Уравнение колебаний пузырька

При изучении динамики пузырьковой жидкости с использованием ЭВМ основное машинное время уходит на интегрирование уравнения Рэлея в каждом узле сеточной области. В связи с этим важное значение приобретает выбор наиболее экономичного метода интегрирования. Ниже описаны несколько алгоритмов решения уравнения колебаний пузырька газа. Определены наиболее экономичные и наиболее устойчивые к изменению давления алгоритмы. Интерес к различным алгоритмам интегрирования уравнения Рэлея связан также с тем, что варьирование их при решении конкретной задачи гидроупругости позволяет в какой-то мере судить о точности результатов расчетов. [c.95]

Алгоритм в перемещениях. Радиус пузырька представим в виде Я = RQ + 10, где гю — перемещение стенки пузырька, В результате уравнение колебаний пузырька можно записать так [c.97]

Рэлея — Ламба уравнение 122. 130, 183, 199, 204, 268 Рэлея режим роста и схлопывания парового пузырька 292 Рэлея — Тейлора неустойчивость 258 Сдвиг фаз при вынужденных радиальных колебаниях пузырька 306 Седиментация 180 [c.335]

Клейна — Гордона уравнение 14 Колебания пузырьков вынужденные 11, 19, 160 Концентрация компоненты в фазе 4, 307 [c.353]

Дополнительно к предположениям предыдущего пункта положим, что колебания пузырька малы, т. е. V = Уо У1, где У возмущение объема пузырька, Уо У1. Пренебрегая величинами второго и более высокого порядка малости в уравнении для У, получаем [c.22]

Здесь суммирование производится по всем пузырькам 7 (/= 1, 2, 3. ..), содержащимся в единице объема среды. Наиболее значительное ограничение теории пузырьковой жидкости связано с предположением о малости газосодержания в смеси и отсутствии взаимодействия между пузырьками. Это предположение позволяет описывать колебания пузырьков уравнениями Рэлея [c.36]

Учет перемещ,ения пузырьков газа. Выше получены уравнения колебаний неподвижных пузырьков в ансамблях. Учтем влияние поступательного перемещения пузырьков. Исходим из работы [121], где выведены уравнения, описывающие параметры радиального и поступательного движения двух взаимодействующих пузырьков. Для случая цепочки пузырьков уравнения определяющие и расстояния центров пузырьков Х1 от неподвижного начала отсчёта можно записать в следующем виде [c.41]

Линейная цепочка пор. Путь обобщения результатов. Используя предположения и обозначения, введенные при рассмотрении цепочки пузырьков, получаем уравнение колебаний произвольной /-Й поры цепочки [c.44]

Выражения (IV.2), (IV.3) позволяют построить решение уравнения Рэлея и в случаях переменного р. Для этого разбиваем временной интервал колебаний пузырька на конечное число шагов, предполагая, что давление скачкообразно меняется от шага к шагу, оставаясь постоянным на каждом временном слое т. В качестве начальных условий на каждом шаге интегрирования используются данные расчетов с предыдущего шага. Алгоритм вычислений сводится к последовательному выполнению на т + 1)-м шаге решения задачи следующих [c.96]

Для изучения нелинейных волновых процессов в рассматриваемой среде уравнения гидродинамики должны быть дополнены уравнением малых колебаний пузырька воздуха в воде. Считая жидкость идеальной, в одномерном случае имеем [c.169]

Если решать исходную полную систему уравнений пульсаций парового пузырька во втором (квадратичном) приближении, то можно убедиться, что действие звукового поля на паровой пузырек, кроме того, что оно вызывает вынужденные колебания пузырька, приводит также к постепенному увеличению его среднего радиуса. Здесь мы сталкиваемся с явлением, имеющим сходство с явлением [c.151]

На основе нелинейного уравнения состояния, полученного в [54], для длинноволнового акустического возмущения в смеси жидкости с распределенными по размерам пузырьками газа получены и исследованы модельные уравнения в случае адиабатических и изотермических колебаний пузырьков определены зависимости скорости и поглощения от частоты в области низких частот. Там же рассмотрены процессы образования акустической волны с частотой второй гармоники и волны разностной частоты, что имеет значение для работы гидроакустических параметрических антенн. [c.168]

Будем рассматривать плоскую монохроматическую ю-волну, частота которой сравнима по порядку с частотой свободных адиабатических колебаний газового пузырька. Данная постановка позволяет ввести эффективную вязкость жидкости (ц) для учета межфазного теплообмена вместо использования уравнения теплопроводности вокруг "пробного пузырька. Введение эффективной вязкости оправдано для колебательного режима радиального движения пузырька, когда главными характеристиками этого движения являются частота колебаний и их амплитуда, изменение которой определяется диссипацией [4]. В качестве условия для выбора естественно взять условие совпадения декремента затухания колебаний пузырька из-за тепловой диссипации с декрементом затухания свободных адиабатических колебаний газового пузырька, затухание колебаний которого происходит лишь под действием вязкостных сил на меж-фазной поверхности [4, 5] [c.61]

Из последнего уравнения (5.8.13) и (5.8.15) можно получить выражение для комплексной амплитуды колебания радиуса пузырька Ао через заданную амплитуду колебаний давления жидкости па бесконечности [c.304]

Перейдем к определению кинетической энергии движения жидкости вызванного пульсационным и поступательным движением пузырьков. С этой целью запишем уравнение, описывающее колебание системы пузырей в жидкости, в терминах функции К (и, Щр, г, В) [c.116]

Введение Иэф вместо jii вносит погрешность в уравнение радиального движения, II оно оправдано для колебательного режима радиального движения пузырька, когда главными характеристиками этого движения являются частота колебаний и их амплитуда, изменение которой определяется диссипацией. [c.125]

Таким образом, газовый пузырек при давлении в нем, отличающемся от внешнего, будет совершать незатухающие гармонические колебания. Из уравнений (1.2.24), (J.2.25) легко найти экстремальное значение радиуса пузырька (R Ф Ro), при котором скорость движения его границы обращается в нуль, а также значение критического радиуса, при котором скорость сжатия газового пузырька достигает максимума. В первом случае необходимо положить в (1.2.24) = О, а во втором — в (1.2.25) = 0. Тогда после промежуточных преобразований экстремальный радиус пузырька находится как решение уравнения вида [c.27]

Кавитацией принято называть образование в жидкости разрывов (кавитационных полостей, каверн, кавитационных пузырей) под действием больших растягивающих напряжений, возникающих либо при обтекании помещенных в жидкость тел, либо при распространении в ней ультразвуковых колебаний. При колебаниях давления в объеме жидкости кавитационные пузырьки попеременно возникают и исчезают, оставаясь приблизительно в одном и том же участке жидкости. В текущей жидкости кавитационные пузыри возникают там, где при увеличении скорости давление в потоке в соответствии с уравнением Бернулли снижается до величины давления насыщенного пара. Затем кавитационные пузыри уносятся потоком, попадают в зону повышенного давления и разрушаются (схлопываются). Объем кавитационного пузыря может быть от долей кубического [c.53]

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5] [c.110]

Учет взаимодействия колебаний несущей среды с пульсационным движением пузырька позволил установить, что вибрационная сила, действующая на пузырьки в потоке, значительно превосходит вибрационную силу, действующую в том же потоке на твердую частицу [5] Анализ решений уравнений (33) и их устойчивости поз- [c.112]

Приравнивая (7.7) и (7.8), получим уравнение, определяющее движение стенки пузырька при изотермических колебаниях с постоянной массой газа [c.260]

Вынужденное рассеяние звука (ВРЗ) в жидкости с газовыми пузырь ками [Заболотская, 1977, 1984]. В процессе рассеяния звука на пузырьках происходит раскачка их пульсаций и интенсивность рассеяния растет. Пусть все пузырьки имеют одинаковые радиус Ro и добротность Q вблизи резонансной частоты uiq. Этот случай аналогичен вынужденному комбинационному рассеянию света при взаимодействии с внутримолекулярными колебаниями, имеющими заданную резонансную частоту. Такая задача (в одномерной постановке) сводится к решению волнового уравнения [c.196]

Механизмы односторонне направленных движений пузырей, обусловленные волнами на свободной поверхности жидкости. Анализ системы (8), которая приведена к стандартной форме для последующего применения метода усреднения, показывает, что в шестом уравнении имеется произведение гармонических с частотой колебаний полости членов. Это последнее произведение описывает механизм односторонне-направленного перемещения пузырей в жидкости, в которой колебания центра масс пузырька и пульсации его радиуса происходят с одинаковой частотой. Именно этот механизм и лежит в основе дрейфа пузырей в трубе, заполненной вязкой жидкостью, когда перепад давлений на концах трубы — периодическая функция времени. Все движения, исследованные в предыдущем разделе 1, обусловлены действием именно этого механизма. Что касается движений пузырей в баках, то действие этого механизма приводит к возникновению вибрационной силы, обеспечивающей затопление пузырей. Она может быть вычислена исходя из исследования одномерных уравнений движения пульсирующего пузыря. По-видимому, впервые данная вибрационная сила была описана еще в пятидесятых годах прошлого века в работе [2].Члены, определяющие [c.319]

I2 l l/n = 0 ne выполняется) могут быть представлены следующим образом (в седьмом и восьмом уравнениях членами, пропорциональными произведению амплитуды свободных колебаний радиуса пузырька на квадрат амплитуды колебаний свободной поверхности жидкости, пренебрегаем по сравнению с членами, пропорциональными амплитуде свободных колебаний радиуса пузырька) [c.320]

Последние два уравнения системы (9) показывают, что в рассматриваемом приближении амплитуды колебаний радиуса пузыря с частотой его свободных колебаний затухают. Поэтому ниже ограничимся рассмотрением лишь таких движений, для которых 7 = О и 8 = О, т. е. пульсации пузырьков имеют характер только вынужденных колебаний. [c.321]

Следует подчеркнуть, что приведенные траектории получены интегрированием усредненных уравнений, которые описывают так называемое медленное движение. Поэтому реальное движение пузырьков будет носить более сложный, чем показано на рис. 3, характер. Оно может отличаться колебаниями с частотой, кратной частоте внешних вибрационных воздействий, и амплитудой, пропорциональной амплитуде колебаний жидкости. Кроме того, следует иметь в виду, что при попадании траекторий пузырьков в зону, где интегральное многообразие, совпадающее с плоскостью Сз = О становится неустойчивым (рис. 2 б), движение перестает быть плоским, пузырек сходит с плоскости и траектории его становятся еще более сложными пространственными кривыми. Такими же сложными пространственными кривыми будут траектории пузырьков, не лежащих в начальный момент времени на устойчивых частях интегральных многообразий. [c.324]

В частном случае отсутствия колебаний градиента давления при е = О, т. е. в случае свободного плавания пузырей в покоящейся жидкости, из последнего уравнения системы (6) получаем соотношение между давлениями внутри (ро) и снаружи (Ро) пузырька, которые обеспечивают статическое равновесие пузырька радиуса Я = 1 [c.751]

Рассмотрим четыре последних уравнения системы (12). Отметим, что в пятое и шестое уравнения переменные 7 и 8, представляющие собой усредненные амплитуды пульсаций пузырьков с частотой собственных свободных колебаний С1, не входят. Поэтому эти два уравнения можно рассматривать отдельно и независимо от двух последних. Величина 1, фигурирующая в коэффициентах шестого уравнения (12), находится из решения первых четырех уравнений (12). Ограничиваясь здесь частным решением (13), получаем, что вместо следует подставить постоянные Таким образом, в рассматриваемом частном случае движение пузырьков вдоль своих прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы, описывается пятым и шестым уравнением системы (12), в которых принято 1 = С Значения в коэффициентах шестого уравнения системы (12) рассматриваются в дальнейшем как числовые параметры. [c.755]

Отметим, что в сечении трубы 2 = 0, что соответствует = О, внешнее давление вблизи пузырей в окружающей их жидкости согласно (5) постоянно и равно Ро-Следовательно, в этом сечении пузырьки находятся в равновесии и не пульсируют. Отметим, что для других сечений трубы Ж5 О давление в окружающей пузырьки жидкости непостоянно и совершает колебания с частотой вынуждающих внешних воздействий. Причем с удалением от сечения Ж5 = О амплитуда колебаний давления в окружающей пузырьки жидкости, а следовательно, и амплитуда соответствующих пульсаций пузырьков, возрастают. Вместе с этим возрастает по модулю и подчеркнутый двумя чертами член в шестом уравнении системы (12). Именно этот член и определяет упоминавшуюся выше вибрационную силу и односторонне [c.755]

Аналогично (4.6.34) это уравнение выявляет стационарную скорость дрейфа пузырьков, если со сОг. Полученная вибрационная сила Г направлена от источника колебаний п связана с вязкостью [c.161]

Взаимодействие двух сферических пор. Используя аналогию между динамикой пузырьков газа в жидкости и пор в вязкопластических металлах, очевидную из сопоставления (П. 11) и (11.28), записываем уравнения взаимосвязанных колебаний двух пор [c.43]

При выводе этого уравнения в исходной системе уравнений использовалось, кроме уравнения сохранения массы и количества движения для однородной газожидкостной смеси, уравнение Херинга-Флина, характеризующее колебание пузырьков с учетом диссипации энергии на вязкие потери и акустическое излучение. Как справедливо замечено в [36], попытка такой записи уравнения состояния газожидкостной смеси является некорректной, так как рассматривает колебание одиночного пузырька в бесконечной среде несжимаемой жидкости и не учитывает, таким образом, влияние колебания близлежащих пузырьков друг на друга. В этой же работе в качестве уравнений состояния среды используются обобщенные уравнения Рэлея-Ламба. От аналогичных уравнений для одиночного пузырька они отличаются поправками на газосодержание /3. В [36] с помощью уравнений сохранения, уравнений Рэлея-Ламба и уравнения политропы получено уравнение БК в виде [c.45]

В заключение этого раздела заметим, что аналогичные формулы для пузырьков и дпя полостей нетрудно объединить, рассмат жвая полость, заполненную газом. Дпя этого достаточно в правую часть уравнения колебаний полости (4.21) добавить внутреннее давление в соответствии с (4.17) и использовать для уравнение адиабаты (3.5). Тогда получим V/u = G,V + P(2VV+V )-K(p -[jji ), (4.33) [c.27]

Теория образования, роста и захлопывания газовых пузырьков (газовая кавитация) первоначально развивалась для несжимаемой идеальной жидкости для случая одиночного сферического пузырька. Далее были уточнены уравнения динамики пузырька с учетом ежи-маемости, вязкости и теплопроводности, конечности амплитуды колебаний стенки пузырька. Наконец, в этой теории был произведен учет несферичности колебаний пузырька, в особенности вблизи его резонансных частот и при достаточно больших амплитудах звука. Было показано, что несферичность колебаний и возникновение струек жидкости у захлопывающихся пузырьков, если они находятся вблизи твердой поверхности, является одной из причин кавитационной -эрозии твердых тел. Теоретические исследования далее стали развиваться применительно к динамике паровых пузырьков (паровая кавитация), которая имеет много общего с динамикой газового пузырька, однако имеются и существенные различия. [c.139]

Различия менаду известными решениями проблемы динамической диффузии состоят в выборе способа преодоления остальных трудностей. Так как уравнение диффузии (18) линейно относительно (d Idr) г=н, полный диффузионный поток приблизительно равен сумме диффузионных потоков, возникающих за счет колебаний пузырька и постоянного потока, вызванного звуком около пузырька. В соответствии с этим можно поставить две отдельные задачи о нахождении диффузионных потоков за счет каждого из этих эффектов. [c.264]

При малых возмущениях (Аа <С а) одиночного пузырька в безграничной жидкости, несмотря на малость скоростей жидкости по сравнению со скоростью звука ivi <С i), может сказаться акустическое излучение энергии в бесконечность, значение которого определяется величиной awlAa i (см. (5.5.17)). В случае свободных колебаний рао = onst) этот эффект можно учесть, если вместо (5.5.16) исходить из уравнений (5.5.16а) или (5.5.166), которые после линеаризации вместо последнего уравнения дают уравнение [c.296]

При малых возмущениях (у1<1) одиночного пузырька в безграничной жидкости, несмотря на малость скоростей жидкости по сравнению со скоростью звука Wi< i), может сказаться акустическое излучение энергии в бесконечность, значение которого определяется величиной WiJA i (см. (2.4.18)). В случав свободных колебаний (р = onst, Pi = 0) этот эффект можно учесть, если вместо (2.4.17) исходить из уравнений (2.4.17а) или (2.4.176), которые после линеаризации в этом случае приводят к дополнительному слагаемому в правой части последнего уравнения в (2.7.6) [c.209]

Упругий предвестник. Использование принятой здесь гомоба-рической схемы с однородным давлением таза в пузырьке оправдано, когда период колебания 2п/ш много больше временп пробега звуковых волн в газе внутри пузырька а/С)). Использование уравнения Рэлея— Ламба, в котором радиальная инерция жидкости создается всей присоединенной массой, характерной для несжимаемой ншдкости, оправдано, когда период колебании 2я/и много больше времени пробега звуковых волн в жидкости на расстояния порядка радиуса ячейки 7 , прттходящейся на один пузырек [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...