Возмущение интегральным оператором

Очевидно, сходство метода моментов с методом теории возмущений, который весьма часто используется в теории резонаторов. В теории возмущений интегральный оператор, описывающий резонатор, представляется в виде [c.166]

ВОЗМУЩЕНИЕ интегральным ОПЕРАТОРОМ ТИПА ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ (Пример) [c.267]

Обозначим через Пп оператор вида (2.5.45), в котором интегральные операторы К, L, L, М заменены их приближениями, соответствующими замене интегралов (2.5.35) —(2.5.38) некоторыми квадратурными суммами. Через С-, ->r,h обозначим квадратурную сумму, заменяющую скалярное произведение С-, ->г. Тогда эффект численного интегрирования приведет к мене дискретного уравнения (2.28) возмущенным уравнением в Xh вида [c.231]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

При изложении основных свойств интегральных операторов в качестве исходного функционального множества выше использовалось множество непрерывных функций С. Что же касается обратного оператора то он уже не определен на множестве непрерывных функций, каким, в частности, является в экспериментальных исследованиях множество исходных данных Ва. Его непосредственное численное построение лишено практического смысла в силу явно выраженной неустойчивости его дискретных (матричных) аналогов к малым возмущениям в Ра. Введем в рассмотрение оператор /С, сопряженный к данному интегральному оператору /С, и перейдем к новому уравнению вида [c.45]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

В качестве примера применения ядерных методов рассмотрим сейчас возмущение оператора умножения интегральным оператором типа оператора Фурье. Напомним, что возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким и достаточно быстро убывающим на бесконечности ядром изучалось в 4.1, 4.2. Ядро оператора Фурье, однако, не убывает на бесконечности. [c.267]

Результаты п. 1 автоматически распространяются на несколько более общие возмущения. Будем сейчас считать, что V—интегральный оператор с ядром [c.269]

Начало построения теории рассеяния можно, по-видимому, связывать с работой К.Фридрихса [96]. В ней изучено возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким и малым ядром. Метод, разработанный Фридрихсом в связи с построением теории возмущений для этой модели, фактически оказался близким к стационарному подходу в теории рассеяния. Впрочем, понятий теории рассеяния в то время не было. [c.400]

Замечание 1. Если, при изучении сильно возмущенных систем вида (151) применяется оператор усреднения по части угловых переменных (оператор (14)), то весьма существенным. является то, по каким угловым переменным производится усреднение. Рекомендуется обязательно усреднять в таких случаях в первую очередь по быстрым угловым переменным у, по не рекомендуется усреднять по медленным угловым переменным z. Следует сохранить зависимость интегрального среднего от z в противном случае не приходится ожидать, что медленные переменные x(t, р,), определяемые первоначальной системой (151), и сглаженный вектор х (t, ji), определяемый усредненными уравнениями (171) или (172), будут е-близкими по норме па асимптотически большом интервале времени is [О, [c.59]

Важную роль при исследовании применимости проекционных методов к граничным интегральным уравнениям играют следующие два предложения о возмущении операторов из класса n Ph, Qh вполне непрерывными или малыми по норме операторами. [c.194]

Очевидно, что последний член в правой части является малым, если Н описывает слабое взаимодействие. Можно показать (см. главу 4), что интегральный член, содержащий квазиравновесный статистический оператор, тоже имеет первый порядок по возмущению. Поэтому уравнение (2.3.62) можно решать методом итераций, получая статистический оператор g t) в виде ряда по степеням оператора возмущения Н. [c.115]

Теперь оператор производства энтропии (2.5.64) нужно подставить в выражение (2.3.72) для неравновесного статистического оператора. Чтобы найти среднюю скорость реакции во втором приближении по малому параметру, в неравновесном статистическом операторе следует оставить только члены, линейные по оператору производства энтропии. Заметим также, что мы можем положить = A t) поскольку химическое сродство зависит от времени только через медленные переменные — химические потенциалы Далее, эволюция в интегральном члене выражения (2.3.77) должна описываться оператором Лиувилля L , т. е. гамильтонианом Я , куда не входит возмущение (2.5.51). И, наконец, в квазиравновесном статистическом операторе (2.5.58) полный гамильтониан следует заменить оператором Я , чтобы приближение было самосогласованным ). С учетом всех этих замечаний средняя скорость реакции должна вычисляться со статистическим оператором [c.146]

Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. В рамках канонического формализма явные выражения для гейзенберговских операторов определяются известной формулой Швингера (2.44). В ряде случаев более удобным оказывается метод Янга — Фельдмана, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих соответствующую квантовую систему, путем переформулировки их в интегральном виде с автоматическим учетом граничных условий и последующего разложения искомых решений в ряд по степеням Я. [c.230]

Изложению свойств операторов относительно гладких в слабом смысле, посвящен 1. В 2 приводятся точные условия, позволяющие оправдать стационарную схему 2.7, и даются соответствующие обоснования. Связь при этих предположениях стационарного подхода с нестационарным обсуждается в 3. Там же рассмотрен принцип инвариантности. С помощью понятия слабой Я-гладкости в 4 указываются эффективные достаточные условия того, что некоторый оператор является интегральным (см. п. 3 1.5) в соответствующем прямом разложении. Эти результаты используются в 5 при обосновании формульных представлений 2.8 для матрицы рассеяния. Построение полных изометрических ВО эквивалентно теореме разложения по некоторым специальным собственным векторам оператора Н Эта точка зрения развивается в 6. Наконец, в 7 рассматривается рассеяние при относительно компактных возмущениях, а в 8—локальный вариант теории. [c.192]

Здесь мы обсудим реализацию ядерных операторов в виде интегральных в разложении гильбертова пространства в прямой интеграл. Излагаемые сведения понадобятся в следующем параграфе при изучении МР для ядерных возмущений. [c.299]

Функция спектрального сдвига возникает в теории ядерных возмущений в связи с интегральным представлением для следа разности функций от операторов Яо и Я. На непрерывном спектре ФСС связана с матрицей рассеяния. Однако в отличие от нее понятие ФСС содержательно как на непрерывном, так и на дискретном спектрах. [c.328]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

По существу эта глава распадается на две независимые части, составляемые 1,2 и 3 7. В первых двух параграфах изучается модель Фридрихса—Фаддеева, в которой рассматривается возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким матричным ядром. Применение стационарного метода требует исследования резольвенты полного гамильтониана. Такое исследование проводится в 1 с помощью подходящего интегрального управления. Важно, что во вспомогательном банаховом пространстве гельдеровских вектор-функций это уравнение оказывается фредгольмовым. В 2 в рамках модели Фридрихса—Фаддеева реализуется стационарная схема 2.7, 2.8. [c.145]

Следующие 4, 5 посвящены различным обобщениям теоремы Като—Розенблюма. Эти обобщения необходимы, в частности, для применения ядерных методов к теории дифференциальных операторов. В качестве примера мы ограничиваемся рассмотрением в 6 возмущения оператора умножения интегральным оператором типа Фурье. В 7 излагается дополнительная информация, справедливая для одномерного возмущения. Наконец, в 8 конспективно описывается аппарат двойных операторных интегралов Стилтьеса, удобный, например, для [c.232]

Как уже отмечалось, доказательство существования и полноты ВО для возмущения оператора умножения интегральным оператором с гладким ядром было дано К.Фридрихсом [96, 97] в предположении малости ядра. Общая теория построена Л.Д.Фаддеевым в [79], где разработана техника обращения с сингулярными интегралами. Термин модель Фридрихса введен Л. Д.Фаддеевым. Наше изложение в 1, 2 довольно близко следует [79]. Впрочем, рассмотрение случая, когда показатель гельдеровской непрерывности ядра меньше или равен 1/2, в литературе найти не удалось. С оригинальным методом К.Фридрихса и развивающими его работами (отметим, например, статьи П.Рейто [134, 135]) можно познакомиться по книге [c.404]

Смысл интегрального принципа суперпозиции заключается в том, что он позволяет узнать результат воздействия на объект некоторого произвольного входного возмущения u t), если известна реакция объекта на параметрическую систему элементарных возмущений выбранного типа Px(t)- При соответствующем выборе набора функций РхЩ можно любое входное возмущение u t) представить в интегральной форме (2.2.33). После этого достаточно один раз выяснить, как действует линейный оператор А на параметрическую систему функций P(t,x), т. е. 1 айти параметрическую систему функций Qr t)= Q(t,x) —AtP t,x). Затем для определения действия оператора на произвольную функцию u t) достаточно вычислять интеграл (2.2.34) с соответствующей функ- [c.57]

Используя теперь явное выражение (5.1.6) для линеаризованного квазиравновесного статистического оператора, найдем g t) в линейном приближении по возмущению. Так как [ eq, ] = О и dgeq/dt = О, то интегральный член в (5.1.12) имеет первый порядок по возмущению. Поэтому [c.341]

Мы получили требующееся соотношение (3.19). Если формфактор потенциала зависит от к, то для проведения интегрирования надо знать эту зависимость. Заметим, что оператор В не только нелинеен по степеням Р в силу теории возмущений, но для нелокальных потенциалов это еще и интегральный оцератор. [c.89]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...