Интегрирование в эллиптических функциях

Интегрирование в эллиптических функциях. Полученные нами формулы могут быть преобразованы таким образом, чтобы переменные выражались однозначными функциями t. Этим мы сейчас и займемся. Мы нашли [c.439]

Интегрирование в эллиптических функциях. Уравнение [c.185]

Остаются две постоянные, для определения которых на искомые контуры и их взаимное расположение нужно накладывать дополнительные требования. Таким образом, в общем несимметричном случае контуры искомых отверстий образуют семейство, зависящее от двух произвольных действительных параметров. Громоздкий результат интегрирования в эллиптических функциях опустим. [c.55]

Последнее уравнение допускает дальнейшее интегрирование в эллиптических функциях. [c.566]

Интегрирование уравнения (8), приводящее к решению задачи, выполняется в эллиптических функциях и выходит за рамки этой книги. Однако, если начальная угловая скорость Гд вращения вокруг собственной оси достаточно велика, то можно получить приближенное элементарное решение задачи, удовлетворяющее всем практическим требованиям. [c.121]

Для интегрирования в конечной форме необходимо применение эллиптических функций. Чтобы выполнить его в эллиптических функциях [c.97]

Притяжение к центру по закону klr . Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального ноля с потенциалом V = — р,/г уравнения интегрируются при п = —2, —1, 1, 2 в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при п = —6, —4, 3, 4, 6 — в эллиптических функциях- (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда п больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально В этом случае имеем [c.314]

V = Vo (рис. 26, а) А os р. Уравнение (33) при этом значении константы интегрирования в элементарных функциях не выражается, но приводится к эллиптическим интегралам, численные значения которых табулированы. [c.36]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

Отметим только, что решение в эллиптических функциях для системы (2.9) получается только при линейной и квадратичной зависимости потенциала (или обобщенного потенциала) от компонент 7 (соответственно, М, 7). В остальных случаях гироскопическая функция представляет собой полином степени выше четвертой и решение на комплексной плоскости времени уже является ветвящимся. Между тем методы качественного анализа, изложенные в гл. 2, способны описать движение с достаточной полнотой. Это еще раз подчеркивает бесперспективность явного интегрирования таких систем в тэта-функциях (включая и классический волчок Лагранжа), не способного ничего дать для исследования действительных движений. [c.235]

Для интегрирования уравнений (27) с учетом (28) и (30) следует выразить 03 и из уравнений (28) и (30), а затем подставить во второе уравнение из (27). Тогда появляется дифференциальное уравнение относительно а>у с разделяющимися переменными, приводящееся к квадратуре в виде эллиптического интеграла неизвестную Оу находят в виде эллиптической функции. [c.459]

Нижний предел интегрирования г )о соответствует, очевидно, точке начала отсчета дуги s. Что же касается самого интеграла, то он в элементарных функциях не берется. Он относится к классу так называемых эллиптических интегралов. Это эллиптический интеграл первого рода. Наряду с ним часто встречается и интеграл второго рода [c.67]

Остается, наконец, рассмотреть промежуточный случай, когда прямая II касается заданной окружности, т. е. когда а — 1. Тогда интегрирование молено выполнить при помощи показательных функций, так как модуль k предыдущих эллиптических функции делается равным I. В самом деле, вернемся к уравнению кинетической энергии v - = 2g(a — г). Напишем [c.384]

Исследование движения. Интегрирование при помощи эллиптических функций. Допустим, что А р> В р> С и что произвольная постоянная В не равна ни одной из величин А, В или С. Проекции р, д, г мгновенной угловой скорости вращения находятся как функции времени из трех уравнений [c.150]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Вычисление этих шести неизвестных величин аналитическим путем связано с интегрированием сложных дифференциальных уравнений, приводящих к эллиптическим функциям. Решение уравнений дано Е. Лагранжем и С. Ковалевской. Выше было отмечено, что ось вращения йо меняет свое положение, а вектор кинетического момента сохраняет его. Следовательно, если ось вращения удерживать с помощью подшипников, то вектор К вынужден будет менять свое положение, что вызовет реакции в подшипниках. Это явление получило название гироскопического давления. Если тело имеет неподвижную точку О и ось динамической симметрии (гироскоп), то вращение происходит только вокруг оси инерции J , поэтому со = 0 Q = 0 х = О и /И = О, вследствие чего уравнение (103) принимает вид [c.204]

При а = 0 и р= — 1 (течение в расширяющемся канале) существует единственное для всех значений >1/8 решение уравнения (2-7), удовлетворяющее условиям (2-10) и (2-19). Необходимое решение можно выбрать по распределению / (т1), которое при т]—>-оо подходит монотонно к единице. Решение выражается через эллиптические функции при у = 5/1/3. В [Л. 20, 346] приводятся результаты численного интегрирования уравне- [c.43]

Второе интегрирование исходного уравнения (22), т. е. интегрирование уравнения (25), осуществляется для О р 2 в элементарных функциях. Для 2 < р 4 решение может быть найдено с помощью эллиптических функций. [c.47]

Как известно, интегрирование этого уравнения в элементарных функциях невозможно, и его общее решение выражается через эллиптические интегралы. Однако при небольшом превышении величины сжимающей силы над критической удается получить удовлетворительный в смысле точности результат и элементарным путем. С этой целью преобразуем уравнение (12.19) следующим образом. Как известно, [c.358]

Однако для интегрирования уравнений (14.113) необходимо знать выражения для эллипсоидальных координат X, ц-. в функции т и величин и Рй. Как уже было отмечено, эти выражения являются комбинациями эллиптических функций, тип которых зависит от начальных значений эллипсоидальных координат и их производных по времени. [c.785]

Интегрирование уравнения (6) приводит к эллиптическим интегралам ). Интегрирование может быть выполнено в элементарных функциях в двух случаях когда А = Б п G ТВ, а значение В находится между значениями А н С. Оба этн случая будут рассмотрены ниже. [c.104]

Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено с помош ью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что функция Лагранжа приобретает вид (li) — (I2), если ввести эллиптические координаты qi, qz (Колосов). [c.179]

В случае эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнений движения точки приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид [c.506]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Приравнивая каждую часть уравнения (17.12.1) величине 2 0, можем выразить X и (А через 0 множеством способов, используя эллиптические функции Якоби или Вейер-штрасса. В результате получим уравнения кривой в параметрической форме X = X (0), U = [А (0). Для иллюстрации приведем один из способов интегрирования. [c.326]

При а = 0 и р=1 (течение в сужающемся канале) уравнение (2-7) имеет решение, удовлетворяющее условиям (2-10) и (2-19), единственное для всех значенийу. Численное интегрирование уравнения (2-7) при отсасывании и вдуве выполнено в [Л. 20]. Показано, что при у — 5/УЗ решение выражается через эллиптические функции при у = —5/]/3 имеется простое выражение [c.43]

Интеграл Jq, определяющий среднее значение 1I ие может быть выражен через элементарные функщ1И или канонические формы эллиптических интегралов. Однако в подынтегральном выражении,Д1меющем форму /( ) = V(i os m) - 6(м), можно вьщелить основную часть, дающую при интегрировании полный эллиптический интеграл второго рода Е(кх), а оставшуюся часть аппроксимировать, используя методы разложения функций по полиномам Чебышева. В результате получим приближенное выражение [c.112]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Смотреть страницы где упоминается термин Интегрирование в эллиптических функциях : [c.303] [c.79] [c.296] [c.200] [c.201] [c.97] [c.100] [c.174] [c.440] [c.137] [c.103] [c.928] [c.4] [c.260] [c.84] [c.32] [c.12] [c.556] [c.331] [c.263] [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...