Интегральный принцип. Уравнения движения системы

Интегральный принцип. Уравнения движения системы. [c.150]

Если же мы желаем на основании интегрального принципа, найти неизвестный закон движения, то для этого приходится применять указанный принцип к бесконечно малому элементу времени. Именно так была получена система дифференциальных уравнений движения на основании принципа М. В. Остроградского. Совершенно ясно, что при этом отпадают все рассуждения, сходные с рассуждениями А. Зоммерфельда. [c.205]

При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210]

Уравнения движения материальных систем можно найти и на основании принципа Эйлера — Лагранжа. Конечно, в этом случае была бы получена система уравнений, описывающая движение материальной системы со стационарными связями в консервативном силовом поле. Интегральные принципы механики по своему содержанию эквивалентны системам уравнений движения, которые из них вытекают. [c.210]

Обратим внимание на физическое содержание уравнений (3.8) и (3.9). Они выведены из закона количества движения системы, которая для случая сплошной среды образуется непрерывной совокупностью жидких частиц, составляющих объем W. Поэтому указанные уравнения можно рассматривать как специфические для жидкой среды формы уравнения количества движения. Но при сделанном предположении о постоянстве массы жидкого объема эти же уравнения можно вывести непосредственно из второго закона Ньютона или принципа Даламбера. Поэтому уравнения (3.8) и (3.9) можно также рассматривать как соответственно интегральную и дифференциальную формы второго закона Ньютона для жидкого объема. При этом левая часть уравнения (3.8) представляет собой суммарную инерционную силу, а правая — сумму действующих на массу жидкости внешних сил. В уравнении (3.9) правая часть выражает произведение массы на ускорение (силу инерции) для единичного объема, а левая — сумму действующих на него массовых и поверхностных сил. [c.62]

Характерным для системы изложения аналитической механики является то, что в ее основу кладутся общие принципы (дифференциальные или интегральные) и уже из этих принципов аналитическим путем получаются основные дифференциальные уравнения движения. Изложение общих принципов механики, вывод из них основных дифференциальных уравнений движения, исследование самих уравнений и методов их интегрирования — все это составляет основное содержание аналитической механики. [c.8]

Для проверки, которой не следует пренебрегать, и в то же время для иллюстрации этого нового принципа мы можем вывести известные дифференциальные уравнения движения из нашей системы промежуточных интегралов и затем снова показать соответствие их нашей конечной интегральной системе. В качестве предпосылки к такой проверке полезно отметить, что конечное уравнение (6) живой силы в сочетании с системой (С) принимает следующий новый вид р] [c.181]

Условие (20) необходимо и достаточно (A. . Сумбатов, см. [101]) для того, чтобы некоторое решение qi t) уравнений несвободой системы с множителями связей (при связях (1)) находилось среди решений уравнений, полученных из (18), (1). Соответственно интегральный принцип Гамильтона для неголономной системы имеет характер вариационного принципа стационарного действия (17) только для движений, удовлетворяющих равенству (20). [c.145]

Для малой окрестности физической точки (частицы) среды установлены дифференциальные и интегральные уравнения сохранения массы, импульса (уравнения движения), сохранения энергии, баланса энтропии (уравнение притока тепла), а также уравнения, связывающие тензор напряжения и вектор теплового потока с деформациями, температурой и немеханическими заданными параметрами. Эти соотношения в принципе определяются, и притом однозначно, непосредственно в -опытах для всех возможных в частице процессов поскольку все входящие в эту сис тему равенств параметры измеряются приборами и системе удовлетворяют, группа параметров, названная реакцией (г), однозначно определяется группой процесса (я). Следовательно, для малой частицы решение суи ествует r(t)—г n(x)). Поэтому перечисленная система уравнений в МСС называется замкнутой для всех внутренних точек области движения среды. [c.157]

Зависимости переменных при движении жидкости описываются дифференциальными уравнениями в частных производных относительно времени и трех пространственных координат (уравнения Навье—Стокса). Эти уравнения выражают закон сохранения количества движения для жидкого элемента и дополняются уравнениями неразрывности и баланса энергии. Обычно техническое приближение к проблеме состоит в использовании интегральной формы уравнения баланса энергии, известной под названием уравнения Бернулли, которое выражает принципы сохранения энергии в системе, содержащей движущуюся жидкость, [c.108]

Уравнения Лагранжа могут быть применены не только для определения движения системы материальных точек, но и в более сложных задачах механики, например, для определения движения системы неизменяемых тел. В последнем случае состояние системы определяется не только координатами центров приведения тел, но и эйлеровыми углами, определяющими их ориентацию. Поэтому полезно привести более общий вывод уравнений (6.8), основываясь на каком-либо общем, основном принципе механики. Рассмотрим такой вывод на основании интегрального принципа Остроградского —Гамильтона. [c.275]

Принцип Гамильтона. Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния Таким образом, мы исходили из дифференциального принципа каким является принцип Даламбера. Однако уравнения Лаг ранжа можно получить и из другого принципа, в котором рас сматривается движение системы за конечный промежуток вре мени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как интегральные принципы . [c.42]

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — принцип сохранения количества движения и энергии Движения материальной системы (с вполне голоном-ными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора количество движения —энергия , распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий ). [c.845]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния оистемы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-рят, и нтегр а л ьн ых принципов, характеризующих движение механической системы на таких кО Нечяых интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана инвариантности этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом, по существу, производилась сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. [c.449]

Настоящий раздел будет посвящен интегральному принципу, установленному Гамильтоном (1834 г.) и эквивалентт ному уравнениям движения механической системы. В этом принципе заложен весьма глубокий смысл. Его значение ста- [c.24]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Такие уравнения полезны как в методах решения задач, так и в случаях, когда внутри или на границе области движения некоторые функции и функционалы разрывны. Уравнения получаются интегрированием по I соответствующих интегральных (по объему) выражений рассмотренных выше законов сохранения массы, импульсов и энергии либо интегрированием по и по К их дифференциальных выражений Но в принципе более правильно считать такие разностно-интегральные уравнения МСС аксиомами, непосредственно согласованными с основным постулатом, определяющим функционалы, так как, по существу, в них допускается возможность не непрерывных (по х, () решений, т. е. решений замкнутой системы в обоби енных функциях. [c.166]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Если система линейна, в ней невозможны хаотические колеба> тельные явления. Поэтому при проведении опытов по хаотической динамике следует понять природу нелинейностей в изучаемой системе. Чтобы освежить память читателя, напомним, что линейны те системы, в которых выполняется принцип суперпозции. Так, ес-лиА-,(0 ил-2(0 — два допустимых движения некоторой системы, то она линейна, если сумма с, л-,(/) -Ь Сг Х2(0 также является допустимым движением. Другую формулировку принципа суперпозиции легче дать на математическом языке. Предположим, что динамика некоторой физической системы моделируется системой дифференциальных или интегральных уравнений вида [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...