Области устойчивости и неустойчивости

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Границы областей динамической неустойчивости. Границам областей устойчивости и неустойчивости соответствуют кратные корни Х1 = Ха = 1 или Х = Хг = — 1. В обоих случаях этим корням отвечают периодические решения соответственно с периодами Т и 2Т. Два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два решения разного периода — область устойчивости. [c.462]

Составляются общие уравнения малых колебаний ротора около стационарного его движения, соответствующего вращению с постоянной скоростью. При составлении этих уравнений можно всегда принимать, что неуравновешенные массы на всем роторе отсутствуют. Исследованием полученных таким образом уравнений выясняются области устойчивости и неустойчивости соответствующего стационарного движения — вращения вала с постоянной угловой скоростью. [c.46]

Положение областей устойчивости и неустойчивости по отношению к границе, т. е. сверху или снизу, вполне очевидно. [c.153]

Мы рассмотрели случай, когда частота пульсирующей силы в два раза больше частоты свободных колебаний, и обнаружили, что соответствующий режим движения неустойчив. Однако раскачка маятника, другими словами, неустойчивые режимы его движения возможны и при других соотношениях между частотами со и со . Математический анализ позволит нам в дальнейшем установить целые области устойчивых и неустойчивых режимов движения [c.35]

В дальнейшем, рассматривая вопросы устойчивости виброударных систем, мы увидим, что существуют целые области устойчивых и неустойчивых режимов движения и что без знания картины устойчивости системы нельзя правильно ее рассчитать и спроектировать. [c.41]

Пытаясь исследовать устойчивость этого режима движения, мы выясним следующее. Если в результате начального возмущения скорость шарика увеличится, то он будет в дальнейшем двигаться так, как будто невозмущенное движение устойчиво. Если в результате начального возмущения скорость шарика уменьшится, то он будет в дальнейшем двигаться так, будто невозмущенное движение неустойчиво. Этот режим движения граничный, он совпадает с линией, разделяющей области устойчивых и неустойчивых режимов. Так как возмущения, воздействующие на любую реальную систему, могут носить совершенно случайный характер, то естественно, что такой граничный режим следует отнести к неустойчивым. Более того, нетрудно себе представить, что целое множество режимов движения, тесно примыкающих к граничному, может оказаться неустойчивым хотя бы по той простой причине, что значения физических величин, принимаемых в расчет, нам известны лишь приближенно. [c.42]

Совокупности тех точек карты устойчивости, для которых имеет место равенство а = образуют новые границы, разделяющие области устойчивых и неустойчивых решений при наличии трения. [c.198]

Таким образом, в случае жидкостного трения, точно так же как и в случае отсутствия трения, резонанс возникает при значениях параметров, соответствующих границам между областями устойчивых и неустойчивых решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.5). [c.201]

Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот вопрос хорошо изучен, причем окончательные результаты пред- [c.273]

Определение граничных значений N, разделяющих таким путем области устойчивости и неустойчивости, оказывается трудоемким и недостаточно точным. [c.13]

Области устойчивости и неустойчивости решений (15) в плоскости ((o/ d Xj/ ) при mj/mi = V и 8о = 0,1 показаны на рис. 5. Условными границами раздела областей устойчивости и неустойчивости при жесткой подвеске ]> 1) можно считать прямую со = 2 -1, а при мягкой С 1) — прямую со = 2Я-2. Зона, [c.48]

Рис. 4.67. Области устойчивой и неустойчивой работы гидравлической следящей системы в зависимости от давления питания системы

Коэффициенты жесткости и демпфирования опоры (подшипника скольжения) зависят от частоты вращения вала со, поскольку вместе с (о меняется толщина масляной пленки. Возникает задача о границах устойчивости — частотах вращения вала, разделяющих области устойчивого и неустойчивого состояний. Необходимое условие, которому должна удовлетворять граница устойчивости (о = ш, заключается в том, что при (О = со существует вещественный корень характеристического уравнения задачи Д (р) = 0. При этом удовлетворяются одновременно оба уравнения (22). На основании второго уравнения (22) а (р) = (р (со), где [c.528]

Трудность постановки задач устойчивости связана с тем, что существуют разные критерии устойчивости тел. В случае произвольного вида нагружения можно получить разные критические нагрузки в зависимости от используемого критерия. В случае же действия консервативных внешних сил области устойчивости и неустойчивости равновесных состояний и квазистатических движений отделяются друг от друга с помощью критериев, которые формулируются на основе характеристик равновесных конфигураций, полученных при решении основной задачи о нелинейном деформировании тела. [c.8]

Областям устойчивого и неустойчивого состояний аустенита в хромомарганцевых низкоуглеродистых сталях соответствуют температуры 1100 и 20° С (рис. 103). Выше линии DE стали имеют структуру а-твердого раствора (феррита), ниже линий АВ — структуру 7-твердого раствора (аустенита). Между этими линиями находится двухфазная область а у. [c.166]

На рис. 116 изображена типичная кривая р = р (1 ) при Я == 1 и / о = 0,1, построенная на основе уравнения (6.25) (кривая I). Там же приведена нейтральная кривая П, разделяющая области устойчивости и неустойчивости, и кривая П1, отвечающая идеально-хрупкому разрушению. [c.318]

Итак, собственные значения определяют устойчивость системы. Области устойчивости и неустойчивости показаны на рис. 12. Частота со является корнем уравнения [c.66]

Рис. 3. Области устойчивости и неустойчивости (заштрихованы) спутника при отсутствии демпфирования, показанные на плоскости параметров.

Области устойчивости и неустойчивости, построенные исходя из знаков корней уравнения (7), показаны на рис. 3. Эта картина совпадает с картиной, ранее представленной на рис. 3 работы [2] однако настоящая картина имеет ту отличительную особенность, что здесь показаны все области неустойчивости на некотором конечном промежутке, именно при Уа 4. [c.95]

Центробежные компрессоры отличаются большой быстроходностью, малыми габаритами и весом. В каждом компрессоре между давлением сжатия, подачей и числом оборотов имеется определенная зависимость, называемая характеристикой. Такая характеристическая кривая, полученная экспериментально, представлена на фиг. 163. Через вершины характеристик по оборотам проведена линия помпажа, разделяющая области устойчивой и неустойчивой работы компрессора. Правее линии помпажа компрессор работает устойчиво. На левой части от линии помпажа режим работы компрессора неустойчив происходит пульсация, возникают сильные колебания давлений значительной амплитуды и низкой частоты, сопровождаемые низким звуком. На таком режиме работать недопустимо. С увеличением производительности давление р2 падает. Если количество расходуемого газа определяется на диаграмме точкой, лежащей на линии помпажа, то для пред- [c.351]

Рис. 6-7. Диаграмма для определения областей устойчивого и неустойчивого состояния дуги.

Внутренняя положительная обратная связь возникает в том случае, когда тепло выходящих продуктов адиабатического реактора используется для подогрева реагентов. Небольшое изменение скорости реакции приводит к увеличению температуры на выходе реактора, после этого более нагретый продукт проходит через теплообменник, еще больше нагревая реагенты, что в свою очередь приводит к дополнительному увеличению скорости реакции. В [Л. 24] проанализировано управление аммиачным реактором и показано, как определять области устойчивого и неустойчивого режимов его работы. Подобное исследование системы реактор — теплообменник было проведено также и в [Л. 25]. [c.435]

Диаграмма качества регулирования разбивается линией, соответствующей Я = 1, на области устойчивости и неустойчивости, причем в области неустойчивости наблюдаются только незатухающие автоколебания. Апериодическая же неустойчивость в рассматриваемых системах может наблюдаться только при отрицательности последнего коэффициента характеристического уравнения. [c.119]

В книге изложена разработанная автором теория газодинамической устойчивости компрессоров. Она позволяет объяснить явления, происходящие при помпаже, оценить влияние различных факторов на области устойчивости и неустойчивости, определить амплитуду и период колебаний, указать методы подавления пом-пажа. Теория позволяет предсказывать новые явления и хорошо подтверждается экспериментами. [c.2]

ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ [c.57]

На рис. 15 изображен примерный вид кривой, разделяющей области устойчивости и неустойчивости (последняя заштрихована) при заданном значеннн R /Ri. Правая ветвь кривой, соответ-я, [c.146]

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б > О, движение устойчиво, а при е = О и б < О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240]

Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории так называемых квазихрупких трещин, когда наибольший размер области необратимых деформаций в рассматриваемой точке контура трещины мал по сравнению с длиной трещины и расстоянием этой точки до ближайшей границы тела. Простейший вариант этого условия на основе физических и математических идей А. А. Гриффитса [347, 348], Г. Нейбера [190] и Г. М. Вестергарда [432, 433] был предложен Дж. Р. Ир вином [354—358]. Он заключается в том, что коэффициент при особенности в выражении для напряжений в рассматриваемой точке в момент локального разрушения (и продвижения трещины в этой точке) считается равным некоторой постоянной материала при этом напряжения вычисляются в предположении, что тело идеально yrapyroie. По1Скольку указанный коэффициент представляет собой некоторую функцию внешних нагрузок, длины трещины и геометрии тела, находимую ш решения упругой задачи в целом, условие локального разрушения на (контуре трещины в принципе позволяет определить е развитие и, л частности, отыскать ту комбинацию внешних нагрузож, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости (подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах). [c.16]

Первый член правой части выражения (9) с угловой частотой шв описывает субгармонические колебания порядка V2, обусловленные изменением осевой упругой характеристики подшипника вследствие изменения конфигурации шариков при их движении. Второй член с угловой скоростью и описывает вынужденные колебания, обусловленные наклоном внутреннего кольца подшипника. Для субгармонических колебаний построены области неустойчивости решений уравнения Матье. Установлено, что с увеличением числа шариков область неустойчивости существенно сужаетсЯч Вынужденные колебания, возникающие вследствие наклона канавки внутреннего кольца по отношению к валу, и субгармонические колебания порядка Va, обусловленные движением шариков, вызывают биения на границе областей устойчивости и неустойчивости, когда обе угловые частоты близки одна к другой (а о)в). Результаты теоретических решений проверены и подтверждены экспериментально. [c.11]

Из уравнения (10) видно, что при 2и>в к возникают биения. Области устойчивости и неустойчивости для уравнения (10) находятся как области устойчивости уравнения Хилла [20]. На границах областей устойчивости и неустойчивости возникают биения, которые состоят из гармонических колебаний, обусловленных движением шариков, и гармонических колебаний, обусловленных наклоном внешнего и внутреннего колец. Один период биений равен времени двух оборотов сепаратора с увеличением числа шариков область неустойчивости гармонических колебаний сужается. Гармонические осевые колебания, обусловленные наклоном кольца, оказываются всегда устойчивыми, но при 2сов = [возникает резонанс, что проверено экспериментально. [c.11]

Явление нелинейной резонансной вибрационной устойчивости и перемешивания многофазных сред в слабых и сильных гравитационных полях. В качестве модели рассмотрим многофазную среду жидкость—пузырьки—твердые частицы, помещенную в цилиндрический бак, при вертикальных вибрационных воздействиях. Исследование, проведенное с помощью нэтоженной выше методики, а также серия целенаправленных экспериментов [5, 10, 13] позволили выявить устойчивый режим дви- кения, при котором часть пузырьков локализуется в определенной области течения, образуя газовое скопление, а другие мелкодисперсные элементы совершают чрезвычайно интенсивное периодическое движение, способствующее быстрому перемешиванию среды. Механизм этого явления раскрыт в работах [5, 10, 13], в которых показано, что оно обусловлено возникновением в среде перемещающихся вследствие изменения динамических характеристик системы областей устойчивого и неустойчивого равновесия мелкодисперсных элементов среды. Это явление в земных условиях неразрывно связано с резонансными колебаниями вибрационно-стабилизированных внутри среды локальных газовых скоплений, а в условиях ослабленной гравитации оно может осуществляться с резонансными колебаниями и разрушением свободной поверхности объема, занятого многофазной средой [c.113]

Возможно, что границы областей устойчивости и неустойчивости не зависят от характера распределения v (t). Такой результат соответствовал бы принципам классической теории устойчивости, однако в данном случае он является, по-видимому, маловероятным. Вторая возможность заключается в существовании наиболее неблагоприятного распределения р (v), которое приводит к минимальным размерам областей устойчивости. При этом необходимо сформулировать принцип минимальности или, точнее, антиоптимальности решения и создать алгоритм отыскания асимптотической границы. [c.153]

Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксовой волны, их относительная скорость равна 2v , так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. 5.1 в случае модуляционной неустойчивости. Действие внешней обратной связи можно учесть, взяв соответствующие граничные условия на концах световода [23]. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Расс.мотрим небольшое возмущение уровня непрерывного сигнала, затухающее как ехр(-Лг), где комплексный параметр Л можно определить, линеаризуя уравнения (9.2.12) и (9.2.13). Если действительная часть Л положительна, возмущение затухает экспоненциально с релаксационными колебаниями частотой = 1т(Л)/2л. Если же действительная часть h отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. На рис. 9.4 показаны области устойчивости и неустойчивости при наличии обратной связи в зависимости от фактора усиления tj L, определенного [c.266]

На рис. 4.2 в коорди 1атах ф и х построена картина областей устойчивости и неустойчивости системы. Область устойчивости системы ограничена отрезком прямой ф = х и нижней правой [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...