Сходимость решения монотонная

В задачах по теоретическому обоснованию теплофизических методов монотонного режима среди перечисленных способов решения уравнения (1-1) более предпочтительным представляется способ последовательных приближений, так как он дает быструю сходимость решений и отличается несколько большей наглядностью, простотой и универсальностью. [c.8]

Из предыдущего может показаться, что все типы элементов, для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны, ио это далеко ие так. Нельзя игнорировать того, что на практике очень важна точность. Если. результаты при конечном размере элемента, диктуемом экономией вычислений, дают большую погрешность, то наличие элемента, который дает сходимость результата к точному решению по мере стремления размера элемента к нулю, является слабым утешением. Как можно иа практике определить точность вычисленного решения Ответ таков в общем случае никак. Одним из двух способов, однако, часто можно получить достаточный показатель точности. Первый состоит в том, что с помощью таких же элементов решается аналогичная задача с известным аналитическим решением. Определенная таким образом ошибка может быть использована для оценки ошибки в рассматриваемой задаче. Второй метод требует того, чтобы тип сходимости был предварительно определен для конкретной формулировки метода конечных элементов и для конкретной задачи. Если известно, что сходимость улучшается монотонно ) по мере уменьшения размеров сетки, то можно решить задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами и для получения оценки сходимости решения экстраполировать результаты. [c.175]

Точность решения можно повысить, если на одном из промежуточных этапов перейти к системе конечных элементов с большим числом узлов, определив значения перемещений на этом этапе во вновь введенных узлах интерполированием и далее продолжив процесс варьирования. При этом контроль сходимости процесса последовательных приближений удобно вести по полному значению функционала (6.78), которое должно монотонно стремиться к минимуму. [c.253]

Для сравнения кинематических моделей оболочки достаточно, очевидно, сопоставить решения уравнений (3.55), составленных для рассматриваемых моделей. Заметим, однако, что этот вывод подтверждается результатами анализа поведения решений уравнений типа (3.45), полученных в [84]. В упомянутом исследовании (см. также работу [81]) доказана монотонная сходимость последовательных приближений решения рассматриваемой задачи, г. е. последовательностей собственных чисел усеченных операторов задач рассматриваемого типа [c.147]

Результаты, приведенные в пп. 5.2.2, 5.2.3, прошли успешную апробацию при решении ряда новых задач [22—26]. Применялась консервативная монотонная схема 2-го порядка аппроксимации (3.30) — схема О. В области низких и умеренных Ка параметры релаксации принимались обычно дт = д =, 9ш=1,5 и обеспечивали хорошую скорость сходимости. Для получения стационарных решений при больших Ка применялся алгоритм стабилизации, построенный в п. 5.2.3. Величина О задавалась соотношением (5.5) или по близкой формуле. Структуру сходимости оказалось иногда лучше рассматривать на промежутке [Л ], так как при N0= [0 /2] итерационный процесс не всегда мог в достаточной степени развиться. При этом достигалось установление итераций, которое не имело места при дт = да = д, ,= 1. Как правило, процесс сходился за число итераций, соизмеримое с достигнутым на тестовых задачах. Если скорость сходимости была неудовлетворительной (а это случалось на сетках, отличных от рассмотренных при численном эксперименте), повысить ее удавалось путем изменения (обычно в сторону увеличения) коэффициента к в формуле (5.5), но не более чем в 2 раза. [c.140]

Решение, строго соответствующее принципу минимума потенциальной энергии, при построении Пр требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлементной совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия на границах, разделяющих элементы. Как было показано в разд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем преимуществом, что для них могут быть установлены границы изменения определенных параметров решения. Кроме того, можно доказать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сетки разбиения [8.1, 8.2]. [c.229]

Вначале выбирается функция (х, у), монотонно возрастающая по у, которая удовлетворяет граничным условиям на внешней (жидкой) и внутренней (твердой, непроницаемой) границах пограничного слоя. Эта функция обязательно содержит б (л ), потому что она удовлетворяет граничным условиям на жидкой границе пограничного слоя. Затем эту функцию подставляют в (6.40) и получают уравнение с одной неизвестной б (л ). Определив величину б (х), ее вводят в принятое распределение продольной компоненты скорости. Полученное таким образом распределение скорости Uy. (Ху у) подставляют в выражение для рух и вычисляют его. Чтобы убедиться в правильности ответа, необходимо повторить вычисления с несколько усложненной исходной функцией для распределения скорости Ux (х, у), которую следует рассматривать теперь в качестве второго приближения к точному решению. Если первое и второе приближения по трению отличаются друг от друга незначительно, то полученное решение близко к точному. В противном случае вычисления повторяют вновь для третьего приближения. Точное исследование сходимости этого процесса, насколько известно, еще не выполнено. [c.262]

На этом рисунке видно, что условие ф (хд) / О заставляет выбрать начальную точку достаточно близко от окончательного решения, для того чтобы в ряду итераций не было ни одной точки с горизонтальной касательной. Это условие является необходимым условием сходимости (монотонности функции в окрестности решения), которое не всегда легко выполняется, но для которого можно сформулировать собственные критерии для каждого типа решаемой задачи. [c.78]

Однако, когда начальная точка хорошо выбрана и выполняется критерий монотонности для производных, метод Ньютона-Рафсона дает очень хорошую сходимость. Часто достаточно менее десяти итераций, чтобы получить решение с высокой точностью (е = 0,001), [c.81]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Другой довольно сложной проблемой при рассмотрении метода Ньютона является выбор начального приближения. Итерационный процесс не обязательно монотонно сходится к решению. Ни монотонной, ни простой сходимости нельзя гарантировать вовсе. [c.412]

Анализ полученных зависимостей позволяет установить монотонный характер процесса сходимости при увеличении числа гармоник как для модуля, так и для фазы коэффициента отражения. Наибольший вклад в решение вносят гармоники, структура поля которых близка к структуре возбуждающей волны Ню- Выбор таких 142 [c.142]

Обращаясь к рассмотренным ранее конечным элементам, Вадим, что треугольный элемент с линейным полем перемещений (см. 5.1) и совместный прямоугольный элемент (см. 5.2) удовлетворяют условию полноты. Это непосредственно следует из формул <5.1) и <5.16) для перемещений и , Uy, в которых представлены полные полиномы первого и нулевого п<фядк№. Поскольку эти элементы являются также совместными, то они обеспечивают монотонную сходимость решения к точному при сгущении сетки. Погрешность аппроксимации перемещений убывает при этом в обоих случаях по крайней мере как где I — длина наибольшей стороны элемента. Как показы- [c.211]

Таким образом, мы доказали, что плоские изопараметри-ческие элементы удовлетворяют условию полноты. Следовательно, их использование обеспечивает монотонную сходимость решения. Аналогично доказывается свойство полноты для одно-и трехмерных изопараметрических конечных элементов. [c.213]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Здесь под сходимостью мы понимаем следующее при бесконечном уменьшении размеров элементов ошибки в определении величины X стремятся к нулю. Это иногда позволяет сказать, что решение, полученное при одном разбиении, заведомо лучше решения, полученного при другом. Очевидно, что в смысле определения величины х [формула (3.2)] это утверждение справедливо, еслн функция формы первого типа разбиения включает все функции формы второго типа разбиения. Именно такой случай возникает, когда новое разбиение получается последующим делением более крупных элементов. Сходимость по X при этом будет монотонной. Это обстоятельство впервые было установлено Мелошем в 1963 г. [8]. [c.47]

Как было показано Оденом [11], монотонная сходимость метода Ритца к точному решению имеет место, еслн [c.175]

Число (нелинейных) уравнений равно числу неизвестных коэффициентов, т. е. размерности пространства пробных функций 5 . Для двух описанных выше классов можно доказать существование такого решения Ф и его сходимость к и при условии, что на оператор наложены подходящие требования непрерывности. В самом деле, схема одного из возможных доказательств существования решения и такова доказывается существование Ф в конечномерном пространстве и дается априорная оценка, устанавливающая, что все Ф принадлежат некоторому компактному множеству тогда последовательность Ф должна иметь предельную точку при /г 0 этой точкой и будет и. Сиарле, Шульц и Варга [С6] показали, что оценки ошибки для линейных и нелинейных монотонных задач отличаются незначительно. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...