Замечание о лагранжевых координатах

При выводе этих уравнений Вольтерра применил оригинальный метод, оказавшийся яркой вехой в развитии математики и механики он первый ввел понятие, вошедшее в науку под термином неголономные координаты (или как их иногда называли, да и сейчас еще некоторые авторы называют — квази-координаты ). Понятие неголономной коор- динаты вытекает, по существу, из того же замечания Лагранжа о связи, выражаемой дифференциалом переменного, являющегося линейной формой дифференциалов координат системы, но не представляющего собой полного дифференциала некоторой функции координат системы в смысле дифференциального исчисления. Вольтерра же называл линейные диф- [c.4]

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291]

Замечание. Изучение движения твердого тела в случае, рассмотренном Лагранжем, можно произвести, основываясь непосредственно на дифференциальных уравнениях Лагранжа второго рода. При этом оказывается, что координаты ф и ф — циклические. Поэтому далее можно применить преобразование Раута ( 122). [c.431]

Экстремальное (стационарное) свойство было замечено Лагранжем. Только что сделанное дополнительное замечание принадлежит Рэлею, который дает ему следующее доказательство, основанное на применении нормальных координат, введенных в 92. Если, пользуясь обозначениями этого параграфа, мы положим [c.238]

Перейдем теперь к мемуару Второй очерк об общем методе в динамике . После вводных замечаний, описывающих общее содержание мемуара, Гамильтон обращается к установлению новой формы уравнений движения системы свободных материальных точек в произвольной криволинейной системе координат gi, дг. 9зп Отправляясь от принципа Даламбера, он устанавливает уравнения Лагранжа и, вводя в них вместо производных Qi, qtf-T qsn новые переменные pi, рг,---, Рзп о формулам [c.12]

Замечания. 1. Из теоремы 6.2 получаем в виде следствия привычные по форме уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах -чЧз [c.184]

Замечание. При рассмотрении переменных Лагранжа и переменных Эйлера мы использовали декартову систему координат. Можно вместо декартовых координат а, Ь, с а х, у, г использовать любые другие координаты. [c.10]

Замечание о лагранжевых координатах. При выводе уравнений Лагранжа были введены понятия обобщенных координат. Эти координаты определяют положение системы в каждый момент времени. Кроме того, при выводе использовалась явная зависимость декартовых координат от обобщенных. Это обстоятельство нельзя забывать при составлении уравнений движения. Несоблюдение этого условия может привести к ошибочным результатам. [c.345]

Замечание о выводе уравнений Эйлера при помощи уравнений Лагранжа второго рода. При выводе уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа второго рода необходимо сначала выбрать обобщенные координаты, определяющие положение твердого тела. В качестве таких координат можно, например, принять углы Эйлера, через которые могут быть выражены декартовы координаты всех точек твердого тела. В главных осях живая сила твердого тела имеет вид [c.398]

Циклические координаты. Другое замечание сделаем, указав на один весьма важный частный случай, при котором интеграл одного или нескольких уравнений Лагранжа легко находится. Если в функции Лагранжа какая-нибудь из координат д не входит, а входит только ее производная то такая координата называется циклической, Ее и ее производную можно из уравнений Лагранжа исключить, и тогда одной координатой будет меньше. Если в функцию [c.531]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое + (г у) = О и два неинтегрируемых). [c.448]

Замечание 3. Если на систему наложены еще неголономные связи q-bd = 0, то, согласно (4.4.10), движение системы в пространстве обобщенных координат удовлетворяет аналогу уравнения Даламбера-Лагранжа [c.231]

Смысл этого замечания состоит в том, чтобы еще раз подчеркнуть, что, производя вычисления в локальных координатах, мы тем не менее получаем результаты, не зависящие от их выбора. Это главное достоинство лагранжева формализма. В частности, требование обращения в нуль величины S F Tfi — R эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа, которое, таким образом, является необходимым условием минимизации L на кривой с. [c.373]

Лагранжа в двух отношениях во-первых, Лагранж рассматривает возможное перемещение, при котором изменяется только одна координата, и, во-вторых, он оперирует непосредственно с Г, а не с (См. замечание в конце тома.) [c.341]

Замечание о выборе координат. Решение, данное выше, может вызвать возражение, состоящее в том, что мы должны использовать все уравнения Лагранжа, хотя в задаче не требуется определять ударный импульс. Есш мы желаем избежать введения в уравнения ударного импульса, то необходимо использовать такие координаты, чтобы вариация только одной из них при постоянном значении другой не меняла течку приложения удара. Если выбранными координатами служат д и 0, то вариация любой из них меняет положение точки А. Но если взять в качестве координат 6 и ординату у точки А, которая ударяется о плоскость, то вариация 0 не будет изменять положение А, так что работа какой-либо силы, действующей в точке А, на соответствующем возможном перемещении не будет входить в уравнение, полученное таким образом. Точно так же, если бы требовалось найти величину ударного импульса в точке А, то мы использовали бы уравнение, полученное варьированием такой координаты, как у, при котором происходит изменение положения точки А в Пространстве. Координаты у и д были названы в п. 403 координатами связи и относительного движения соответственно. Беря в качестве координат / и 0, находим [c.353]

ЗАМЕЧАНИЕ I На самом деле, конечно, аргументация развивается в противоположном направлении мы потому и допустили в функцию Лагранжа только <7 и но не д, д,. .что хотели добиться, чтобы состояние системы определялось только координатами и их первыми производными. Для теорий с высшими производными, о которых мы кратко упомянули, в функцию Лагранжа, естественно, входят и более высокие производные координат. I [c.17]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Если вторые производные входят в функцию Лагранжа линейно с коэффициентами, зависящими лишь от координат (но не от скоростей), то уравнения (2) окажутся все равно второго порядка. Поэтому такие функции Лагранжа тоже не выведут нас за пределы обычной механики. [c.17]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Обратим внимание на разный характер двух членов в (8.6). Первый-ИЗ них включает саму функцию Лагранжа, поэтому обязательно ) перепутывает все степени свободы системы и поэтому может обладать самое большее лишь асимптотической аддитивностью (3). Напротив, второй имеет явную форму суммы по отдельным степеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которого действие инвариантно, затрагивает время, то мы можем надеяться на сохранение лишь асимптотически аддитивной величины, если же преобразование меняет лишь координаты, то сохраняться будет точно аддитивная величина. [c.31]

ЗАМЕЧАНИЕ Надо, однако, сказать, что эта аддитивность — если только функция Лагранжа не имеет специального вида (7) — имеет несколько формальный характер. Дело в том, что хотя импульс (10.2) и представляется а виде суммы импульсов (10.1) отдельных частиц, ио каждый из этих последних может, вообще говоря, зависеть не только от скорости своей> частицы, но н от чужих скоростей (и координат). То же справедливо н для момента. I [c.35]

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце 3.2). Поэтому функция Г -f- П будет определенно-положительной относительно совокупности координат д - и скоростей (см. дока.штельство теоремы Лагранжа 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения ( 2.2). [c.173]

По поводу приведенного положения Лагранжа следует сделать одно существенное замечание, которое, повидимому, ускользнуло от внимания автора Аналитической механики . Замечание это сводится к тому, что рассматриваемые формулы совершенно не подходят, как это можно было бы предположить, ко всем видам линий или координат 5, тс, а,, хотя эти линии и пригодны для определения положений тел. Приведенные формулы хороши только в том случае, когда эти новые линии (подобно первым р, q, г,. . . ) представляют собою расстояния рассматриваемых тел от каких-либо неподвижных центров или от каких-либо неподвижных плоскостей, как это имеет место в случае обычных координат х, у, г, обозначающих расстояние исследуемой точки от трех непо-jiSatKKUX взаимно перпендикулярных илоскостеш. Вообще, можно сказать, что для того, чтобы эти формулы были верными, требуется, чтобы природа линий Д, тг, а,. .. была такова, чтобы их дифференциалы d-к, d ,. . . выражали виртуальные скорости точки приложения сил S, П,. ....т. е. чтобы [c.526]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Последнее замечание следует сделать относительно выбора координат. В предложенных к настоящему времени методах комбинированного анализа используется система координат Эйлера x,t), поскольку она применяется при рассмотрении контрольного объема. Можно применять и другие системы координат, а именно лагранжевы и псевдолагранжевы. Если сравнивать с этими двумя системами, то использование эй.теровых координат приводит к более громоздким расчетам при анализе одномерного нестационарного течения [66]. Как будет показано ниже, метод характеристик и метод узлов на самом деле связывают подходы Эйлера и Лагранжа, и связывающее соотношение можно найти, исходя из понятия поля параметров. Однако в данный момент мы определим различные координаты для одномерной системы. В рамках подхода Эйлера рассматривается постоянный объем в пространстве, и параметры рабочего тела, мгновенно занимающего этот объем, определяются таким образом, что нет необходимости следить за отдельными частицами газа. При использовании подхода Лагранжа рассматриваются отдельные частицы и прослеживаются их траектории в поле течения. В одномерной системе рассматривается слой газа (а не отдельные частицы) и переменная л заменяется другим параметром (скажем, а для данного слоя газа), который равен величине х при = 0, и, следовательно, значение а будет изменяться от частицы (слоя) к частице (слою). Псевдолагран-жева координата т данного слоя газа обозначает массу газа, содержащегося в объеме между этим слоем и исходным слоем при = о, и поэтому каждый слой имеет свое значение т, ко- [c.344]

Примечание. Термин сила в контексте приведённых цитат классиков по своему смыслу отличается от современного применения этого термина. Однако можно отметить уместность его в данном тексте и, что немаловажно, согласованность с понятием о действии. Данную ситуацию можно сравнить (по этому поводу см. замечания Бертрана [51]) с применением термина сила Лагранжем для обозначения ставших общепринятыми понятий обобщённых сил (набор которых составляет ковектор для выбранного вектора обобщённых координат). [c.25]

В самом деле, для нахождения обобщенной реакции, соответствующей координате мы должны вычислить сумму работ реакций связей на перемещении системы, соответствующем приращению этой координаты. Мы заметили выше, что это перемещение будет наверное одним из виртуальных перемещений системы. А мы знаем, что сумма работ реакций идеальных связей на всяком виртуальном перемещении равна нулю. Отсюда и следует, что интересующая нас обобщенная реакция наверное бу-дет равна нулю. Это простое замечание делает понятным, что при решении той или другой проблемы методом обобщенных координат следует подразделять силы, действующие на рассматриваемую систему, на задаваемые (или приложенные) силы и реакции связей (а не на внешние и внутренние силы). Если мы имеем дело с идеальными связями, — а мы знаем, что всегда есть возможность рассматривать связи как идеальные за счет отнесения сил трения к числу задаваемых сил, — то при переходе к обобщенным силам реакции связей автоматически выпадают из наших расчетов. В этом ог-рокное преимущество метода Лагранжа. [c.325]

Это замечание совершенно аналогично отмеченной в замечании 4 к принципу наименьшего действия в 3 возможности добавлять к функции Лагранжа полпую производную любой фушщии координат (и времени) [c.127]

Такая операция может быть проведена бесчисленно различными способами, и любой из них представит нам независимый параметр, время , для построения лагранжева формализма для системы материальных точек. С точки зрения выполнения релятивистской инвариантности и причинности все эти времена равноправны. Чтобы сузить класс времен , удобных для физики, уместно вспомнить, что лагранжев формализм служит основой для получения по теореме Нётер сохраняющихся величин, и что согласно замечанию 2 в 1.5.2 эти величины приобретают особенно простую—аддитивную — форму для тех преобразований симметрии, которые не затрагивают независимой переменной. Чтобы не упустить эту возможную выгоду, надо, очевидно, наложить на выбор семейства гиперповерхностей а то ограничение, чтобы — хотя бы для некоторых преобразований симметрии 4-пространства (т. е. — элементов неоднородной группы Лоренца)—соответствующие преобразования координат Xai X) частиц не затрагивали бы независимую переменную X. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...