Гиперболичность системы уравнений

Тем самым, так как точка М произвольна, будет установлена гиперболичность системы уравнений (1.1) в окрестности линии I на поверхности (1.4). Неравенство (2.14) в развернутом виде записывается так [c.76]

Из (2.80) следует, что s ri . Это условие совпадает с условием гиперболичности системы уравнений плоского течения сжимаемой идеально пластической среды (см. п. 2.2.). [c.73]

Условие гиперболичности системы уравнений требует, чтобы все зти корни были вещественны. Легко показать, что с = О — корень многочлена F М) с кратностью три, поэтому по меньшей мере три характеристические скорости вещественны. Но если не наложить на элементы матрицы М определенных ограничений, нет никаких гарантий вещественности остальных шести корней многочлена F( М). Это затруднение, тем не менее, легко разрешить следующим образом. Предположим, что с ф О, и исключим 6vi. из уравнений (5.10.12) — (5.10.14) при помощи (5.10.15), чтобы получить систему уравнений, содержащую только 6f и oBj . Далее, исключив oBj. из этих уравнений, получим следующее матричное уравнение, содержащее только 6f [c.297]

При расчете плоских и осесимметричных двухфазных течений в соплах возможны следующие два подхода. При первом, более точном, численно интегрируется система (7.30) — (7.37), учитывающая взаимное влияние газа и частиц. При этом для расчета течения в сверхзвуковой области сопла в силу гиперболичности системы уравнении используются маршевые методы пли метод характеристик [5, 26, 58, 59, 65]. Для расчета течения в дозвуковой и трансзвуковой областях применяется либо метод установления, либо численный алгоритм решения обратной задачи [36, 158]. [c.305]

Для нахождения условий гиперболичности системы уравнений [c.56]

Гиперболичность системы уравнений 51 [c.422]

Исключим из уравнений (2.1)-(2.4) плотность с помощью уравнения состояния (2.5), а давление с помощью (2.6), и определим тип системы уравнений (2.1)-(2.4), (2.7), записанной относительно неизвестных и, V, Т, ф, р , с учетом замены (2.8). Следуя [13, 24], характеристический анализ системы уравнений был проведен в предельных случаях невязкого и полностью вязкого течений [5, 13]. В результате такого анализа оказалось, что выражение для весовой функции (2.9) обеспечивает -гиперболичность системы уравнений для обоих предельных случаев. Это полностью согласуется с выводом [13], что математические свойства упрощенной системы уравнений, обусловленные наличием в них продольного градиента давления, фактически определяются невязкой природой акустического механизма передачи информации о структуре течения. Поэтому, для краткости, приведем характеристическое уравнение только для невязкой части уравнений [c.35]

Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем случае неустановившихся движений является ее гиперболичность. Для установившихся течений, когда распределения параметров движущегося газа в пространстве не зависят от времени, система уравнений приобретает особые свойства и при некоторых условиях утрачивает гиперболичность становится эллиптической или смешанной — гиперболической в одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической—в другой. [c.143]

В газовой динамике система уравнений (7.10) имеет две независимые переменные только при одномерных неустановившихся и двумерных установившихся движениях (см. гл. II и III). При этом в общем случае одномерных движений система гиперболична и состоит из трех уравнений. К такому же числу уравнений можно свести систему для двумерных установившихся движений (эта система может быть гиперболической, эллиптической и смешанной). В специальных случаях баротропных движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям. [c.143]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Количество различных решений типа волн Римана определяется числом линейно независимых собственных векторов. Из гиперболичности системы следует, что это число равно га. Будем дальше рассматривать одну из волн Римана, соответствующую простому корню характеристического уравнения, опуская индекс (т) у характеристической скорости. [c.32]

Тип уравнений определяется тем, являются характеристики вещественными или мнимыми. Условие гиперболичности системы можно записать в следующих эквивалентных формах [c.497]

Обе системы гиперболичны. Характеристики уравнений статики и кинематики совпадают. Дифференциальные уравнения характеристик (линий скольжения) есть [c.203]

Исследование типа задачи, произведенное в 46 в фиксированной (цилиндрической) системе координат, показывает, что уравнения этой задачи представляют собой систему двух уравнений первого порядка относительно проекций и абсолютной скорости, которая сводится к одному нелинейному уравнению второго порядка относительно функции тока ф [142]. Эта система эллиптична в частях А при М<1. а в частях Б при < 1 и гиперболична, соответственно, при М > 1 и при Мда >1- Не останавливаясь здесь на математических подробностях, отмеченных ниже, в 46, приведем наглядную физическую интерпретацию этого [c.301]

Граничное условие /(д,(р,...) = 0 в силу гиперболичности (по д) первого уравнения в системе (2.2) должно задаваться только на участках Е . Величина д на поверхности Е — Е находится в результате исследования. [c.370]

Уравнения для скоростей при условии текучести Мизеса. Рассмотрим теперь систему уравнений (51.3) для скоростей, предполагая, как обычно, напряженное состояние известным тогда система (51.3) — линейная с переменными коэффициентами. В области гиперболичности уравнений для напряжений уравнения для скоростей будут также гиперболическими, причем характеристики обеих систем совпадают. [c.219]

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с /г-конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши —Римана, /г-конформные отображения связаны с простейшей гиперболической системой [c.127]

Уравнения 1 азовой динамики (3.16) образуют систему квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка из пяти уравнений для пяти искомых функций от четырех независимых переменных. Фундаментальное свойство этой системы состоит в ее гиперболичности и описывается с помощью характеристик. Поэтому вначале уместно напомнить ряд общих фактов, связанных с понятием характеристик. [c.51]

Определение 8. Система линейных дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами называется гиперболической по отношению к функции времени, определённой на базовом многообразии, если её световая гиперповерхность гиперболична по отношению к дифференциалу этой функции во всех точках базового многообразия. [c.280]

Полученные условия гиперболичности и характеристические соотношения для системы дифференциальных уравнений [c.54]

Принцип гиперболичности системы уравнений по времени, являющейся математическим выражением физического принципа причиппо-следствеппости. [c.278]

Здесь для единообразия с общим случаем характеристические направления обозначены через и а второе уравнение дает условие на характеристиках. Именно отсутствие собственного давления во втором уравнении (4.1.6) и приводит к неги-перболичпостн. Последующий анализ показывает, что имеппо отсутствие второго (независимого от первого) давления в системе уравнений двухскоростного течения (4.1.1) делает последнюю систему негинерболической. Другими словами для гиперболично- [c.303]

Задачи теории плоского папряжеппого состояния при условии пластичности Мизеса (2.1), вообгце говоря, не являются гиперболическими, однако в рассматриваемом случае гиперболичность исходной системы уравнений имеет место. [c.354]

Система (4.1) - (4.4) того же тина, что и система уравнений течения. Она эллиптична нри г( < с и гиперболична нри ио > с. При ии > с имеется три семейства действительных характеристик, совнадаюгцих с характеристиками уравнений (1.1) - (1.7). Вдоль линий тока выполняются уравнения (4.3) и (4.4), а вдоль линий Маха [c.528]

Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало изучены. Как показал Т. Томас ), рассматриваемая система уравнений, как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах (плоская деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия текучести Треска — Сен-Венана. Существование характеристических поверхностей при этом условии отмечено Т. Томасом, которому принадлежит систематическир анализ разрывов в пластической среде. [c.100]

Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах решений системы уравнений газовой динамики (7.10), вытекающих из ее гиперболичности, в общем многомерном случае ). Важныесве- [c.143]

Для возможности приведения системы к форме (1.7) у матрицы а, должно существовать п линейно независимых собственных векторов 1 Они существуют, если все собственные значения с . ..с различны. Если же среди есть кратные, то для гиперболичности необходимо, чтобы им соответствовало столько независимых собственных векторов, какова кратность Для этого нужно, чтобы Жорданова форма матрицы а, была бы диагонгшьной с действительными элементами. Таким образом, система (1.6) называется гиперболической, если в рассматриваемой области изменения и все собственные значения с ит) матрицы [ (мт)] действительны и имеется и линейно независимых собственных векторов или, что то же самое, Жорданова форма матрицы а, диагональна с действительными элементами. Если все собственные значения К тому же различны, то говорят о гиперболичности в узком смысле. Очевидно, что для приведения системы (1.3) к форме (1.7) не обязательно приводить ее сначала к виду (1.6). Множители можно находить прямо для уравнений (1.5). В дальнейшем всегда будем предполагать, что рассматриваемая система уравнений гиперболическая. [c.19]

Отметим, что для существования рассмотренных выще стационарных простых волн необходима гиперболичность стационарной системы уравнений (6.3), (6.4), что обеспечивает наличие соответствующего семейства характеристик. Для этого, в свою очередь, нужно, чтобы скорость V движения среды относительно волны была бы достаточно больщой. [c.290]

Необходимо обратить внимание на то, что система уравнений (7) гиперболична и относительно направления оси уЗ, и относительно направления оси ф. Поэтому для нее корректна задача Коши как с начальными данными при р = onst, так и при ф = onst. Это означает, что непрерывные безвихревые сверхзвуковые течения обладают свойством эволюционности как по переменной / , так и по переменной ф. Однако при рассмотрении течений в целом необходимо учитывать возможность возникновения сильных разрывов, в том числе и контактных, и областей вихревого течения, причем свойства эволюционности могут нарушаться. Для правильного ответа на вопрос об эволюционности следует рассмотреть исходную систему (22.2) без предположений о потенциальности и изэнтропичности. [c.265]

Таким образом, при малых вторичных течениях система урав-нёний гиперболического типа сводится к системе уравнений параболического типа, т. е. система уравнений (3.62) обладает свойствами слабой гиперболичности. [c.164]

Из формулы (15.8.7) следует, что при т 1<1 существует два семейства характеристик, соответствуюпщх знакам плюс и минус в формуле (15.8.7). В этом случае система (15.8.4) называется гиперболической. Если т 1>1, то формула (15.8.7) определяет мнимые направления, и система (15.8.4) называется эллиптической. Метод характеристик, т. е. отыскание соотношений вдоль характеристик из условия Z)p, i = О, для эллиптической системы не приводит к цели. Наконец, промежуточный случай, когда т = 1 и оба семейства характеристик сливаются, соответствует параболической системе исходных дифференциальных уравнений, В зависимости от вида условия пластичности в теории пластичности встречаются все три случая при этом гиперболическая задача оказывается наиболее простой, для нее. разработаны эффективные методы решения. Дальнейшее изложение будет ограничено почти исключительно случаем гиперболичности уравнений пластичности. [c.502]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Глобальное различие в поведении общей и гамильтоновой динамической системы проявляет себя локально в особых точках. Аналогично, в теории гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными поведение лучей и волновых фронтов в общих и в ва риационных системах существенно различны в окрестностях особых точек нестрогой гиперболичности, в то время как в остальных точках распространение волн в обоих случаях одинаково. [c.276]

Определение 5. Система дифференциальных уравнений с частными производными называется гиперболической (по отношению к временноподобному направлению), если её гиперповерхность Френеля гиперболична (по.отношению к соответствующей временноподобной точке). [c.277]

Доказательство. Световая гиперповерхность находится в пространстве проективизованного кокасательного расслоения РТ К — над плоскостью пространства-времени. Слои этого расслоения являются лежандровыми подмногообразиями. Касательная прямая к слою в вершине конуса принадлежит контактной плоскости. В эллиптическом случае эта контактная плоскость ( 2 = 0) пересекается с вещественным конусом только в вершине. Следовательно, некоторые из близлежащих слоёв не пересекают световую гиперповерхность в некоторой окрестности особой точки, тогда как другие слои пересекают её дважды. Таким образом, характеристическое уравнение должно иметь комплексные корни в некоторых точках пространства-времени, то есть система не гиперболична. [c.289]

Лемма 1. В нестационарном случае система уравпе-ний (2.2.4) всегда гиперболична. В стационарном случае система гиперболична, если одиовремеино выполнены неравенства VI ><21, г 2> 2. Заметим, что уравнения энергии системы (2.2.4) вдоль линий тока записываются в полных производных, т. е. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...