом конце приведутся к силе и паре сил. Влияние их на напряжения в местах, удаленных от концов балки, мы сможем устранить, налагая на найденное для напряжений решение напряя ения, соответствующие простому растяжению или сжатию, напряжения чистого изгиба и напряжения при изгибе силой, приложенной на конце. [c.89]

Деформация, таким образом, определнтси по формулам (6), (9) и (10). Самаи общаи деформация, которая соответствует равномерному наприжен-ному состоянию вдоль балки и внешним силам, действующим по концам балки, состоит из простого растяжении вдоль балки, двух изгибов в плоскостях (дг, г) и (у, z) при помощи пар, приложенных на концах, с соответствующими кривизнами х и х (см. -,87) и кручения т (гл. XIV). [c.368]

Эта же задача изучалась с другой точки зрения Дауголлом 8). Он рассматривал бесконечный круговой цилиндр, на который каким-либо образом действуют внешние силы, и иашел решение для случая сосредоточенных снл, приложенных либо внутри цилиндра, либо на его поверхности. Частные решения, из которых состоят общие решения, распадаются на два различных класса. Первый класс содержит шесть частных решений Сен-Венана, отвечающих простому растяжению, изгибу парами, действующими на концах, кручению и изгибу поперечными силами, действующими иа концах, все это рассматривается вместе с перемещениями, соответствующими движению неизменяемого твердого тела. Решения второго класса получаются в виде членов типа , [c.386]

Кривизна в кйкой-нибудь точке будет такой, как будто балка изгибается парами сил, приложенными на концах, с моментами, равными значению М, которое эта величина имеет в данной точке. [c.354]

Самое общее состоянне деформации, удовлетворяющее условиям 1) что напряжение вдоль балки изменяется линейно, 2) что единственные внешние силы действуют иа концах балки, состоит из растяжения силами, приложенными на концах балкн, изгиба поперечными силами и парами, приложенными также на концах, и, наконец, кручення, производимого парами, действующими на концевые сечения балки. В каждом сечеиии компоненты результирующей силы по осям х, у, г будут [c.371]

Если бы аддитивная постоянная в формуле (41) равнялась нулю, то саотношение между кривизной и изгибающим моментом было бы таким же, как в случае изгиба парою или в случае силы, приложенной на конце. [c.377]

Предыдущее рассуждение было приведено для, случая прямоугольного поперечного сечения. Оно остается справедливым также и для бруса какой-либо иной формы поперечного сечения, который имеет продольную плоскость симметрии и изгибается парами сил, действующими в этой плоскости и приложенными <на концах бруса. В такйх случаях изгиб происходит в плоскости действия пар, и поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к продольным волокнам и после изгиба. [c.88]

Положим, что балка изгибается двумя приложенными к ее концам парами сил (рис. 296), действующими в плоскости, проходящей через ее ось. При этом в поперечных сечениях балки возникнут только изгибающие моменты M , численно равные внешним моментам УИ, т. е. М =М. Как известно из предыдущего, такой изгиб называют чистым в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения. Установим зависимость между величинами этих нормальных напряжений и изгибающего момента. Выделим из балки по рис. 296 элемент abed, имеющий весьма малую длину в увеличенном масштабе этот элемент после деформации показан на рис. 297. Под действием приложенных парсил балка изогнется при этом первоначально прямая линия еп, представляющая собой проекцию нейтрального слоя на плоскость чертежа, обратится в некоторую кривую. [c.285]

Стержень длиной 1=] м н сечением 2х см , защемленный одним концом, изгибается парой сил с моментом М =Юкгм, приложенным на другом конце. Найти величину модуля упругости материала и радиус кривизны оси балки, если угол поворота концевого сечения равен 0 = 0,0375. [c.156]

А. Тимпе ), рассмотрев несколько частных случаев, пришел к решениям X. С. Головина для изгиба части кольца парами и силами, приложенными по концам. Круглое кольцо представляет собой простейший случай многосвязной области, и общее решение для него содержит многозначные члены. Тимпе дает физическое истолкование факту многозначности решений, принимая во внимание остаточные напряжения, возникающие в результате разрезания кольца, смещения одного конца в месте разреза относительно другого и последующего соединения их тем или иным способом. Как мы уже упоминали выше (см. стр. 421), общее исследование решений двумерных задач для многосвязных контуров было проведено Дж. Мичеллом ), показавшим, что распределение напряжений в этом случае не зависит от упругих постоянных материала, если объемные силы отсутствуют, а поверхностные силы таковы, что их равнодействующая обращается в нуль на каждом контуре. Это заключение представляет большую практическую важность в тех случаях, когда исследование напряжений производится поляризационно-оптическим методом. Случай кругового диска, нагруженного в произвольной точке сосредоточенными силами, был исследован Р. Миндлином ). Автор настоящей книги изучил частный случай напряженного кругового кольца, именно сжатие его двумя равными противоположно действующими по диаметру силами ). При этом было показано, что в сечении, расположенном на некотором расстоянии от точек приложения нагрузок, достаточно точным для практических целей является даваемое элементарной теорией Винклера гиперболическое распределение напряжений. Другие примеры деформации круговых колец были изучены Л. Файлоном ) и Г. Рейсснером ). К. В. Нельсон ) в связи с задачей [c.486]

Моменты, действуюш ие по концам этих балок, найдутся из того условия, что над каждой из опор два соседние пролета изогнутой оси неразрезной балки имеют обш ую касательную. Таким путем мы получим систему уравнений, каждое из которых будет заключать величины трех последовательных опорных моментов. Число уравнений будет соответствовать числу промежуточных опор, и если концы многопролетной балки могут свободно поворачиваться, то из полученной системы уравнений найдутся все лишние неизвестные, В случае закрепленных концов нужно будет к составленной системе уравнений присоединить еще два уравнения, которые напишутся на основании условий закрепления концов, В качестве примера рассмотрим изгиб многопролетной балки, сжатой силами 5 и изгибаемой парами сил, приложенными по концам. Если других нагрузок нет, то мы можем все ну>и-ные нам уравнения составить при помощи формул (29 ), Введя для краткости обозначения [c.213]

Предположим теперь, что балка изгибается силой W, приложенной нш конце х=-1, как показано на фиг. 13. Эта си га не может быть уравно вешена парой, приложенной в каком-нибудь поперечном сечении усилия [c.150]

Примеры свободного (чистого) и стесненного кручения одного и того же стержня двутаврового профиля приведены на рис. 119 и 120. На рис. 119доказан характер деформации двутавра со свободными концами, к которым приложены крутящие пары с моментами М , т. е. случай чистого кручения. На рис. 120 изображен вид деЗформации двутавра под действием тех же крутящих пар /Ио, приложенных к его концам но один из концов стержня защемлен, поэтому сечение в заделке остается плоским, депланация его полностью стеснена и препятствует свободной депланации смежных сечений. Лишь на правом свободном конце стержня ее можно считать нестесненной. Следовательно, мы здесь имеем дело со случаем стесненного кручения, или, как его еще называют.— изгибного кручения (полки двутавра при его скручивании изгибаются, как и вообще элементы тонкостенных стержней). [c.182]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...