Экстремум строгий

В формулировке задачи расчета равновесия должны также указываться условия, при которых в равновесной системе реализуется экстремум ее характеристической функции. Согласно рассмотренным ранее критериям равновесия эти условия — постоянство всех естественных аргументов характеристической функции системы. Поскольку в итоге расчета через эти аргументы выражаются искомые дополнительные внутренние переменные, они должны быть величинами не только постоянными, но и известными. При численных решениях можно избежать строгого соответствия параметров системы (процесса) и использованной характеристической функции, т. е. появляется возможность формулировать термодинамические условия -на основании особенностей моделируемой системы и имеющихся данных, а не по набору естественных аргументов функции. [c.172]

V по времена вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.206]

Теорема Ляпунова. Если в стационарном или в периодическом случае существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка в области (3) функция U(j i,. ... х , t), которая при любом t, рассматриваемом как параметр, имеет в точке j , =. .., ..=aij =iO строгий экстремум, в то время как в той же точке снова при любом t ее производная по [c.208]

Движение с начальными данными qt, р1, р1 1=, т а. — т- -, п) будет устойчивым стационарным движением, если функция pi, pi) в точке qi=q1, Pi=Pi (i = 1. , fn) имеет строгий экстремум. [c.288]

Условие устойчивости — наличие строгого экстремума функции Н при рд = О и некотором искомом значении 0 — будет выполнено, если при этом значении в функция П имеет строгий минимум. Для нахождения этого значения 6=6 положим и = os 0 и [c.292]

Для оптимального управления движением манипулятора требуется предварительное (до начала движения) вычисление его конечного состояния, сводящееся в рассмотренном случае к отысканию минимума функции / на конечном числе точек, являющихся корнями трансцендентных уравнений (14) или (22). Для более сложных кинематических схем манипуляторов число таких уравнений может совпадать с числом управляемых координат, а уравнения экстремалей при задании траектории движения могут быть проинтегрированы только численно, что дополнительно усложняет и без того нетривиальную задачу поиска всех экстремалей, удовлетворяющих условию трансверсальности [6]. Такие предшествующие процессу управления вычислительные процедуры являются неизбежной и в большинстве случаев чрезмерной платой за минимизацию функционала /. Есть причины, вынуждающие отказаться от строгих методов оптимизации, т. е. методов, обеспечивающих отыскание экстремума 1) разрыв между получением системой двигательного задания и началом движения, равный времени вычисления оптимального управления 2) неопределенность двигательной задачи при неполной информации о состоянии окружающей среды, когда эта задача доопределяется в процессе движения, и предварительное отыскание конечного состояния манипулятора либо невозможно, либо должно быть основано на статистическом подходе. Обе причины существенны, когда система управления двия<ением предназначена для выполнения разнообразных, не повторяющихся двигательных задач. При управлении циклически повторяющимся движением процесс оптимизации может быть проведен один раз, а его результаты использованы неоднократно [c.32]

Задача достижения наивысших экономичности и надежности при своем строгом решении неизменно приводит к поиску экстремума (максимума) эффективности капиталовложений в энергетику с позиций всего народного хозяйства. В большинстве случаев, однако, задача без существенного ущерба может быть ограничена пределами электростанции, цеха и даже отдельного элемента оборудования. Так, обобщенным показателем экстремума эффективности использования топлива в котельной 14 [c.14]

Строго говоря, и здесь можно вывести классические экстремумы, однако это сложно и практической необходимости в этом часто нет. Приведем несколько примеров. [c.17]

Первая — это проблема отыскания экстремумов многомерных функционалов от нескольких функций. Само понятие экстремумов в данном случае не может быть строго определено, и следует говорить скорей о выявлении приемлемой ситуации . Такого рода задачи очень трудно, а подчас и просто невозможно формализовать, используя классические представления. По мнению специалистов здесь не обойтись без моделирования деятельности мозга, т. е. применения столь популярных в последнее время эвристических методов. Основная роль в отыскании экстремума (приемлемой ситуации) отводится человеку, а задача вычислительной машины — эффективно обрабатывать исходную информацию и предоставлять результаты обработки в достаточно удобной для нас форме. Успешное решение проблемы достигается, по-видимому, введением в состав машины оперативного устройства отображения информации и устройства, дающего возможность человеку непосредственно управлять ходом решения задачи. [c.166]

Известно, что экспериментальные данные по свойствам переноса (теплопроводность, термодиффузионная постоянная, вязкость) ряда газовых смесей (Аг — СОа, HjO — СО2, NH3 — N2, Hj — Не и др.) проявляют максимум (минимум) концентрационной зависимости, в то время как строгая молекулярно-кинетическая теория газов не подтверждает такого поведения концентрационной зависимости. (Это может быть показано исследованием теоретических соотношений для свойств переноса, полученным по теории Чепмена—Энскога, на наличии точек экстремума [1].) [c.71]

Соответствующие эпюры приведены на рис. 5.5. Величина и направление скачков на Э(5г/ строго соответствуют сосредоточенным силам, а на ЭМ — сосредоточенным моментам. Поскольку везде Qy 7 О, то экстремумы в ЭМ отсутствуют. [c.125]

Промежуточный случай, когда потенциальная энергия системы в состоянии равновесия имеет экстремум, не являющийся ни строгим минимумом, ни строгим максимумом, пока исчерпывающе не исследован. Но в нашем случае, когда переход стержня из состояния устойчивого равновесия в неустойчивое определяется одним параметром — сжимающей силой, такое промежуточное состояние будет критическим, а сила, при которой оно возникает, явится критической силой. [c.384]

Вероятность выхода в действительную область максимальных свойств (область строгого экстремума функции отклика) сравнительно невелика. [c.301]

Это означает, что для любых кривых, достаточно близких к действительной траектории и с достаточно близкими скоростями ( д(<, а) - д 1, 0) < е, (/(<, а) - д(1, 0) < е), действие по Гамильтону строго больше действия вдоль действительной траектории. Такой экстремум называется слабым, в отличие от сильного экстремума, когда ограничений на скорости нет. [c.119]

Таким образом, определение времени Т и вектора г to) связывается с обычной задачей (10.4) на условный экстремум для функции р от конечного числа переменных ( о)- Аналогичные условия были выведены и для других случаев задачи о предельном быстродействии системы (10.1). Вывод этих условий получается естественным образом из трактовки соответствующей краевой задачи об управлении в форме, разработанной в функциональном анализе проблемы моментов. При этом существенно лишь, чтобы ограничения на управления и (1) ( о< < 1) выделяли выпуклые множества таких управлений, которые трактуются как элементы подходящего функционального пространства В и ( ) . Такая трактовка полезна еще и по той причине, что она позволяет охватить готовыми строгими рассуждениями вопросы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, а также вопросы существования оптимального управления и в таких случаях, когда это управление и (1) удобно описывать обобщенными функциями. Последнее может встретиться, например, при ограничениях на полный импульс [c.194]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Точность оценки показателя преломления, получаемой на основе минимизации невязок типа (3.55) и (3.56), в значительной степени определяется характером зависимости операторов от искомого параметра т. В первом приближении эту зависимость можно характеризовать вариацией нормы операторов, т. е. величиной 6m(l li ll), обусловленной отклонением in от исходного значения то. Чем больше эта величина, тем более четко локализуется экстремум невязки р и тем точнее можно оценить in при прочих равных условиях. К сожалению, анализ точностных характеристик в указанных терминах не очень нагляден, поэтому ниже ограничимся менее строгим, но более простым способом исследования эффективности схем интерпретации. [c.190]

Если система (1) имеет не зависящий от времени интеграл д х), который при а = О имеет относительный экстремум в строгом смысле, то равновесное решение а = О будет устойчивым. [c.267]

Если линейная система и-го порядка (9.3) имеет неограниченные решения, то, очевидно, равновесие ж = О неустойчиво. Наоборот, пусть функция Н имеет в точке ж = О строгий экстремум (максимум или минимум). Тогда все решения системы (9.3) ограничены. Отсюда, конечно, еще не вытекает устойчивость равновесия ж = О исходной системы (9.1). [c.97]

Следствие 3. Пусть потенциальная энергия V имеет максимум, а функция h имеет строгий экстремум в точке ж = 0. Тогда равновесие ж = О системы (9.1) устойчиво. [c.100]

Критическому состоянию вещества соответствует тот случай экстремума и 8, V) когда 6 /7 = О, т. е. критическая точка представляет собой предельное состояние однородного тела. Строгое доказательство равенства (I/, 5) == О в критической точке будет дано ниже сейчас же целесообразно проанализировать это равенство более подробно. [c.95]

Это необходимое условие экстремума приводит, вообще говоря, к минимуму интеграла (2), откуда и происходит название принцип наименьшего действия. Условие минимума представляется наиболее естественным, так как величина Т существенно положительна, и потому интеграл (2) необходимо должен иметь минимум. Существование минимума может быть строго доказано, если только промежуток времени доста- [c.226]

Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл V(xi, t) [не зависящии от t в стационарном случае и периодический относительно t с периодом 18 периодическом случае] и этот интеграле точке x =...=x = Q при любом фиксированном t имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво. [c.209]

Легко заметить, что вследствие перечисленных особенностей кривых <72 и <7з экстремум суммы 2 + 9з=/(а) совпадает с акр, а это значит, что оптимальный и критический избытки воздуха при сжигании природного газа практически одинаковы, т. е. сокр = аопт- Строго говоря, аопт всегда несколько меньше акр, однако эта разница не имеет практического значения и при расчете может не учитываться. [c.84]

Hi (х) dx построить большое канонич. распределение и перемножить эти распределения. Более строгий метод получения основан на экстремуме информац. энчропии (см. Энтропия в теории информации) при заданных <и/ (.х)>. Распредепенио (9) при постоянных fi, переходит в больтаое канонич. распределение Гиббса [c.688]

В этой статье мы рассмотрим несколько детальней случай п = 2,т = = 1, который имеет приложение к синтезу так называемых постоянноскоростных четырехзвенных механизмов, которые исследованы Блохом [3], Хейном (и Марксом [6]. В математическом отношении этот вопрос примыкает к задаче экстремума полиномов с ограниченными коэффициентами, которые были рассмотрены Золотаревым и др. Строгую математическую обработку приближенной теории, включающую работу Золотарева, можно найти уАхиезера [1]. [c.215]

Во всех типах самонакачивающихся обращающих зеркал на входе задана только одна сигнальная волна волны накачки рождаются из шума. При этом, за исключением единственного генератора с замкнутым резонатором, фазы волн накачки строго не заданы и определяются случайными причинами, например фазой рассеянной шумовой волны. Таким образом, и пространственное положение экстремумов возникающей при генерации динамической решетки оказывается произвольным (определена только ориентация волнового вектора решетки в пространстве, но не ее фаза). Результирующее влияние этой неопределенности в выборе фазы пучков накачки на фазу обращенной волны для разных схем оказывается различным. [c.154]

Обнаружение инверсии эвтектического экстремума структурночувствительных механических свойств (прочности, твердости, пластичности, ползучести и др.), целиком обусловленной процессами, развивающимися на межфазовой границе, позволило уточнить [2] несколько упрощенную трактовку якобы линейного характера изменения всех свойств в двухфазных областях, основанную на представлении об аддитивности изменения количества второй фазы, при увеличении содержания компонента В, которое игнорировало изменение площади поверхности раздела фаз от нуля у чистых компонентов до максимума у эвтектического или эвтектоидного сплава. Учет поверхности раздела фаз позволил более строго связать изменения прочности и пластичности сплавов с фазовыми диаграммами и тем самым получить дальнейшее развитие физико-химической теории жаропрочности [2]. [c.168]

Пусть строго выпуклая оболочка, жестко закрепленная по краю, находится под действием сосредоточенной силы /, нормальной к поверхности оболочки в точке приложения. Если эта сила вызывает значительную деформацию, то определение упругого состояния оболочки сводится к задаче на экстремум функционала который определен и рассматривается на изометрических преобразовалиях исходной формы оболочки. Мы будем предполагать, что выпучивание оболочки, вызванное действием силы /, охватывает выпуклую область. В этом случае, как показано в п. 2, класс изометрических преобразований, на которых надо рассматривать нашу вариационную задачу, сужается до зеркального выпучивания. [c.43]

Магнитную запись осуществляют следующим образом. На исследуемый образец накладывают магнитную ленту строго симметрично относительно полюсов НУ и плотно прижимают ее к поверхности образца пористой прокладкой. Затем устанавливают необходимое значение намагничивающего тока, изменяют глубину залегания дефекта накладками и производят запись поля дефекта в различных условиях опыта. При всех последующих измерениях параметров поля дефекта намагничивание образцов следует осуществлять в оптимальном режиме, который предварительно выбирается для каждого нового условия опыта. Воспроизведение магнитной записи и измерение сигналов, обусловленных дефектами, производят на экране магнитографического дефектоскопа. В качестве основных параметров, характеризующих контраст заппси и ширину магнитного следа поля дефекта, выбирают амплитуду импульса на экране дефектоскопа и расстояние между экстремумами или длительность импульса (рис. 5.8). [c.156]

Выберем число е и найдем минимум полной энергии Е на сфере = е. Обозначим этот минимум буквой Е. Такой минимум существует, покольку непрерывная функция Е[х) на ограниченном замкнутом множестве достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Поскольку экстремум П в положении равновесия строгий, то этот минимум строго больше нуля Е > 0. [c.169]

На примере оптимизации ступени турбины по снимаемой мощности в приближении осесимметричного радиально уравновешенного (в контрольных межвенцовых сечениях) течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа получено строгое решение отвечающей такой модели одномерной вариационной задачи. Оптимизация выполнена при фиксированных потоке на входе в ступень, ее радиальных габаритах и скорости вращения рабочего колеса и при ограничении на максимально допустимые числа Маха и углы поворота потока перед и за рабочим колесом. Решение сведено к определению распределений осредненных по времени и в окружном направлении параметров в контрольных сечениях. Обнаружены два типа оптимальных распределений с участками двустороннего и краевого экстремумов по числу Маха и углу поворота потока. В одном из них предельные числа Маха и углы поворота потока достигаются одновременно у втулки за направляющим аппаратом и (или) за рабочим колесом. Примеры демонстрируют заметное увеличение мощности в результате оптимизации. [c.53]

При всех выполнявшихся выше экстремированиях мы, не оговаривая этого, выполняли выкладки, считая, что значения Шот, отвечающие соответствующем экстремумам, в рассмотренных случаях указывают именно на минимумы удельных потерь линий и минимумы себестоимости обработки на ких изделий. Строго говоря, эти положения требуют доказательств и подтверждения. Дадим их здесь. [c.111]

Следовательно, (р х, у) является аналогом интеграла дифференциальных уравнений. Аналогично теореме Дирихле можно легко показать, что б всегда будет устойчивым в окрестности начала координат, когда сугцествует сходягцийся степенной ряд по ж и у, инвариантный при б , который имеет в начале координат экстремум в строгом смысле. Конечно, опять-таки сугцествуют примеры эллиптических отображений, сохраняющих объем с Л" 7 1 (гг = 3, 4,. ..), для которых вообще не существует таких инвариантных сходящихся рядов. [c.289]

Действительно, поскольку квадратичная форма h имеет строгий экстремум, то она невырождена. Следовательно, согласно (9.8), det(D - D) 7 0. В рассматриваемом случае ind Я = и, а ind/i равен либо О, либо п. Значит, согласно предложению 3, ind/i равен либо и, либо 0. Таким образом, функция h имеет в точке ж = О строгий экстремум. Устойчивость равновесия ж = О вытекает теперь из предложения 1. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...