Преобразование к главным осям

Даже для простых структур желательно иметь вычислительные алгоритмы. Определение деформаций и напряжений и их преобразование к главным осям слоя осуществляется, как и ранее, по стандартной схеме. Ввиду того, что деформации распределяются по толщине неравномерно, построение предельной поверхности в общем случае невозможно. Послойный анализ целостности слоев, согласно расчету по максимально допустимым или предельным нагрузкам, проводится так же, как и ранее. Вычисления, связанные с последовательным анализом нарушения сплошности слоев до разрушения материала, непригодны для ручного счета. Более подробный численный анализ можно найти в работе [2], а также в руководстве [1] (раздел 2.1). [c.98]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

С рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным системам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы и преобразования к главным осям. При изложении вопроса об одновременной диагонализации матриц Г и V автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. [c.376]

Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике. Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводится на высоком уровне и отличается изяществом. [c.376]

Здесь W — постоянная энергии, а левая часть уравнения выражает кинетическую энергию [в соответствии с уравнением (22.126), преобразованным к главным осям инерции]. Уравнения (26.4) можно далее умножить соответственно на Ар, Bq, Сг, при последующем их сложении в правой части опять получается нуль. Интегрируя, получим [c.195]

Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят, что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси XVZ, жестко связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт, [c.103]

Переход от произвольной системы координат К, в которой тензор инерции недиагонален, к системе К осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей [c.285]

Эти же выражения можно было бы получить даже еще раньше, рассмотрев выражения для кинетической и потенциальной Ер энергии, которые используются при выводе дифференциальных уравнений методом Лагранжа. При этом методе несвязанные диф-( )еренциальные уравнения могут получиться только тогда, когДа выражения как для кинетической, так и потенциальной энергии не содержат квадратичных членов с произведением координат. Поэтому нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно переводит выражения для EkH Ер в суммы квадратов. В алгебре эта операция называется преобразованием к главным осям. Проведем его для данного случая и покажем, что при этом снова получатся уравнения движения в главных координатах g и г). [c.261]

Здесь I И т] — уже известные главные координаты. Таким образом, если с самого начала энергетические выражения (6.2) и (6.3) упростить путем преобразования к главным осям, то объем дальнейших вычислений, связанных с получением двух независимых друг от друга уравнений главных колебаний, сократится. Любое другое движение можно получить сложением главных колебаний. Применяя главные координаты, можно существенно упростить расчет линейно связанных колебаний. [c.262]

КИ активные молекулы и области полос поглощения, то тензор bik есть симметричный тензор второго ранга, который может быть преобразован к главным осям таким образом, что в тензоре остаются только три диагональных элемента, а все недиагональные исчезают [115, 116]. [c.71]

Каждый из пространственных гармонических осцилляторов может быть с помощью линейного преобразования приведен к главным осям, так что [c.228]

Тензор деформации, как симметричный может быть приведен к главным осям соответствующим преобразованием координат [c.192]

Экспериментальные результаты, представленные на рис. 15 и 16 (после преобразования всех разрушающих напряжений к главным осям симметрии материала), оптимизированы именно таким способом. Полученные в результате этой обработки значения коэффициентов f,, Fij, пределов прочности, соответствующих направлениям осей координат, среднеквадратичных отклонений сведены в табл. III. Из этой таблицы можно усмотреть, что [c.477]

Если уравнение задано относительно других осей, то следует найти главные осп и повернуть систему отсчета в новое положение. В физике это приведение к главным осям очень важно, потому что большая часть аналитических задач обычно решается лишь после выполнения этого преобразования. [c.179]

Мы обнаружили, что преобразования (3.137) приводят как кинетическую энергию, так и потенциальную к сумме квадратов соответствующих переменных или, другими словами, приводят их к главным осям. [c.75]

Преобразование тензора к главным осям дается матрицей - /а - /2 1/КГ К/]= 1/Т 2 -1/К2 О [c.174]

Мы видели, что диада Ф отвечает преобразованию куба в косоугольный параллелепипед. Впишем сферу радиусом, равным единице, в единичный куб 1, з, к, введенный нами в рассмотрение в п. 1, совместив нач ало координат О с центром сферы. Преобразование, заданное уравнением (14.26), переводит эту сферу в эллипсоид. Три взаимно перпендикулярных радиуса сферы переходят в группу сопряженных осей эллипсоида. Так как главные оси эллипсоида также являются такой группой, то мы видим, что в единичной сфере должны существовать три первоначально взаимно перпендикулярных нанравления, которые после преобразования становятся главными осями эллипсоида. Мы заключаем, что диаду [c.182]

Если угодно, можно ввести евклидову структуру, приняв первую форму за скалярный квадрат, и затем ортогональным в смысле этой евклидовой структуры преобразованием привести вторую форму к главным осям. [c.94]

При преобразовании системы координат к главным, осям напряжения в плоскости ГГ матрица Аг принимает вид [c.161]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Первый член в (7) называют обычно кинетической энергией и обозначают буквой Г как мы видим, в инерциальной системе отсчета в декартовых координатах кинетическая энергия есть квадратичная форма скоростей, и притом приведенная к главным осям. Если перейти для описания системы материальных точек к каким-то обобщенным координатам qi с помош,ью преобразования, не зависяш,его от времени, то кинетическая энергия останется квадратичной формой скоростей, но теперь — квадратичной формой общего вида (но положительно определенной ) с коэффициентами, зависящими от обобщенных Координат [c.25]

Ясно, что главные оси тензора < 8 ориентированы, вообще говоря, не так, как главные оси тензора напряжений. Поэтому преобразование уравнения ( ) к главным осям напряжений следует проводить по схеме, изложенной в разделе [c.83]

Преобразование координат. Приведенные в предыдущем пункте константы отнесены к главным осям кристаллов. Возникают вопросы каким образом следует вырезать и располагать в приборе пластинку из данного кристалла и вообще как будет вести себя кристаллическая пластинка, если ее грани не совпадают с плоскостями главной координатной системы [c.114]

В конкретных технических приложениях оси координат всегда выбираются по главным осям симметрии материала, следовательно, при формулировке условий (14а) или (14г) неявно предполагалась их инвариантность по отношению к преобразованиям координат. Для того чтобы установить, каким образом преобразуется критерий максимальной деформации при изменении системы координат, используем уравнение (14г), переходя. [c.418]

Анализ результатов таких экспериментов можно осуществить либо путем преобразования напряженного состояния при разрушении к одной, общей для всех испытаний, системе координат (например, совпадающей с главными осями симметрии), либо же непосредственно в системе координат, в которой производились измерения. К последнему способу мы вынуждены обращаться Б случае, когда определение главных направлений симметрии материала затруднительно если же главные направления определяются однозначно, то анализ результатов в системе координат опыта может быть использован для проверки правил, которым должен подчиняться критерий разрушения при тех или иных математических преобразованиях. Ниже обсуждаются детали непосредственного анализа данных опытов, проведенных для различных ориентаций материала. [c.478]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Таким образом, величины о / — компоненты тензора напряжений являющегося тензором II ранга. Число компонент этого тензора равно 9, однако в соответствии с соотношениями (8.1) только S из них независимы. Это означает, что тензор напряжений — симметричный и, как любой симметричный тензор II ранга, он может быть с помощью преобразования координат приреден к главным осям. Относительно этих осей недиагональные компоненты тензора обратятся в нуль, и он приобретет вид. [c.189]

Векторная гомография инерции. Соответствие между двумя векторами ю и /С, которое мы только что изучали с геометрической точки зрения и которое по отношению к любым подвижным осям аналитически представляется равенствами (30 ), а по отношению к главным осям инерции относительно точки О — равенствами (30" ), является первым примером тех взаимно однозначных соответствий между (переменными) векторами, которые по отношению к какой-нибудь системе отсчета устанавливаются путем определения составляющих одного из двух векторов в виде линейных функций от составляющих другого. Это так называемые векторные гомографии (или аффинные преобразования) это название дал им Бурали-Форти, а Марколонго в последние годы развил их теорию ). [c.246]

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление двим ения в виде разложения по формам собственных колебаний, С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения. [c.107]

С помощью поворота координат (это преобразование называется приведением квадратичной формы к главным осям) всегда можно найти новую систему главных осей. Размеры и ориентация эллипсоида (7.2.3) зависят, разумеется, от направления приложенного поля, а также от 18 матричных элементов. Выще мы уже доказали, что в кристаллах, обладающих центром инверсии (центросим-метричностью), = 0. Вид тензора (но не его величина) может быть получен из соображений симметрии, которые позволяют установить, какие из 18 коэффициентов равны нулю, и найти соотношения между остальными коэффициентами. В табл. 7.2 представлены электрооптические тензоры для всех нецентросимметричных кристаллических классов, а в табл. 7.3 перечислены электрооптические коэффициенты для некоторых кристаллов. [c.244]

Таким образом, преобразования, ие меняющие физического смысла матрицы параметров, оказываются аналогичными тем преобразованиям которые используются обычно для приведения квадратичной формы к главным осям за счет ортогонального поворота системы координат разница состоит лишь в том, что в последнем случае обе ортогональные матрицы были бы взаимно обратны гр => —ф. Зато наша матрица параметров отличается от матрицы квадратичной формы тем, что ие обязана быть симметричной, Pi = аг. Лишняя степень произвола в допустимых преобразованиях идет как раз на уничтожение лишнего коэффициента первоначальной матрицы, и ререзультат оказывается тем же самым — описанные допустимые преобразования всегда позволяют привести матрицу параметров к виду [c.233]

Согласно соотногпениям ассоциированного закона течения, приращение пластических деформаций есть тензор, соосный тензору напряжений, что оказывается, вообще говоря, неверным для прпращенпя тензора упругих деформаций. Ясно поэтому, что преобразование уравнений совместности деформаций к главным осям напряжений проще всего осуществляется в том случае, когда упругими деформациями можно пренебречь. Мы поэтому сначала рассмотрим этот наиболее простой случай, не опираясь при этом на приведенные ранее общие формулы для физических компонент тензора < 8, а производя пепосредствеппый расчет дифференциальных операторов, фигурирующих в [c.83]

Три главных вектора Хи Х2, Хз с единичными векторами 1о(г = 1, 2, 3), определяемыми тремя системами уравнений (6.35) при g s, = gu gx=e2, ё-а.=ёз, взаимно ортогональны, и потому путем преобразования поворота системы координат квадратичные формы (6.14), (6.19). можно преобразовать к главным осям тензоров 5,.е. Обозначая 5,0 ( =1, 2, 3) —1Шордипаты волокна е( ) в главном ортонормированиом репере о, получим канонические представления форм (6.14), (6.19) [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...