Умножение и свертка

Алгебраические операции над тензорами — внешнее умножение и свертка—определяются так же, как и в евклидовом пространстве (см. лекцию 1). [c.127]

Здесь видим лишь комбинацию умножения и свертки с участием. Такие комбинации возможны с тензорами любого ранга [c.16]

Уравнение (4.76) является частным случаем комбинации обеих операций прямого умножения и свертки. Сначала прямым умножением тензоров и й/ образуем тензор 3-го ранга ti%a ) и затем сверткой получаем тензор первого ранга Ьг = Аналогично уравнение (4.73) можно рассматривать как ре- [c.87]

До сих пор нами рассматривалась преимущественно физическая сторона картины. Для расчета выхода при любом частном значении х, таком, как Xj, необходимо выполнить интегрирование согласно уравнению (4.24). Эта процедура представлена графически на рис. 4.5, Э, где х является вспомогательной переменной интегрирования. Функция f x ) умножается на д (х - х ), и область (заштрихованная) под кривой произведения представляет собой величину выхода /i(xi) при Xj. Отметим, что перед умножением и интегрированием д х) как смещается, так и переворачивается (ср. термин свернутое произведение как альтернативу свертке ). Вследствие этого перевертывания свертка является коммутативной, т.е. [c.74]

Устройства оптической обработки выполняют все необходимые вычислительные операции (свертка функций, дифференцирование, интегрирование и т. д.) на основе двух базовых — комплексного умножения и преобразования Фурье. В основе комплексного умножения лежит модуляция световой волны, проходящей через объект в виде транспаранта с заданным амплитудным коэффициентом пропускания. (Напомним, что именно на основе представления об амплитудном коэффициенте пропускания в гл. 1 был развит волновой подход в теории ДОЭ.) Операцию преобразования Фурье выполняет оптический фурье-анализатор, состоящий в простейшем случае из транспаранта с входным изображением и линзы (объектива) с положительной оптической силой [24]. Если транспарант освещает плоская монохроматическая волна, то его фурье-об-раз (спектр пространственных частот) формируется в дальней зоне в результате дифракции света на структуре транспаранта. Линза переносит спектр из бесконечности в свою фокальную плоскость, где он представляется в виде комплексной амплитуды волнового поля. [c.150]

Тензоры Н можно строить из тензоров Т при помощи двух тензорных операций умножения и свертывания. Операция свертывания по любым двум индексам всегда возможна в силу наличия среди тензорных аргументов тензора д. Неопределенное умножение нескольких тензоров приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Свертывание по 21 индексам понижает ранг тензора на 21 единиц. Умножение и очевидная свертка данного тензора Т с компонентами на тензор с компонентами б бт приводит к тензору Т того же ранга с компонентами [c.439]

Передача изображающим прибором структуры предмета, следовательно, нагляднее всего описывается как передача его спектра пространственных частот. Выражение, определяющее передачу структуры в терминах пространственных частот, можно легко получить из формулы свертки (2.16), применив к обеим ее частям преобразование Фурье. При этом, в соответствии со свойствами этого преобразования, операция свертки переходит в простое умножение, и мы имеем [c.28]

Свертка А-и в декартовой системе определяется как умножение матрицы (2.272) на вектор-столбец и. [c.90]

Используя разложения тензоров по тензорным базисам, можно дать инвариантные определения операций свертки, векторного и тензорного умножения тензоров используемых в механике. [c.315]

Из теоремы умножения следует, что если некое изображение можно представить в виде произведения F (р) Ф (р) и для каждого из множителей оригинал / (t), ф (/) известен, то оригиналом всего произведения является свертка. Следовательно, теорема умножения решает задачу обращения для изображения, имеющего вид произведения Р(р)Ф р). [c.209]

Кроме того, процедуры дискретной свертки (10) и интерполяции (12) требуют обязательного выполнения многочисленных и трудоемких операций умножения. Например, для выполнения свертки с ядром (8) на каждую [c.403]

В данном контексте эта теорема приводит к очень важному результату, состоящему в том, что свертка в пространстве объекта (физическом пространстве) соответствует умножению в дифракционном пространстве (т.е. пространстве Фурье или взаимном пространстве). Это следствие не только позволяет наглядно объяснить процесс формирования изображения, но и служит мощным инструментом с точки зрения его численной обработки (разд. 5.5). [c.75]

Уравнения (8.49) и (8.50) могут быть скомбинированы. Для этого достаточно прибавить к (8.49) уравнение, полученное двойной сверткой (8.50) и предварительно умноженное на новую постоянную [c.226]

Из заданных тензорных полей можно получить новые суммированием, умножением на скаляр, сверткой и инверсией (в случае несингулярного тензора второго ранга). В каждом случае тензоры берутся в одной и той же точке, сумма тензоров в разных точках не определена, так как если, например, T i(P) —тензор в точке Р, а S (Q) — тензор в точке Q, то сумма [c.384]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Умножение тензоров со сверткой. Если А, В — тензоры вида (4.3.1), то тензор С = А В также будет иметь вид (4.3.1), и для его комплексных компонент будут справедливы соотноше- [c.150]

Отметим, что при работе с фурье-спектрометром у нас появляется достаточно много возможностей для произвольной модификации формы И1(х). В самом деле, интерферограмма при измерениях может быть получена без аподизации и зафиксирована в памяти ЭВМ. Умножение ее яа весовую функцию мэж-но произвести на следующем этапе — перед выполнением фурье-преобразования. Можно поступить и иначе, найдя спектр без аподизации, затем осуществить свертку его с подходящей по форме аппаратной функцией. [c.100]

Если имеем псевдотензор и истинный тензор мы пол) им псевдотензор того же веса путем умножения тензорного или скалярного (свертки). [c.47]

Таким образом, свойства образования дифракционных картин и изображений воспроизводятся. Очевидно, что действие любой комбинации источников, объекта и линз можно воспроизвести, записав соответствующие ряды операций свертки с функцией распространения и умножения на функцию прохождения. Например, для точечного источника в точке л = X на расстоянии Ro перед объектом (фиг. 3.3) распределение амплитуды в плоскости наблюдения имеет вид [c.69]

Используя теоремы свертки и умножения, запишем фурье-пре-образование (3.31) в виде [c.76]

В гл. 3 мы рассматривали прохождение падающей волны через двумерные фазовые и амплитудные объекты и распространение ее между такими объектами, используя представление дифракции Френеля. Действие двумерного объекта на падающую волну было описано умножением на функцию прохождения (х, у) и прохождение через пространство — сверткой с функцией распространения р х, у). Применение к рассмотрению трехмерных объектов дано в уравнении (3.31) для реального пространства и в уравнении [c.234]

Точка в условии означает операцию скалярного умножения тензора модулей упругости на вектор и справа (в компонентах — умножение матрицы на вектор — столбец справа) двойная точка в уравнении (5) означает двойное скалярное произведение (свертку) пары тензоров. [c.479]

Процесс обмена информацией при поэлементных операциях, структурировании, выделении последовательно записанных столбцов или слоев матриц, свертке тензоров и умножении на скаляр. Все перечисленные операции отнесены к одному типу по то , причине, что им свойственна одна и та же структура. Исходные файлы, в которых записаны матрицы, последовательно просматриваются, и записи, элемент за элементом, поступают из внешнего накопителя в ОЗУ. Затем из ОЗУ эти части файлов (порции) также последовательно, элемент за элементом, поступают в АЛУ, где выполняются операции над парами элементов и образуются элементы результирующего файла, которые записываются во внешние накопители. Далее этапы процесса повторяются до исчерпания исходных файлов. При регулярном расположении нулевых элементов (или при их отсутствии) процесс протекает именно так. При нерегулярном расположении нулевых элементов каждый этап обработки порций, взятых из ОЗУ, прекращается после исчерпания в одной из исходных порций элементов со значениями индексов, при которых элементарная операция еще не выполнялась, либо из-за превышения объема одной из порций результирующего файла той емкости ОЗУ, которая ей отведена. В первом случае исчерпанная порция замещается в ОЗУ новой порцией того же файла, во втором готовая порция результирующего файла выводится на внешний носитель. Время выполнения такого процесса [c.63]

Кроме того, процедуры дискретной свертки (10) и интерполяции (12) требуют обязательного выполнения многочисленных и трудоемких операций умножения. [c.117]

Разработки в сфере оптических вычислений производят очень сильное впечатление, особенно с точки зрения предоставляемых ими особых возможностей для выполнения параллельной обработки с высокой скоростью, аналогового умножения, свертки, операций над матрицами и преобразования Фурье [1, 2, 3]. Однако довольно парадоксальной выглядит проблема обеспечения простой реализации в оптике функционально полного набора логических связок [4]. Тем не менее развитие электрооптических методов модуляции интенсивности света подготовило путь для появления двоичной пороговой логики [5, 6]. Известно, что двоичная пороговая логика является функционально полной и имеет дополнительную привлекательную черту—программируемость изменение весовых коэффициентов может осуществляться в реальном времени для того, чтобы изменить передаточную функцию порогового устройства. [c.162]

При рассмотрении рис. 7.2 становится очевидным, что устройства, производящие пространственную и временную свертки, являются зеркальными образцами друг друга, где выходной и входной сигналы поменялись ролями. Для умножения двух чисел может быть использована любая из конфигураций, при этом функции g п h представляют в виде последовательностей цифр, описывающих соответствующие числа. Свертка должна выполняться дискретно данные фотодетекторов могут считываться только тогда, когда цифры, представляющие g, синхронизированы с цифрами, описывающими h. Это требует импульсного режима работы источника света или детектора. Для наглядности представим сдвиговые регистры как строки из клеточек, по которым перемещаются цифры, пробегающие по одной клеточке за тактовый цикл. Все входные и выходные функции будут записаны аналогичным образом, чтобы показать, каким образом данные должны быть форматированы. Ни- [c.190]

На рис. 7.3 показана схема вычисления свертки с пространственным и временным интегрированием для выполнения операции умножения. В схеме с пространственным интегрированием (рис. 7.3, а) сдвиговый регистр состоит из трех ячеек (так как в данном примере / = 3). Число 013 передвигается по регистру синхронно с цифрами числа 025 по регистру. Если цифра вводится в систему источником света, то она сохраняется в ней в течение трех циклов, в то время пока другое число перемещают относительно него. Для числа 025 требуются пять циклов, чтобы полностью очистить сдвиговый регистр и освободить место для умножения следующего числа. Таким образом, за этим числом должны последовать два буферных нуля, которые также оказываются включенными в последовательность цифр выходного сигнала (следует обратить внимание на смешанный формат выходного сигнала). Эти два буферных пространства рассчитаны на случай переполнения, которое может возникнуть после преобразования результата в обычный, несмешанный формат представления числа. В течение соответствующего буферного интервала времени источники входного светового сигнала могут быть выключены на период, составляющий два тактовых цикла. Этот интервал времени может быть использован для медленного переключения входного сигнала от светодиодов из одного значения в другое. В этом случае источник света может иметь гораздо большее время срабатывания, чем тактовый цикл. Фотодетекторы, однако, должны реагировать на каждый тактовый цикл. [c.191]

Ниже представлены примеры выполнения свертки каждым из типов архитектур, рассмотренных для одной и той же задачи. Для большей убедительности взят случай умножения матрицы на вектор. Задача выглядит следующим образом. [c.192]

Свертка и векторное умножение приводят к операциям дивергенция и ротор .Для вектора [c.26]

Преобразование Френеля тесно связано с преобразованием Фурье. Разложением ядра преобразования Френеля можно показать, что функции (x)exp(—/nsA V ) и f y) exp jnsy lX) связаны друг с другом преобразованием Фурье. Наоборот, если f y) и g(x) — пары преобразования Фурье, то можно показать, что пара g (х) ехр(/язл /Х) и /(г/) ехр(—jnsy lK) связана преобразованием Френеля. В этих выражениях умножение на квадратичный фазовый множитель аналогично виду преобразования, осуществляемого тонкой линзой над комплексной амплитудой падающего на нее светового поля [14, гл. 5]. То, что распространение электромагнитного поля между линзами можно описать, с помощью преобразования Френеля (или свертки с фазовым множителем), позволяет изучать свойства когерентных оптических процессоров, в которых основными операциями являются умножение и свертка [7], на основе алгебраических соотношений. Преобразование Френеля применяется также при исследовании голограмм Френеля и анализе систем воспроизведения с апертурами, кодированными зонной пластинкой. [c.34]

Представленные четыре действия можно комбинировать в различных сочетаниях. Особенно часто встречается комбинация умножения и свертки при этом в инвариантной безындексной записи ставится точка, указывающая на свертку по соответствующим соседним индексам а. = <=>а = В с, Ау = Вц С, <=>Л = В С. (3.5) [c.13]

Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном в 4.9, образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и свертк . При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (п + пг). Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае, если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в приравнивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, уменьшает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нулевого ранга, т. е. инвариант [c.218]

Пример комбинирооания операций прямого умножения и свертки дает соотношение (9.35). [c.219]

Для вычисления п значений корреляционной функции требуется выполнить порядка niV умножений и сложений. При больших п и N это число может быть достаточно большим. Поэтому в этом случае, как и для вычисления цифровой свертки, рекомендуется сначала с помощью алгоритмов БПФ вычислить спектры Фурье анализируемых сигналов (или только один спектр, если вычисляется функция автокоррелиции сигнала), затем эти спектры перемножить, причем один из спектров заменяется своим комплексносопряженным, и выполнить обратное преобразование Фурье. Поскольку этот способ основан на теореме о циклической свертке теории дискретного преобразования Фурье, применяя его, необходимо позаботиться о правильном доопределении недостающих отсчетов анализируемых последовательностей. Один из лучших и наиболее естественных способов доопределения состоит в четном продолжении последовательностей по правилу [c.195]

Аналоговое оптическое вычислительное устройство выполняет требуемую математическую операцию над сформированным когерентным оптическим сигналом. Обычно оно содержит одну или несколько оптически связанных между собой линз (объективов) и оптические фильтры в виде амплитудных или фазовых масок либо голограмм, установленных в определенных плоскостях оптической системы. С помощью масок и голограмм требуемым образом осуществляют пространственную модуляцию обрабатываемого когерентного оптического сигнала или его спектра. Методы когерентной оптики и голографии позволяют относительно просто выполнять целый ряд математических операций и интегральных преобразований над двумерными комплекснозначными функциями (изображениями). Это прежде всего операции двумерного преобразования Фурье, взаимной корреляции и свертки, а также операции умножения и деления, сложения и вычитания, интегрирования и дифференцирования, преобразования Гильберта, Френеля и др. Легко реализуются также различные алгоритмы пространственной фильтрации изображений, в том числе согласованной, инверсной и оптимальной по среднеквадратичному критерию и критерию максимума отношения сигйал/шум. Следует отметить, что часто одну и ту же операцию можно реализовать с помощью разных оптических схем и различными способами. Запоминающее устройство (оптическое или голографическое) служит Для хранения набора эталонных масок или голограмм, [c.201]

С Другой стороны, в случае чисто упругого рассеяния f(u, 0) - получается из самосвзртки усредненной во времени функции распределения (g (r, t))f. Однако, поскольку все атомы находятся в движении, а все положения для какого-либо атома равновероятны, эта усредненная функция распределения постоянна в пределах объема данной системы. Тогда свертка (5.34) и интеграл jP(r, О iii также будут постоянными, умноженными на свертку функции формы [s(r) >j< s(—г)]. Следовательно, чисто упругому рассеянию отвечает лишь один резкий пик S(u)p. [c.115]

Рис. 5.1. Функция рассеяния и передаточная функция. Схема функциональных связей при некогерентном освещении. (Т-преобразование Фурье ФРИ-функция распределения интенсивности ЧСРИ-частотный спектр распределения интенсивности ФРТ-функция рассеяния точки ОПФ-оптическая передаточная функция -свертка х -умножение.)

Это та же формула (37), которую мы сейчас получили, вскрыв смысл функции 5(8) как трансформанты функции размещения, заданной в физическом пространстве. Мы в сущности уже и раньше пользовались функцией размещения, когда представляли электронную плотность цепной молекулы в виде свертки электронной плотности элементарной группировки с прямолинейным рядомточек— формула (111,31).Теперь мы видим, что любой набор точек может рассматриваться как функция размещения и что дифракционные свойства этого набора простым способом — умножением — комбинируются с дифракционными свойствами изолированной молекулы или вообще любого однородного образования, которое можно выделить как единицу рассеяния в том или ином объекте. Придавая различный конкретный вид функции размещения, соответствующий, например, кристаллу, жидкости, текстуре и т. п., можно оценить влияние этих различных типов упорядочения молекул на дифракционную картину. [c.178]

Sp Тц. = Тпп = Тц + Т22 + Тзз-2. Умножение. Если заданы два тензора Тц. и, то их произведением будет тензор четвертого ранга Nikmn = Tik gmn Свертка по индексам кит приводит к тензору второго ранга = Tik ekn Скалярное произведение двух векторов aibi является операцией вычисления тензора Tik = щЪк. [c.17]

Двумерная архитектура. В [14] описана двумерная архитектура с пространственным интегрированием и рассмотрен случай систолического акустооптического двоичного процессора выполнения свертки (САОДПС). Как показано на рис. 7.7, для САОДПС требуется I входов для ввода вектора и т входов для ввода матрицы. Имеется т детекторов выходного сигнала. САОДПС должен иметь два набора сдвиговых регистров один набор быстро сдвигает матричные элементы относительно элементов вектора, в то время как другой набор регистров медленно передвигает вектор последовательно по всем строкам матрицы. Вектор выходного сигнала представляет собой т последовательных серий, которые требуется просуммировать и преобразовать. Процесс умножения занимает время, равное п- -т—1) (2/—1) тактовых циклов. Последний из обсуждаемых умножителей матриц на вектор, показанный на рис. 7.8, представляет двумерную архитектуру с временным интегрированием. Имеется один вход для вектора, который требуется развернуть и переместить относительно т входов матрицы. Выходной сигнал требует 21—1)т фотодетекторов, которые должны быть синхронизированы с целью параллельного вывода выходных сигналов. Затраты времени составят в этом случае п(21—1) + (т—1) тактовых циклов. [c.195]

Разновидности основной архитектуры. Сообщалось и о других способах преобразования схем вычисления свертки в схемы умножителей матрицы на матрицу. В [16] для получения промежуточного произведения при вычислении внутреннего произведения двух векторов используется основная схема вычисления свертки с интегрированием по времени. Все промежуточные произведения вычисляются параллельно на независимых друг от друга умножителях и суммируются с помощью цилиндрической линзы. Таким образом, для перемножения двух векторов, состоящих из п элементов, с точностью в I знаков требуется п входов для каждого вектора, 21—1 фотодетекторных элементов и 21—1 тактовых циклов. При выполнении суммирования с помощью линз максимальное значение на детектирующем элементе составляет п1 Ь—1) . Матрично-векторный умножитель схематично показан на рис. 7.12. Следует заметить, что буферные нули в данном случае не требуются, поскольку элементы вводятся параллельно. Для построения матрично-векторного умножителя для перемножения матрицы тХп и вектора пХ все т умножителей векторов размещаются параллельно. Теперь каждый элемент матрицы а имеет вход (при общем числе входов тп), а элементы вектора Ь сдвигаются относительно этих входов. Умножение выполняется за интервал времени, составляющий т 21—1) циклов при этом i используется т(21—1) детекторов выходного сигнала. Возможности процессора удается расширить до операции умножения матрицы на матрицу с помощью временного разделения каналов для ввода элементов Ь при условии построчной загрузки матрицы по соответствующим буферам. В схеме имеется также тп входов для одной матрицы и п входов для другой, а также т 21—1) детекторов выходного сигнала. Затраты времени на вычисления составляют k + m—1) 21—1) тактовых циклов. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...