Теория преобразований Якоби

Теория преобразований Якоби [c.267]

Теория преобразований Якоби 269 [c.269]

Теория преобразований Якоби 271 [c.271]

Теория преобразования Якоби 273 [c.273]

Функциональные определители (9.5) широко применяются в термодинамике для преобразования частных производных. Не вдаваясь о теорию определителей Якоби (см., например, [И]), перечислим некоторые их важные для практического применения свойства. [c.77]

Еще раз сформулируем результаты теории преобразований в виде рецепта , излагающего формализм интегрирования (но пусть те, кто понял лишь этот рецепт, не думают, что они постигли всю теорию Гамильтона — Якоби.) [c.274]

В связи с этой интерпретацией обозначение S, предложенное Гамильтоном для его главной функции, приобретает пророческий смысл. В данной книге мы не придерживаемся этого обозначения. Дело в том, что в современной литературе S-функция интерпретируется в духе теории интегрирования Якоби, т. е, как производящая функция некоторого общего канонического преобразования. Ввиду глубокого различия, существующего между теориями Гамильтона [c.322]

С середины XIX в. начинается интенсивная разработка всего сложного круга механических, математических и физических идей, связанных с вариационными принципами механики, с теорией Гамильтона—Якоби, с учением о преобразованиях. [c.829]

ОНТИ, Москва, 1937.— Уравнения Лагранжа и Гамильтона, теория преобразований, уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие—угол, устойчивость, движения твердого тела, возмущения. [c.440]

Принцип Даламбера. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Канонические преобразования. Теория Гамильтона — Якоби. Особое внимание к геометрии фазового пространства. [c.441]

Гамильтонов формализм сам по себе не обеспечивает безусловного интегрирования динамических систем. У спех этого метода связан прежде всего с использованием аппарата канонических преобразований Якоби, нахождением подходящей системы обобщенных координат и производящей функции, позволяющих определять интегралы движения. В этой ситуации, прежде чем дать решение исследуемой задачи, приведем некоторые сжатые сведения из теории интегрирования гамильтоновых систем [12, 109]. [c.201]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

Возвратимся вновь к теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби и теории канонических преобразований. [c.368]

Лекции дают достаточно глубокий фундамент для изучения специальной теории относительности, квантовой механики и других разделов теоретической физики. В них подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования и уравнение Гамильтона — Якоби. [c.2]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Теория канонических преобразований приводит нас непосредственно к уравнению Гамильтона—Якоби. [c.155]

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

Преобразования, сохраняющие канонические уравнения, называются каноническими преобразованиями . Общая теория этих преобразований принадлежит Якоби. [c.227]

Эта новая точка зрения отражает в новом свете также и смысл инвариантов движения. Эти инварианты являются в действительности инвариантами произвольного канонического преобразования. Инвариантность циркуляции, обсуждавшаяся в гл. VI, п. 8, является характерным свойством канонических преобразований. Более того, она даже определяет эти преобразования. Теорема Лиувилля (см. гл. VI, п. 7) доказывает инвариантность объема, основанную на несжимаемости фазовой жидкости. Эту теорему можно сформулировать в таком виде значение якобиана (функционального детерминанта) преобразования, которое связывает два состояния движения, соответствующие двум произвольным моментам времени, всегда равно I. Это тоже является общим свойством канонических преобразований. Значение якобиана произвольного канонического преобразования равно 1. [c.255]

Для того чтобы показать это, вернемся к развитой ранее теории бесконечно малых преобразований (см. гл. VII, п. 7). Будем считать S-функцию Якоби производящей функцией бесконечной последовательности непрерывно изменя- [c.300]

Уравнение Гамильтона-Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения [c.358]

Теория преобразований Якоби. Рассмотрим консервативную механическую систему с заданной функцией Гамильтона Н, не завнсяще от времени /. Преобразуем механические переменные q , q,u Pi,..-, рп в новую совокупность переменных Qi,..., Qn, Pi, Рц с помо1П,ью некоторого канонического преобразования. При этом наложим лишь одно условие, а именно чтобы в качестве одной из переменных, например Q , была взята функция Н. [c.266]

Эта статья имеет самое близкое отношение к вопросам, рассмотренным в настоящей главе, так как она посвящена главным образом каноническим преобразованиям и скобкам Пуассоиа. Она, несомненно, может служить одним из лучших пособий по этим вопросам. Несмотря на свое название, она, в сущности, содержит теорию Гамильтона —. Якоби (см. гл. 9 нашей книги) лишь в последних параграфах [c.299]

Поверхности 5 = onst замечательным образом связаны с задачей движения. С помощью этой частной производящей функции S невозможно решить канонические уравнения в стиле теории интегрирования Якоби, так как мы не знаем, каким образом функция 5 зависит от переменных Qi. Однако вместо того, чтобы использовать вторую группу уравнений преобразования, можно обратиться к первой группе [c.305]

Якоби (1804—1851). Якоби был одним из немногих математиков, которые сразу поняли необычайную важность и красоту методов Гамильтона. Якоби развил теорию преобразований канонических уравнений, называемую теорией канонических преобразований . Он интепретировал на ос- [c.391]

Как ясно из предшествовавшего изложения, существует внутренняя связь между аналитической динамикой Гамильтона—Якоби и общей теорией преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму. [c.830]

Как нами выше уже было отмечено, во второй половине XIX в. в первую очередь в работах Софуса Ли выявилась органическая связь механики в форме Гамильтона—Якоби с теорией преобразований. [c.841]

Годографические преобразования и отображения представляют собой мощный аналитический способ исследования динамики движения твердого тела методами геометрии, который, по мнению Гамильтона, Якоби и других классиков динамики, всегда заслуживал серьезного внимания и изучения. Подробно разработанная к настоящему времени строгая математическая теория евклидовых и неевклидовых геометрий пока еще остается в стороне от сложных нелинейных задач ньютоновой механики. Кроме того, успехи теории преобразований, достигнутые в двадцатом веке, позволяют считать пересмотр задач классической механики с этой точки зрения не только вполне возможным, но и весьма желательным. [c.52]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Пусть требуется найти значения всех главных напряжений для напряженного состояния, показанного на рисунке примера ЗЛ. Для этого необходимо найти все собственные значения матрицы напряжений. Такая потребность возникает, если конструктор вместо теории разрушения при максимальном нормальном напряжении намерен пользоваться какой-либо другой теорией разрушения. Чтобы найти все собственные значения, обратимся к методу преобразований Якоби, для реализации которого воспользуемся подпрограммой EIGEN из пакета программ для научных исследований фирмы ШМ, предназначенной для симметричных матриц. Так как матрица симметрична, то она содержит лишь шесть различных элементов. Для экономии памяти подпрограмма EIGEN использует матрицу ЗХ 3 в компактной форме, при которой требуется только шесть ячеек памяти. Программа для решения данной задачи имеет вид [c.59]

Во-первых, необходимо обобщить теорему, поскольку в теореме о преобразованиях Якоби предполагается, что функция t 7, которая определяет преобразование от одной канонической системы элеиентов к другой, не зависит от времени. Это предположение можно отбросить и показать, что имеет место следующая теорема о преобразованиях. [c.518]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Ниже рассматривается цикл вопросов, примыкающих к теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби и теории канонических преобразований. Эти вопросы объединяются понятием об интегральных инвариантах, введенным А. Пуанкаре ). Конечно, будут приведены лигиь сравнительно краткие сведения об этом направлении современной аналитической механики. [c.379]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби . Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF-функцию. Но было бы практически невозможно найти U -фyнкцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [c.263]

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn- Кроме энергетической постоянной Е, в рещении содержалось лишь п — 1 констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а -сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову U -функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преобразования. [c.293]

В теории Якоби преобразование точки в линию возникает соверщенно иным путем, Здесь переменная Qn выделена среди других переменных. Все координаты точки Q,, Pi фиксированы, за исключением координаты Р,и которая меняется. Следовательно, требуется разрещить п — 1 уравнений [c.295]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...