Решение сеточных уравнений

Решение сеточных уравнений [c.92]

Здесь U" - сеточная фун.. мя, являющаяся решением разностного уравнения Л,,Л2,/1 - разностные операторы, зависящие от параметров г,/г сетки, t - пт, Q , - сеточная область, аппроксимирующая область Q, х Г - ее граница F л G -сеточные функции, аппроксимирующие соответственно f л g. Говорят, что оператор Л(г) аппроксимирует оператор А, если (г) —> о при г О на множестве II [c.29]

Одним из универсальных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (см., например, [6]). Он заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечной совокупностью точек (узлов), называемых сеткой, сами же функции, рассматриваемые в этих точках, называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия (если они дифференциальные), заменяются теми или иными разностными соотношениями. Тогда для значений функций в узловых точках получается система алгебраических уравнений. [c.172]

Введем некоторые понятия, характеризующие близость сеточной краевой задачи и краевой задачи для дифференциального уравнения. Простейшей характеристикой такой близости является величина невязки, возникающей при подстановке точного решения в уравнения сеточной краевой задачи. [c.76]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Таким образом, аппроксимация имеет здесь место (по меньшей мере) в следующем смысле при переходе от к п+1 решение специального вида для сеточных уравнений изменяется с точностью до малых более высокого порядка, чем т, так же как и соответствующее решение дифференциального уравнения [c.136]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Возвращаясь к первоначальным переменным х, получим для уравнения (6.23) кусочно-постоянное решение с разрывом, который распространяется с постоянной скоростью а. Решение уравнения (6.25), содержащего аппроксимационную вязкость v<9 ы/<9л , имеет размытую переходную область, также перемещающуюся со скоростью а. Эффективная ширина этой области пропорциональна V и, следовательно, растет со временем. Решение сеточной задачи Коши должно обладать сходными свойствами. Численные эксперименты и асимптотическое исследование погрешности сеточного решения подтверждают это предположение. [c.161]

Уравнение (2.224) называется сеточным уравнением. Оно устанавливает связь между искомой температурой в точке п и температурами в предыдущий расчетному интервал времени к в соседних узлах сетки (и — 1) и (п -Ь 1). При этом предполагается, что распределение температур между точками (п - 1), п н (п + 1) является линейным. Чтобы решение было устойчивым, выбор значений Ат и Ах не может быть независимым, а должен подчиняться условию [c.166]

Скручиваемый вал переменного диаметра. Решение дифференциального уравнения для функции напряжений производится на электрической плоской модели с проводящей пластинкой переменной толщины [74], 180] или на сеточной модели из омических сопротивлении [87]. Используется аналогия между электрическим потоком и силовыми потоками внутри вала. На модели измеряют потенциалы вдоль контура и по внутренним точкам. Коэффициент концентрации находится как отношение градиентов потенциалов в зоне концентрации и в месте номинальных напряжений. Погрешность ДО 2%. [c.608]

Электрическая модель из двух соединенных сеточных моделей Решение бигармонического уравнения, однородного или с правой частью Потенциалы в узлах сеток Плоская задача напряжений и расчет плит (для заданных граничных условий, нагрузок и распределения температур) [13], [20], [29], [50], [52], [57], [69] [c.256]

Электрическая плоская модель с проводящей пластинкой переменной толщины или сеточная модель Решение дифференциального уравнения для скручиваемого вала переменного диаметра. Аналогия между электрическим потоком в пластинке и силовыми потоками внутри вала Потенциалы вдоль контура пластинки и по ее внутренним точкам Коэффициенты концентрации и распределение касательных напряжений в скручиваемом вале переменного диаметра [40], [47], [50] [c.256]

В дискретных приближенных методах неизвестные функции с самого начала заменяются их значениями в отдельных точках. При этом различными способами получают прямые приближенные решения основных уравнений, и в процессе вычислений постоянно оперируют численными значениями основных переменных. Иногда в качестве недостатка этих методов указывают на то, что нет аналитического выражения ( формул ) зависимости переменных друг от друга, а получаются только численные значения искомых функций в определенных точках (поэтому эти методы называются также сеточными). При применении теории упругости к практическим задачам это обстоятельство часто не является помехой, так как обычно и без того граничные значения, напрнмер, нагрузки, действующей на элементы конструкций, известны по измерениям в конечном числе точек. [c.128]

Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13]

Для определения и" достаточно сначала найти предварительное значение из (1.51), подставить его в (1.50), а затем обратить оператор [А +(2/3)г ] в (1.50). Ввиду нелинейности оператора L, как и в случае рассмотренных выше неявных схем, требуется его линеаризация относительно известных значений сеточной функции у. Эти значения можно получать, например, по тем или иным экстраполяционным формулам или из предыдущей итерации в случае использования какого-либо итерационного процесса для решения нелинейных уравнений. [c.32]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

Невязка il /, которая возникает при подстановке сеточной функции точного решения в уравнение для разностного решения, называется погреимостью аппроксимации исходного диф ренциального [c.75]

Здесь ситуация сложнее, поскольку в каждое уравнение вида (3.22) кроме неизвестного значения Uri для п-й пространственной точки входят еще два искомых значения сеточной функции и u i для соседних п — 1)-й и п + 1)-й точек. Поэтому рассмотренный выше для явной схемы прием получения явной формулы для неизвестного значения в этой ситуации не проходит. Все искомые значения оказываются завязанными друг с другом в общую нераспадающуюся систему уравнений. Эта система состоит из N — 2) уравнений (3.22) для внутренних узлов и двух уравнений (3.24), (3.25), соответствующих граничным условиям. Всего имеем N уравнений относительно N неизвестных Таким образом, в данном случае на каждом временном слое значения сеточной функции и п определяются не по явным формулам, а из решения системы N уравнений, поэтому рассмотренная разностная схема называется неявной. Эффективный алгоритм решения системы уравнений (3.22), (3.24), (3.25) рассмотрим ниже. [c.81]

Распределение касательных напряжений в поперечном сечении при поперечном изгибе и кручении и сумм главных напряжений в плоской задаче. Решение дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, соответствующих этим задачам, производится на сплоишых или сеточных (из омических сопротив = Рний) электрических моделях плоского поля [c.603]

Коздоба Л. А. Метод решения нелинейных уравнений тепло- и массопереноса на сеточных и комбинированных электрических моделях.— ИФЖ, 1967, № 5, с. 709—714. [c.238]

А. С. Сахаров. Исследование алгоритма решения сеточных систем уравнений пластин и оболочек.— Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений , вып. VII. Киев, изд-во Буд1вельник , 19р9. [c.110]

Программа дисциплины Гидравлика (техническая механика жидкости и газа) предусматривает изучение численных методов и ик реализацию на ЭВМ применительно к решению уравнений Навье-Стокеа в конечно-разностной форме. Для учебных, а в ряде случаев и для научных целей наиболее целесообразно использование декартовой системы координат и физических неременных компонент скоростей и давления. В исследуемой области изменения независимых переменных вводятся сетка - дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки Дифференциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями, связывающими значения искомых функций в узлах сетки При этом формируется система алгебраических уравнений, которую можно решать тем или иным способом на ЭВМ. [c.92]

Как правило, при переходе к математической модели принятое в механике непрерывное описайие свойств среды заменяется дискретным описанием. Функции, характеризующие состояние и движение вещества, задаются на некотором конечном множестве точек. Уравнения, связывающие значения функций в различных точках среды, называются разностными уравнениями, а методы решения разностных уравнений — разностными или сеточными методами. К этим методам относится и широко применяемый для расчетов деформаций и напряжений в твердом теле метод конечных элементов. [c.213]

Стационарные разностные решения. Сеточное число Рейнольдса. Характер решений разностных систем, возникающих при применении рассматриваемых аппроксимаций, удобно проиллюстрировать в случае стационарного уравнения (2.1) с постоянными коэффициентами (9/9f = 0,кр=аи, а = onst, е = onst,/s 0). Точное решение этого уравнения имеет вид [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...