Типичные семейства векторных полей

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [c.15]

Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей — это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в типичной точке . Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем общего положения в множестве всех негрубых систем. [c.100]

Наряду с известными, обзор включает ряд новых результатов некоторые из них известны авторам из частных сообщений. К ним относятся полное исследование бифуркаций положений равновесия в типичных двупараметрических семействах векторных полей на плоскости с двумя пересекающимися инвариантными прямыми (так называемая редуцированная задача [c.10]

Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей v -, г). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. ЭтО" разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность. [c.18]

В типичных локальных v-параметрических семействах векторных полей встречаются только типичные ростки рассматриваемого класса. [c.19]

Теорема [43]). В типичных двупараметрических семействах векторных полей встречаются лишь такие ростки с двумя нулевыми собственными значениями в особой точке, ограничение которых на центральное многообразие в подходящих координатах имеет вид, указанный в таблице 1 (строка 5). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице главным деформациям и версальны. [c.26]

Определяемые в этом параграфе показатели описывают скорость, с которой происходит потеря устойчивости в типичных л -параметрических семействах векторных полей при v 3. [c.39]

Теорема. Типичное [ -параметрическое семейство векторных полей на прямой в окрестности каждой вырожденной особой точки заменой переменных и параметров приводится к одному из главных семейств (20) при v+l jx или к семейству [c.74]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Цель настоящего параграфа — описать (насколько возможно) бифуркации в типичных однопараметрических семействах векторных полей на замкнутых поверхностях, а также структуру бифуркационного множества в функциональном пространстве векторных полей. [c.97]

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Гипотеза (В. И. Арнольд, 1985). В типичном /-параметрическом семействе векторных полей на S [c.107]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Простейшие приложения особые точки типичных векторных полей. Всюду в этом пункте типичные поля или семейства — это поля или семейства из некоторого густого подмножества соответствующего функционального пространства. Векторные поля задаются на области пространства R". [c.15]

Отсюда и до конца второй главы, если не оговорено противное, типичное семейство — это семейство из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве семейств с С -топологией (а — любое число, большее или равное степени полиномиальных векторных полей, задающих главные деформации). [c.20]

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе — паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны. [c.20]

Две чисто мнимых пары. Рассмотрим векторное поле с двумя парами чисто мнимых собственных значений в особой точке О пространства R . Редукции п. 3.4 приводят к следующей задаче изучить бифуркации фазовых портретов в типичных двупараметрических семействах в четверти плоскости 1/ 0 (поле касается осей координат) [c.31]

Теорема. В типичных трехпараметрических семействах встречаются только такие ростки векторных полей в особой точке, лежащие на границе области устойчивости, которые принадлежат одному из классов, перечисленных в таблице 3 Если росток устойчив, он мягко теряет устойчивость, если не- [c.40]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Нелокальные бифуркации на сфере однопараметрический случай. Начнем с определений. Пусть М — двумерная замкнутая гладкая поверхность, —множество С -гладких семейств -гладких векторных полей на М это множество состоит из С -отображений отрезка /=[0, 1]Эе в пространство уЛ(М). Семейство типично, если оно принадлежит множеству второй категории Бэра в [c.99]

В типичных однопараметрических семействах векторных полей встречаются негиперболические особые точки двух типов одно собственное значение особой точки равно нулю или два чисто мнимых, отличных от нуля, а остальные не лежат на мни-1КрЙ оси. В этом параграфе описаны версальные деформации ТД1СИХ ростков и обсуждается явление мягкой и жесткой потери устрйчивости положения равновесия. [c.20]

Гипотеза. В типичных двупараметрических семействах векторных полей, в которых происходит потеря устойчивости предельным циклом с прохождением через сильный резонанс, встречаются векторные поля с йетривиальными гиперболическими множествами. Соответствующие им значения параметра подходят к критическим узкими языками. [c.61]

Теорема. В типичных гладких конечнопараметрических семействах векторных полей на плоскости встречаются только такие ростки седловых резонансных векторных полей (резонанс pli+qK2=0, р и q натуральны и взаимно просты), которые гладко орбитально эквивалентны ростку [c.73]

Теорема ([8], [9]). В типичных однопараметрических семействах векторных полей на плоскости возможны лишь следующие полулокальные бифуркации [c.98]

Список вырождений. В. типичных двупараметрических семействах общего положения встречаются ростки векторных полей в особой точке, имеющие двукратное вырождения линейной части только одного из следующих Tjlex типов [c.26]

Теорема. В типичных двупараметрических семействах 52-эквивариантных векторных полей на плоскости встречаются [c.28]

В типичных двупараметрических семействах ростков Zg-эквивариантных векторных полей в нуле встречаются только такие ростки с нильпотентной линейной частью, которые эквивалентны одному из невырожденных главных полей. [c.58]

Следствие. Пусть v — росток гладкого векторного поля в особой точке с собственным значением О и одномерным центральным многообразием. Пусть кратность этой особой точки равна j,+ l, и вещественные части ее ненулевых собственных значений образует нерезонансный набор. Росток с такими свойствами встречается в типичном семействе, зависящем не менее чем от р, параметров. Деформация такого ростка в типичном гладком ( j,+1)-параметрическом семействе конечногладко эквивалентна главной [c.75]

Условия типичности. Предположим, что семейство е содержит векторное поле, отвечающееситуациирис. 32. Натранс-версали I к циклу с мультипликатором +1 определено отображение последования /о векторного поля Vq. Пусть х — локальная координата.на I такая, что 1) циклу соответствует х=0 [c.102]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

В [84] построено однопараметрическое семейство U векторных полей на бутылке Клейна и двумерном торе, в котором, происходит катастрофа голубого неба, причем на бутылке Клейна семейство является типичным, а поле Vi — квазиобщим оно имеет двукратный предельный цикл L, а все остальные-траектории— двоякоасимптотические к нему (при е=1 на бу- [c.105]

Доказательство или опровержение приведенных утверждений, безусловно, необходимый этап при рассмотрении нелокальных бифуркаций в типичных/-параметрических семействах. Пока известно мало даже для семейств, состоящих из грубых и ква-зиобщих векторных полей, пункты 3) и 4) (а только они для подобных семейств нетривиальны) не доказаны. Насколько нам известно, при 1=2 рассматривались лишь две нелокальные бифуркации. [c.108]

Теорема (Б. А. Хесин [88], [89]). Типичное трехпарамет-рическое семейство градиентных систем векторных полей на плоскости, имеющее при нулевом значении параметра особую гочку 04, локально эквивалентно семейству градиентов функций одного из семейств [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...