ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Области устойчивости и неустойчивости из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " В предыдущем параграфе было показано, что поведение конвективных возмущений при периодической модуляции параметра определяется системами уравнений (33.9) или (33.18), либо эквивалентным им уравнением второго порядка (33.19). Эти уравнения содержат четыре независимых параметра R, п, и т). [c.242] Одна из особенностей динамической системы, описываемой уравнением (33.19), состоит в большом затухании параметр затухания е имеет минимум при п=1, причем emin=l- Для параметрического возбуждения при этом требуются, вообще i o-воря, конечные амплитуды модуляции. По этой причине методы малого параметра, основанные на разложениях по амплитуде, оказываются мало пригодными для решения задачи. [c.243] Это соотношение дает связь между числом Рэлея R, коэффициентом трения е, а также частотой и амплитудой модуляции со и г. При фиксированных е и R на плоскости амплитуда — частота можно построить границы областей устойчивости. [c.244] В области —оо с К 1 при отсутствии модуляции (г=0) равновесие устойчиво эти значения К соответствуют произвольному подогреву сверху или подогреву снизу с докритическим градиентом. При наличии модуляции (г Ф 0) появляются области параметрической неустойчивости, изображенные на рис. 87, а. При малых г равновесие устойчиво при любых частотах. Неустойчивость появляется при конечном пороговом значении параметра возбуждения г = Г1 = Зе —(К—1). При г Г1 имеются интервалы частот, соответствующие устойчивости и неустойчивости. [c.246] В области К 1 в статических условиях равновесие неустойчиво (градиент температуры превосходит критический). При наличии модуляции появляются области стабилизации равновесия. [c.246] Над этой областью расположена полоса устойчивости, ширина которой (при больших 1/о)) равна Г1 — Гг. С ростом Н полоса устойчивости сужается, так как Г1 уменьшается, а Гг растет. При К 1 ширина полосы Г] — Гг стремится к нулю. [c.246] Как видно, имеется аналогия между рассматриваемой конвективной системой и маятником, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания. Как известно, устойчивое нижнее положение маятника может быть сделано неустойчивым, и наоборот, неустойчивое обращенное положение маятника может быть стабилизировано при подходящих значениях параметров модуляции. В нашем случае модуляция параметра также приводит к появлению областей неустойчивости при Н 1 и стабилизации равновесия при К 1. [c.246] Перейдем теперь к рассмотрению условий устойчивости при синусоидальном законе модуляции параметра. Как уже указывалось, в этом случае система амплитудных уравнений может быть решена численно р ]. Для определенности мы будем иметь в виду систему второго порядка (33.18). [c.246] Здесь l, 2 — произвольный постоянные. [c.247] Это уравнение является аналогом уравнения (34.4) в случае прямоугольной модуляции. [c.247] В (33 .18), можно добиться выполнения (с заданной точностью) равенства (34.10) и определить нейтральные значения пара метров. Перебор параметров и численное интегрирование производятся на ЭВМ. [c.248] Очевидно, такой численный метод может быть применен и для отыскания периодических решений систем более высокого порядка. [c.248] Численный метод позволяет определить зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. На рис. 88 представлен пример расчета, дающий зависимость критического значения приведенного числа Рэлея Н от безразмерной амплитуды модуляции Т1 при фиксированных со и п ((о=1, п=3,67). В пределах основной полосы неустойчивости критическое число К возрастает с увеличением т], т. е. имеет место стабилизация. При достаточно больших Т1 (для указанных значений со и п при г 2,7) неустойчивость связана с резонансным параметрическим возбуждением. [c.248] За пределами основной полосы (т] Л ) минимальное критическое число Rm сложным образом зависит от г. Эта зависимость определяется минимизацией по k пороговых значений R/ на границах резонансных полос неустойчивости. Расчеты показывают, что в области резонансных полос устойчивость с ростом ц, в общем, понижается. [c.250] Вернуться к основной статье