Описание движения в эйлеровых координатах

Описание движения в эйлеровых координатах [c.30]

Анализ движения элемента жидкости. Важным моментом в описании движения жидких частиц является допущение о непрерывности функций, задающих поле скорости в эйлеровых координатах. Именно это обстоятельство позволило полностью охарактеризовать движение в малой окрестности жидкой частицы. Согласно кинематической теореме, независимо установленной в работах О.Коши, Д.Стокса и Г.Гельмгольца [250], изменение, которое претерпевает бесконечно малый объем жидкости с центром в точке Р за время Л, состоит из наложения трех типов движения, а именно [c.24]

Различие между эйлеровой и лагранжевой системами отсчета можно проиллюстрировать на примере описания движения материальной частицы жидкости, текущей в некотором русле относительно неподвижных берегов (рис. 5.2). Пусть оси Оху связаны с берегами неподвижно, а начальное положение движущейся частицы А совпадает с геометрической точкой Ао (. о. о)- При ламинарном течении со скоростью V положение точки А относительно осей Оху определяется координатами j/= i/o, л =A o-fJ у dt, тогда как лагранжевы [c.97]

Запись параметров движения сплошной среды в пространственных координатах , назьшается эйлеровым (пространственным) описанием движения. Например, с использованием (1.2.9), вектор перемещения [c.24]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Ниже дается описание комбинированной схемы численного решения уравнений движения пузырьковой жидкости в деформируемых трубах и приводятся результаты расчетов. В отличие от предшествующих параграфов главы используются эйлеровы координаты. Анализируется влияние динамики газовых пузырьков при изменении со на колебания жидкости. [c.143]

В предыдущих главах мы все время пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода поток несжимаемой жидкости (которую мы только И будем рассматривать в настоящей главе) в момент I характеризуется полем скорости и (ЛГ, ), т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках X = (Хь Хг, Хз) пространства (в настоящей главе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно, как правило, обозна чать координаты через а не через Хи как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью (1.9)) при этом позволяют (во всяком случае, в принципе) определить значения переменных Эйлера и(Х, 1) в любой момент времени по заданным [c.460]

При описании движения жидкости и газа в 2 использовались эйлеровы координаты. Все величины — скорость и, плотность р и давление р, при таком подходе считаются функциями времени t и координат X, у, z неподвижного пространства, т. е. и, у, р = = Ф t X, у, z). Когда вычисляется полная производная по времени d/dt, нужно учитывать, что х, у, z также зависят от времени, так как положение гидродинамической частицы в пространстве изменяется. Поэтому [c.26]

Шесть независимых величин координаты начала подвижной системы Хо, уо, zo и три эйлеровых угла г 5, д, ф — в совокупности однозначно определяют положение подвижной системы координат относительно неподвижной, а значит, и положение твердого тела. Аналитическое описание движения последнего состоит в задании шести однозначных и непрерывных функций времени [c.46]

Сложное движение твердого тела. Как уже выяснено в 2, для описания движения свободного твердого тела надо задать шесть независимых кинематических уравнений (2.1) три координаты полюса Хо, Уо. 2о и три эйлеровых угла г] , О, ф как функции времени. Радиус-вектор, определяющий движение произвольной точки [c.62]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Остальные уравнения для описания движения пузырьковой жидкости имеют тот же вид, что и в 7. Процедура расчета также аналогична описанной в 7 с Toii лишь разницей, что при v = I (v = 2 n 3) для решения необходимо вычислять эйлерову координату частиц x t, г), испсльзуя второе уравнение (6.9.1). [c.111]

При использовании второго подхода, который носит имя Эйлера, рассматривают все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат (tZ/, X, X ). Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. Другими словами, при ла-гранжевом описании движения среды следят за движением каждой материальной частицы среды, имеющей в начальный момент времени координаты (С ,С ,С ). При эйлеровом описании следят за происходящим в каждой фиксированной точке пространства (ж ,ж ,ж ), через которую в разные моменты времени проходят различные материальные частицы [59, 82. [c.6]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

До сих пор при описании движения сплошной среды использовался способ Эйлера, в котором все величины считаются функциями координат х, у, z неподвижного пространства и времени I. Таким образом, эйлерово описание позволяет следить за движением различных частиц гкидкости в определенных точках пространства. [c.127]

Во всех этих рассмотрениях использовался базис Э, жестка связанный с частицами тела, что отвечает лагранжеву описаник> процесса деформирования. При эйлеровом описании, которое обычно применяется при рассмотрении движения жидкостей, используется лишь одна исходная неподвижная система Э с координатами Xi, Х2, Хз. Такое описание оказывается эффективным, если для выявления общих свойств движения (деформирования) тела достаточно следить не за поведением данной частицы, а за явлениями, происходящими в данной точке пространства. Если в осях Xi, Х2, Хз выделить элементарную неподвижную ячейку пространства в виде, например, координатного параллелепипеда dxi, [c.188]

Зафиксируем текущую координату х, тогда (2.3) определит те точки (с координатами в начальном состоянии ), которые в различные моменты времени приходят в фиксированную точку х. Координаты х и t называются переменными Эйлера. Таким образом, при эйлеровом описании следят за тем, какие точки сплошной среды приходят в данную точку пространства, а в лагранжевом — за движением каждой точки. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...