Ортогональные проекции Проекции точки

Перспективу конька крыши ВС строят по началу этой прямой —точке N. Для этого в ортогональных проекциях продолжают прямую СВ ё Ь дЬ) до пересечения с картиной в точке N (п п). Полученную точку N строят на перспективе и через нее проводят прямую в точку схода Р. Имея вторичные проекции точек 6 и , отмечают на этой прямой перспективы точек В и О. [c.185]

Рассмотрим построение аксонометрии поверхности второго порядка на примере. Построим прямоугольную аксонометрию отсека параболоида вращения, заданного ортогональными проекциями (рис. 533). Направление проецирования параллельно 5 (5г 81). Повернем прямую 5 так, чтобы она стала параллельной плоскости Пг. Так как ось параболоида параллельна этой плоскости, то поворот отсека поверхности не изменил его проекций. Это дает нам возможность провести проецирующую прямую, касательную к поверхности, параллельно ( г х ). Горизонтальная проекция проецирующей прямой совпадает с горизонтальной осью проекции поверхности на плоскость Пх. Фронтальная проекция будет касательной к фронтальной проекции параболоида. Чтобы найти проекцию линии соприкосновения проецирующей цилиндрической поверхности с заданной поверхностью, следует построить сечение параболоида проецирующей плоскостью (параллельной 5 и, кроме того, перпендикулярной плоскости Па). Это эллипс с большой осью ВС. Его малая ось — отрезок ОЕ — на фронтальную плоскость проецируется в точку >а = Ег. Проведем через точку Оа г Еа прямую параллельно оси фронтальной проекции параболоида в ее пересечении с фронтальной проекцией очерка поверхности найдем точку Аг. Проведенная прямая является фронтальной [c.371]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в какой они располагались на оригинале. При задании кривой ее проекциями необходимо указать по крайней мере проекции одной точки, принадлежащей кривой. Действительно, если на проекциях кривой I (рис. 111) не указать проекции точки А А, А ), то по одним только проекциям I и Г нельзя судить о форме кривой. [c.78]

Не только незамкнутые поверхности невозможно задать проекциями всех принадлежащих им точек, но и ряд замкнутых поверхностей при определенной ориентации их к плоскостям проекций не могут быть определены (заданы) ортогональными проекциями их точек, например, если ось поверхности кольца занимает положение, перпендикулярное к плоскости проекции, то кольцевую поверхность можно задать ее двумя ортогональными проекциями (рис. 118,а), но стоит только перевести ось кольца в наклонное положение, как задание этой поверхности двумя ортогональными проекциями (на те же плоскости проекций) становится невозможным (рис. 118,6). [c.87]

С этой целью на чертеже (в ортогональной проекции) каждой точке придают числовую отметку, которая выражает высоту соответствующей натуральной точки, измеренную указанным на чертеже [c.17]

Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортогональную проекцию А1 точки А на плоскость будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную [c.50]

Такой веревочный многоугольник F можно рассматривать бесконечным множеством способов как ортогональную проекцию на плоскость (которую мы примем за ортографическую плоскость з — О) многогранника g с треугольными гранями. Для этого достаточно принять за вершину многогранника соответствующую каждой отдельно взятой точке М, произвольную точку ЗК перпендикуляра в точке Mi к ортографической плоскости. Тогда, так как точка находится на одной прямой с точками Mi и Mi+i, если мы хотим сохранить это свойство для соответствующих точек поверхности g, точка должна быть определена в плоскости, проектирующей прямую 9№i+i, как точка пересечения этой прямой с перпендикуляром к ортографической плоскости в Р . Этот способ нельзя применять только тогда, когда точки и совпадают но [c.188]

Дифференциальное уравнение герполодии. Отнесем герполодию в ее плоскости t к полярным координатам р, а, имеющим в качестве полюса ортогональную проекцию Oj точки О на и условимся отсчитывать угол а от некоторого ориентированного произвольного неподвижного направления в плоскости г против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора К (нормального к х). [c.175]

Аналогично аксонометрическую ось х (рис. 28,6) делят на такие же равные части. Из точек деления проводят прямые, параллельные оси у, симметрично откладывая на них (от оси х) половину величины хорды, взяв ее размер с ортогональной проекции. Найденные точки соединяют плавной кривой по лекалу, получая проекцию круга в виде эллипса. [c.318]

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Поскольку эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти. [c.13]

Рассматривая рис. 91—94, убеждаемся в справедливости второго свойства параллельного проецирования (см. 17) и для ортогональных проекций. Действительно, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и имеют линии связи, перпендикулярные к соответствующим осям проекций. Справедливым является и обратное утверждение если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, то и сама точка принадлежит изображенной прямой. Об этом судим по проекциям конечных точек отрезков. [c.90]

В некоторых случаях при изображении более сложных, чем точка объектов, пользуются тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций. Полученные таким образом изображения называют ортогональными (прямоугольными) проекциями точки. Условимся называть (рис. 66) плоскость Н — горизонтальной плоскостью проекций, [c.43]

Задайте ортогональными проекциями несколько точек, расположенных [c.92]

Точка А — проецируемая точка пространства точка Ак — перспектива точки А, точка а — основание точки Л (ортогональная проекция точки Л) линия 5Л — проецирующий луч (луч зрения), прямая, проведенная через точку зрения и точку изображаемого предмета линия ЗР — центральный, или главный луч (перпендикуляр к картинной плоскости К, проведенный из точки зрения 5) точка Р — центральная, или главная точка картины точка р — основание главной точки (основание перпендикуляра, опущенного из главной точки на предметную плоскость) 0=ЗР — главное расстояние. [c.167]

Построение начинают с основных контуров здания, контуров стен и кры-щи. Вертикальная прямая ЗL лежит в картинной плоскости и проецируется в действительную величину. Точка Ь расположена на основании картины на расстоянии р1п от Р (указанную величину берут с ортогональных проекций). Через точку Ь проводят прямые в точки и р2, которые ограничивают плоскости стен снизу. Отрезки 2>Ь и р/о на перспективе увеличены в два раза, так как перспективное изображение строится в масштабе 2 1. (В ходе дальнейших построений все отрезки, размеры которых берут с изображений в ортогональных проекциях, на пер- [c.183]

Ортогональные проекции точек-строчными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами о, Ь, с, d,. .. или 1, 2, 3, 4,. ..-на горизонтальной плоскости проекций а, Ь, с, d, . .., 2, 3, 4, . ..-на фронтальной плоскости проекций. [c.7]

Определим видимость прямой ВЕ относительно отсека плоскости Л ВС (треугольника). Следует учесть, что видимость фигур в ортогональных проекциях и аксонометрии может не совпадать (почему ). Для решения задачи в аксонометрии воспользуемся конкурирующими точками, например Н и Т, принадлежащими соответственно прямым ОЕ и ВС. Проведя линию проекционной связи через эти точки, найдем их вторичные проекции. Вторичная горизонтальная проекция прямой НТ параллельна линиям проекционной связи. Ближе к зрителю расположена точка Т, о чем можно судить по положению ее вторичной горизонтальной проекции (см. направление стрелки), следовательно, в точке Н = Т прямая ОЕ невидима. [c.341]

Рассмотрим еще один пример построения аксонометрии по заданному направлению. На рис. 505, а изображен в ортогональных проекциях прямой круговой конус его высота по сравнению с диаметром основания относительно мала. Если построить аксонометрию конуса, заданную, например, такими же осями и показателями искажения, как в примере на рис. 503, то проекция вершины окажется внутри проекции основания и чертеж, естественно, не будет наглядным. [c.354]

Опустив перпендикуляр из точки 5 на плоскость П , получим точку Р, называемую главной точкой картины. Точку Р — ортогональную проекцию главной, точки на основание картины — назовем основанием главной точки. Вообще говоря, ортогональную проекцию на основание картины любой точки, лежащей в картинной плоскости, будем называть основанием этой точки. [c.375]

Если перспективные проекции строятся по ортогональным проекциям объекта, то имеет место построение перспективы не самого здания или сооружения, а как бы его модели, уменьшенной в соответствии с масштабом ортогональных проекций. Все измерения, которые в перспективе можно производить, если фигуры лежат в картинной плоскости, будут выполнены с учетом этого масштаба. Поэтому, когда говорят о масштабе перспективы, имеется в виду масштаб тех ортогональных проекций, по которым она выполнена. [c.437]

Аналогичная задача в ортогональных проекциях показана на рис. 673. Построим горизонтальную проекцию тени от прямой а на плоскости земли и отметим точку/, в которой она пересекается с вертикальной гранью первой ступени. На этой грани тень проходит через точки 1 к 2 параллельно а. Горизонтальная проекция тени от а на горизонтальной грани второй ступени является продолжением горизонтальной проекции тени от той же прямой на землю (см. /194/), фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости грани (см. /15/). Построим мнимую тень (D ) от точки D на горизонтальную грань первой ступени и соединим ее с точкой А. Построенная прямая представляет собой тень от прямой Ь. Отметим точку 3 пересечения тени A (D ) с вертикальной гранью второй ступени и найдем мнимую тень (О ) точки D на той же грани. Тень построена с помощью обратного луча. Тень от прямой Ь на вертикальной грани второй ступени проходит через точки (D ) и 3. Отметим точку 4, в которой тень пересекается с горизонтальной гранью второй ступени. По этой грани тень от прямой Ь проходит параллельно А —3 вплоть до точки 8, от которой переходит на вертикальную грань третьей ступени. Построив точку 5, проведем тень от прямой Ь на площадке, которая ограничивается тенью от точки D. Через точку D проходит тень от прямой е параллельно самой прямой. С плоскостью стены она пересекается в точке 6, через которую проходит тень от прямой е на плоскости стены (каково ее направление ). [c.468]

Эпюр точки. Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций — вертикальную П2 и горизонтальную 1X1 и точку А, не инцидентную этим плоскостям (рис. 55). Примем направления проецирования )-иП1 и Чтобы построить проекцию точки А на П2, проведем через точку проецирующую прямую, параллельную 32, И отметим точку А2 ее пересечения с этой плоскостью. Плоскость П2 назовем фронтальной плоскостью проекций, а точку А 2 — фронтальной проекцией точки А. Плоскость П, называется горизонтальной плоскостью проекций. Проведя проецирующую прямую через А параллельно в ее пересечении с П получим горизонтальную проекцию точки А. Проекции точки получены в результате ортогонального (прямоугольного) проецирования, поэтому они называются ортогональными проекциями. [c.26]

Определения и понятия. Линию будем рассматривать кинематически — как результат непрерывного перемещения точки в пространстве. Кривые линии делятся на плоские и пространственные. В первом случае все точки кривой инцидентны некоторой плоскости, во. втором — ие инцидентны. Ортогональные проекции всех точек кривой расположены в проекционной связи, поэтому эпюром кривой является эпюр множества ее точек. Одна или несколько точек кривой могут быть несобственными, поэтому при параллельном проецировании их нельзя изобразить. Часто на эпюре изображается не вся кривая, а только ее дуга. [c.67]

Цилиндр вращения (от греч. иуНпс1г08 — валик). Умение использовать геометрическое тело или его поверхность при конструировании предполагает умение различать проекции крайних образующих — АВ, СО, ЕР и ОН, ограничивающих его очертания на плоскостях проекций, в данном случае на фронтальной и профильной, а также любой другой образующей, например КЕ (рис. 4.3, а) умение строить проекции ортогональной сети, образованной производящими линиями — прямой и окружностью (рис. 4.3,6), и на ее основе — сквозных прямоугольного (рис. 4.3,в) и треугольного (рис. 4.3,г) отверстий и при необходимости уметь строить проекции точек, заданных одной проекцией, в данных примерах фронтальной А2 и профильной Вз (рис. 4.3,< ), а также сечения плоскостью, наклонной к оси цилиндра — эллипса, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая — зависит от угла а (рис. 4.3, е). При неполном плоском сечении его нужно дополнять до полного, как [c.86]

Среди инвариантных свойств ортогонального проецирования находим (Ф с 7)А(7 i 7г, ) => Ф С т. е., если фигура Ф принадлежит поверхности у i плоскости тг,, то ортогональная проекция Ф на эту плоскость принадлежит следу поверхности h y (см. 6, свойство 2 г). Поэтому, если принять за вспомогательную секущую поверхность jj I п, (или ТГ2 ), то линии rrij и rij пересечения этой поверхности с поверхностями а и /3 будут иметь горизонтальные (или фронтальные) проекции m j С hoy и n j С hoy, (m j с у. и n j с [q т. е. решение подчас сложной задачи на построение линии пересечения поверхностей а и (3 мы заменяем решением двух простейших задач 1) определить линию пересечения проецирующей поверхности jj с поверхностью а 2) определить линию пересечения той же поверхности jj с поверхностью р. Очевидно, что каждая из этих задач сводится к построению второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна из ее проекций. Решение последней задачи состоит из многократного определения недостающей проекции точки, принадлежащей поверхности, т. е. сводится к решению позиционной задачи второго вида АЕ а (см. 40). [c.127]

Выберем новую плоскость проекций П4 П и сохраним за ней название фронтальной плоскости проекций. Условимся называть проекционную систему X = П1ПП7 старой, а проекционную систему Xi = П1ПП4 новой системой, Х - новая ось проекций. Построим ортогональные проекции этой же точки A(AiA4) в новой системе и укажем её координаты (yi, Zi). Заметим, что АА) = Z = Z , т.е. при такой замене фронтальной плоскости проекций П2 на новую фронтальную плоскость проекций П4 высота точки не меняется. Это естественно, т.к. плоскость П] и объект А не изменили своего относительного положения. Здесь и в дальнейшем новые фронтальные плоскости проекций бу- [c.102]

Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортогональную проекцию А] точки А на плоскость Hi будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную проекцию Аг точки А на плоскость П2 -фронтальной проекцией точки А. Прямые AAi и AAj, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций (AAiUTi, АА2-Ш2), называются проецирующими прямыми (АА) - горизонтально проецирующая прямая. АА2 -фронтально проецирующая прямаяУ Прямая пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Её обозначают буквой X. [c.19]

Таким образом, радиальные скорости по двум радиусам, проведенным из фокусов, находятся в том же отношении, как и сами радиусы. Следовательно, известно отношение ортогональных проекций скорости точки М. на оба радиуса, а потому направление этой скорости находится него-средственно. [c.57]

Рис, 13.51. Влияние блока на матрицу (на второй кваэистолбец матрицы N )з а) влияние поворота конца О элемента (01) относительно от Х1, аксонометрия б) то же, ортогональная проекция на плоскость Х2Хц в) влияние поворота конца 0 элемента (01) относительно оси х , аксонометрия г) тоже, ортогональная проекция на плоскость х Хх влияние поворота конца 0 элемента (01) относительно оси хз, аксонометрия е) то же ортогональная про кция на плоскость ХхХ2, [c.359]

В качестве примера на рис. 26 в верхнем ряду приведены ортогональные проекции плоских фигур, лежащих в основании многогранников, с буквенным к, т, п) обозначением размеров. Вниз по вертикали под каждым изображением, (а, б, в, г) по аксонометрическим осям X, у построены изометрические (I), диметрические (II) и фронтальные (III) проекции этих фигур. Наиболее наглядное представление о предмете дает диметрическая проекция. Для проведения ее осей (рис. 27) через произвольно взятую точку О перпендикулярно к оси z проводят горизонтальную линию и откладывают на ней вправо от точки О (левая система координат) восемь равных произвольно взятых отрезков и через конец восьмого отрезка (точку а) проводят вверх прямую, параллельную оси z, на которой откладывают вниз один такой же отрезок (аб) и семь таких же отрезков вверх от точки а. Соединяют точки 6 и О прямой линией. Ее продолжение является диметрической осью у, а продолжение прямой, соединяющей точки О и б, — осью х. При построении осей х и у в диметрической проекции (без применения транспортира) исходят из приближенных значений tg7° = /8 и tg4r = 7/8 [c.318]

Специальный тип колебаний, представляемый этой формулой, имеет фундаментальное значение. Такое колебание называется гармоническим или (иногда) простым . Для наилучшего представления этого колебания вообразим движение геометрической точки Q, описывающей с постоянной угловохг скоростью п окружность радиуса а. Ортогональная проекция Р точки Q на неподвижный диаметр АОА будет двигаться, следуя в точности формуле (2), при условии, что движение началось в соответственный момент времени. Угол п1- -е (=АО0) называется фазой , а величины а и е называются соответственно амплитудой и начальной фазой . Промежуток времени 2л/п между двумя последовательными прохождениями в одном направлении через начало координат называется периодом . В акустике, где нам приходится иметь дело с очень быстрыми колебаниями, принято вместо периода указывать обратную ему величину— частоту М, т. е. число полных колебаний в секунду имеем [c.23]

При задании плоскости не следами, а другими способами построение ортогональных проекций горизонтали можно начинать только с ее фронтальной проекции. На рис. 103, в показано построение горизонтали в плоскости треугольника АВС аЬс, а Ь с ), проходящей через вершину А (а, а ). Через фронтальную проекцию а вершины проводим фронтальную проекцию горизонтали (ФПГ) параллельно оси ОХ и отмечаем фронтальную проекцию й ее точки Г) на фронтальной проекции 1Ь с 1 противолежащей стороны ВС трбугольника. Из точки й опускаем перпендикуляр на ось ОХ и находим горизонтальную проекцию <1 на проекции Ьс] этой стороны. Соединив точки а и с1 прямой, получаем горизонтальную проекцию 1аё] горизонтали (ГПГ). [c.100]

Построение аксонометрической проекции призмы. Для удобства построения аксонометрическую ось ОХ совместим с задним ребром нижнего основания, ось 0 — с осью симметрии этого основания, а ось 02 расположим в задней грани призмы (рис. 121, е), т. е. несколько отойдем от расположения осей проекций на ортогональном чертеже. Изображение строим в прямоугольной диметрической проекции. Наметив аксонометрические оси, строим аксонометрическую проекцию нижнего основания АВС по правилам, изложенным в 19. На оси ОХ симметрично началу координат О откладьшаем размер стороны основания (треугольника), взятый с ортогонального. чертежа, а вдоль оси О У — половину его высоты (ув/2). Полученные аксонометрические проекции точек А, В и С вершин соединяем прямыми и из них.проводим вертикальные прямые параллельно оси 02 (рис. 121, г). На вертикальных прямых откладываем длину боковых ребер призмы (ее высоту). Соединяя конечные точки А , В , С прямыми, получаем аксонометрическую проекцию верхнего основания. Изображения ребер обводим сплошными основными линиями (рис. 121, д). [c.118]

Пусть заданы ортогональные проекции точки Al—ai и а ь горизонтальный след картины Кн (картина К перпендикулярна к плоскости Я) и центр проецирования S (рис. 199). Из точкиS проводим луч в точку Л] (oiu i) (проекции его Sai и S a i). В пересечении с картиной получаем перспективу точки Л. [c.173]

Для этого в ортогональных проекциях находят точки схода Pi и Р2 параллельных прямых, проводя из горизонтальной проекции центра проецирования лучи SP.I и Sp2, параллельные соответственно проекциям a bi, e di и bi6i, aidi до пересечения с картинной плоскостью. Полученные точки Pi и Р2 переносят на линию горизонта hh перспективного чертежа, откладывая вправо и влево от Р отрезки, равные pPi и рр2. [c.175]

На рис. 289, а показана перспектива горизонтального отрезка АВ. Требуется разделить его перспективу на части, соответствующие делению его ортогональной проекщ1и аЬ. Проведем через один из концов отрезка прямую, параллельную линии горизонта, и перенесем на нее деления с ортогональной проекции отрезка. Через соответственные точки Ьи В другого конца отрезка проводим прямую до пересечения с линией горизонта в точке V. Прямые, проведенные через точки горизонтального отрезка аЬ и точку V, разделят перспективу отрезка в данном отношении. На рис. 289,6 приведена перспектива наклонного отрезка прямой. Перспективу отрезка общего положения можно разделить на пропорциональные части двумя способами. Можно, пользуясь предыдущим приемом, разделить сначала перспективу горизонтальной проекции отрезка, а затем перенести полученные точки вертикальными прямыми на перспективу отрезка. Можно применить и другой способ-построить точку схода перспективы данной прямой и на горизонтали, проведенной через эту точку схода, определить точку центр соответствия. [c.218]

Один из приемов построения перспективы отсека параболоида вращения с вертикальной осью показан на рис. 619. Пусть заданы ортогональные проекции параболоида, известны расположение картинной плоскости (прямая к — основание картины) и точки зрения (точка 5). Известны точка 51 и высота точки 5 над предметной плоскостью. Заменим плоскость Па наПд, расположив новую плоскость параллельно плоскости, проходящей через ось параболоида и точку 5. Проведя новую фронтальную проекцию крайней проецирующей прямой касательной к поверхности, построим через точку касания Л 4 проекцию линии соприкосновения параболоида и проецирующей поверхности. Эта проекция (в натуре — парабола) представляет собой прямую, проходящую через точку А 4 параллельно оси параболоида (почему ). Дальнейшие построения (на чертеже не показанные) сводятся к нахождению перспективы плоской фигуры (параболы), лежащей в вертикальной плоскости. Конечный результат построений показан на рис. 620. [c.429]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...