Дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности

Прямая задача теплопроводности заключается в отыскании температуры тела, удовлетворяющей дифференциальному уравнению теплопроводности и условиям однозначности. Отыскание граничных условий, в том числе и плотности теплового потока, по имеющейся информации о температуре внутренних точек в теле составляет предмет решения обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) в данном случае — это граничная ОЗТ. [c.284]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ [c.199]

Аналитическое описание процесса включает в себя дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности. Для одномерных тел дифференциальное уравнение теплопроводности может быть представлено в следующем виде [см. уравнение (2.79)] [c.142]

Для анализа задачи методами теории подобия необходимо знать дифференциальное уравнение процесса и условия однозначности (глава XI). Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье нам известно [c.308]

Для того чтобы решить поставленную задачу, т. е. найти температурное поле тела и количество переданной теплоты, необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение теплопроводности и согласовать полученное выражение с условиями однозначности. Однако проинтегрировать уравнение Фурье при сложных условиях однозначности (например, для тела сложной конфигурации) средствами современной математики крайне трудно. [c.22]

Погрешность определения температурного поля с помощью R- e-ток, так же как и с помощью С-сеток, в основном обусловлена заменой дифференциального уравнения теплопроводности его конечно-разностной аппроксимацией, неточностью параметров электрической модели, неточностью задания условий однозначности и неточностью измерений. [c.88]

Значительно сложнее установить связь между е г) и (т) в случае, когда д является некоторой функцией времени. Установление этой связи может быть осуществлено путем решения дифференциального уравнения теплопроводности при соответствующих условиях однозначности. Последние формулируются исходя из конкретной конструкции датчика. Решение такой задачи рассматривается, например, в [4]. [c.290]

Рассмотренные способы задания граничных условий являются самыми распространенными могут быть и другие способы их задания. Дифференциальное уравнение теплопроводности 14.1) совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретного процесса теплопроводности. [c.204]

Дифференциальные уравнения теплопроводности отражают общий характер процесса, каждое из приведенных уравнений имеет множество решений. Для получения решения, соответствующего конкретной единичной задаче, необходимо задание условий однозначности. В условие однозначности входят геометрические условия, физические параметры материала, начальные условия и граничные условия. Условия однозначности содержат описание всех частных особенностей процесса, [c.128]

Дифференциальное уравнение теплопроводности (2.63) совместно с условиями однозначности дает полное математическое описание конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численно с применением ЭВМ или экспериментально с использованием методов подобия и моделирования. [c.130]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

К числу экспериментальных методов исследования процессов теплопроводности относится метод аналогии. При этом исследование тепловых явлений заменяется исследованием аналогичных физических явлений, которые, хотя и различаются по физической сущности, подчиняются одинаковым закономерностям и, следовательно, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и условиями однозначности. В частности, аналогичны явления теплопроводности, диффузии, электропроводности и движения жидкости при ламинарном режиме. [c.192]

Методом электромоделирования решаются как прямые задачи теплопроводности, в которых на основе решения дифференциального уравнения и условий однозначности определяется поле температур, так и обратные задачи, в которых по известному полю температур устанавливаются граничные условия, например коэффициент теплоотдачи на поверхности тела. [c.193]

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т. е. описывает класс явлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс, следует дать дополнительное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой 3) начальные условия распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процес- [c.140]

Аналитическое описание процесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности. [c.75]

В контактных аппаратах процесс теплообмена протекает совместно с процессом массообмена. Т0 обстоятельство усложняет расчет параметров процесса и вызывает дополнительные требования к выбору переменных величин и условий однозначности (при решении системы дифференциальных и алгебраических уравнений), коэффициентов теплопроводности и теплообмена, удельной теплоемкости парогазовой смеси и движущей силы процесса. [c.57]

Приведенная система дифференциальных уравнений теплопроводности (энергии), движения и уравнения сплошности описывает множество явлений распространения тепла в движущемся потоке жидкости, так как она получена при использовании общих законов сохранения энергии и вещества, поэтому она характеризует лишь основные принципиальные стороны этих явлений, общие для всего указанного множества. Частные особенности отдельных конкретных тепловых явлений характеризуются так называемыми условиями однозначности. Применительно к процессам конвективного теплообмена условиями однозначности задаются геометрическая форма и размеры системы, в которой изучаются процессы конвективного теплообмена физические свойства жидкости, входящие в рассмотренную систему дифференциальных уравнений распределение температуры и скорости в прост-ранстве нной области, в которой исследуется явление для какого-то начального момента времени распределение скорости на твердых и жидких границах исследуемой пространственной области. На жидких границах (во вход- [c.137]

Дифференциальное уравнение теплопроводности отражает общие черты, свойственные процессам теплопроводности, и имеет бесчисленное множество решений. Особенности конкретного процесса устанавливаются условиями однозначности, которые состоят из геометрических, физических, временных (или начальных) и граничных условий. В первых двух содержатся сведения о форме и размерах тела, о значениях теплофизических характеристик материала тела и действующих в его объеме источниках тепла. Начальные и граничные условия обычно объединяют общим названием - краевые условия. Они указывают на особенности протекания процесса во времени и на поверхностях тела. Для нестационарных процессов теплопроводности временные условия задают начальное распределение температуры в теле. [c.198]

Очевидно, если условия однозначности аналогичны, то все решения дифференциального уравнения теплопроводности как для стационарного, так и для нестационарного процессов могут быть использованы для расчета концентрационной диффузии. В случае 0 = а поля концентрации и температуры подобны. [c.327]

Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений теплопроводности. Для выделения из целого класса единичного явления необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия, специфические для данного конкретного случая. В эти дополнительные частные данные, характеризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства и краевые условия. Совокупность перечисленных данных называется условиями однозначности. Таким образом, условия однозначности подразделяются на геометрические, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс на физические, характеризующие физические свойства тела, и на краевые, характеризующие особенности протекания процесса в начальный момент времени (начальные условия) и на границах тела (граничные условия). [c.25]

Для изучения процессов теплообмена также используется метод аналогий. В этом случае исследование тепловых явлений заменяется изучением аналогичных явлений, поскольку их экспериментально исследовать легче. Необходимо, чтобы аналогичные явления описывались одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, несмотря на различное физическое содержание. При изучении процессов теплопроводности используется электротепловая и гидротепловая аналогии. В первом случае используется то обстоятельство, что явления теплопроводности и электропроводности описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет вместо полей температур определять поля электрических потенциалов. Гидротепловая аналогия основана на сходстве законов распространения тепла и движения жидкости. [c.80]

Применительно к явлениям теплопроводности дифференциальное уравнение, граничные и начальные условия однозначно описывают температуру данного тела в любой точке в произвольный момент времени. В силу однозначности такой связи знание температуры, например, в двух точках в произвольные моменты времени позволяет определить граничные условия по одному из параметров (например, потоку или температуре на границах). Такой подход в решении обычно принято называть обратной задачей теплопроводности [219]. [c.42]

Задача о распространении теплоты в условиях нестационарного режима в общем случае не может быть решена аналитическим путем вследствие большой ее сложности. Иначе говоря, невозможно найти функцию I (х, у, 2, т), которая одновременно удовлетворяла бы как дифференциальному уравнению теплопроводности, так и соответствующим условиям однозначности. Действительно, в общем случае движение теплоты в теле может происходить по всем трем координатным осям, и дифференциальное уравнение теплопроводности (14.6), выведенное в 14.2, имеет вид [c.294]

Математические формулировки задач теплопроводности и электропроводности наряду с дифференциальными уравнениями (4.1) и (4.2) включают условия однозначности — геометрические, физические и граничные. [c.76]

Сопоставляя дифференциальные уравнения (4.13), (4.14) и соотношения (4.15) — (4.24) для процессов теплопроводности и электропроводности, заключаем, что при численном равенстве выражений для условий однозначности этих процессов решения дифферен- [c.78]

Система уравнений, описывающих явление теплоотдачи, содержит дифференциальные уравнения энергии, теплоотдачи, движения и сплошности. При этом геометрические условия однозначности определяют форму и размеры поверхности соприкосновения теплоносителя с телом, физические условия — теплопроводность, вязкость теплоносителя и другие свойства, граничные условия — распределение скоростей и температур на границах изучаемой системы. Для некоторых задач теплообмена могут быть получены и более сложные системы дифференциальных уравнений и краевых условий. [c.157]

Основой современных методов расчета тепло- и массообмена являются дифференциальные уравнения движения, неразрывности, теплопроводности и диффузии [31, 32, 51, 52]. В совокупности с условиями однозначности они составляют систему уравнений, решения которой дают искомые поля скоростей, температур и концентраций среды. Названные уравнения выведены для бесконечно малого объема среды и отражают элементарный акт переноса субстанции массы, энергии и количества движения (импульса). Общее дифференциальное уравнение переноса субстанции записывается в следующем виде [32] [c.23]

Для расчета конкретных процессов теплопроводности к дифференциальному уравнению присоединяют условия однозначности, включающие а) геометрические условия, которые задают геометрическую форму и размеры тела [c.125]

Предыдущий анализ привел нас к двум важным понятиям — класса явлений и единичного явления. Как мы видели, переход от класса явлений к единичному явлению осуществляется присоединением к дифференциальному уравнению условий однозначности. Тем самым из бесчисленного множества однородных явлений (например, явлений теплопроводности) выделяется одно конкретное явление (например, явление распространения тепла в стене здания). [c.96]

Приведенные уравнения справедливы для твердых тел. Для жидкостей и газов они также справедливы при условии, что отсутствуют другие способы переноса тепла (конвекцией, излучением и др.). Эти уравнения не имеют общего решения. Но получены частные решения применительно к телам определенной геометрической формы при конкретно заданных условиях однозначности. Такие частные решения и используются при постановке различных экспериментов. Решения дифференциальных уравнений (1-8) и (1-9) применительно к одномерным температурным полям для тел простой геометрической формы позволяют найти коэффициент теплопроводности из соотношения [c.19]

Для расчета конкретных процессов теплопроводности к дифференциальному уравнению присоединяют условия однозначности, включающие а) геометрические условия, которые задают геометрическую форму и размеры тела б) физические условия, которые задают значения физических параметров а, к и закон распределения в пространстве и изменения во время производительности источников тепла в) начальные условия, которые задают распределение температуры внутри тела в начальный момент времени г) граничные условия, которые задают распределение [c.265]

Для того чтобы найти аналитическое решение задачи теплопроводности, необходимо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение из уравнений (3) — (7) и согласовать полученное выражение с условиями однозначности. В простейшем случае одномерного стационарного поля задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения [c.8]

Логическая схема феноменологической теории теплопроводности. Четыре этапа использования феноменологического метода (рис. 2.6) позволяют получить дифференциальное уравнение Фурье. Это уравнение описывает множество процессов теплопроводности и поэтому имеет множество решений. К уравнению Фурье присоединяются геометрические, физические, временные и граничные условия однозначности. Поставленная таким образом задача разрешается либо аналитическим, либо численным, либо экспериментальным методом. В последнем случае используют методы физического подобия [7, 151 или физических аналогий [16]. В теории теплопроводности сравнительно большое распространение получили аналитические и численные методы решения [14]. [c.202]

Условия однозначности для процессов теплоотдачи. Система дифференциальных уравнений (4.22)—(4.24) описывает множество процессов конвективного теплообмена. Чтобы выделить конкретный процесс, необходимо сформулировать условия однозначности. Как и для теплопроводности, условия однозначности процессов теплоотдачи содержат геометрические, физические, временные и граничные условия. [c.237]

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования (элементарно малый объем внутри тела) мы исключили больщое количество информации, важной для конкретных задач. Условия однозначности призваны вернуть утраты и должны содержать следующую информацию [c.58]

Приведенная система дифференциальных уравнений описывает весь класс явлений конвективного теплообмена. Чтобы рещить некоторую конкретную задачу необходимо проинтегрировать уравнения, учитывая еще и условия однозначности этой конкретной задачи. Формулирование этих условий гораздо сложнее, чем в задачах теплопроводности. Так, начальные и граничные условия, например, должны быть заданы для каждого неизвестного параметра, а не только для температуры. [c.100]

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия. Кроме того, должны быть известны гео-метрическая форма и размеры тела, физические ларамехры-среды, и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями. [c.355]

Иногда при исследовании явления на модели используется физическая аналогия явлений. О физической аналогии явлений говорят тогда, когда сравниваемые явления имеют разную физическую природу (теплопроводность, электропроводность), но математически описываются однотипными дифференциальными уравнениями. Условия однозначности для аналогичных явлений должны формулироваться тождественно, а соответствующие критерии подобия, входящие в тождественные безразмерные уравнения, должны быть численно равны. В результате безразмерные поля переменных в аналогичных физических явлениях представляют собой тождественное распределение чисел. Характерным примером аналогии является так называемая элект-ротепловая аналогия, основанная на однотипности дифференциальных уравнений поля температуры и электрического потенциала в теле. Так для одномерных полей уравнения имеют вид [c.138]

Однако определить значение градиента температур (dtldy)y-o трудно, так как для этого нужно рассчитать температурное поле в текущей среде. Сделать это можно путем вывода дифференциального уравнения, описывающего температурное поле текущей жидкости с последующей конкретизацией путем применения условий однозначности. Рассуждения в этом случ )е аналогичны выводу уравнения (11-17) для твердого тела. Выделяя в потоке жидкости элементарный параллелепипед, необходимо учесть не только перенос тепла теплопроводностью теплопр = —K(dtldx), но и конвективным током при скорости жидкости вдоль оси Wx. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...