Вероятность предельная или стационарна

Финальные вероятности состояний характеризуют систему в предельном стационарном режиме. Во многих случаях, когда процесс в системе длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении вероятностей pi t) при t- oo. Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются простейшими (т. е. стационарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями hj), то в некоторых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности состояний [c.82]

Коэффициент простоя является финальной вероятностью неработоспособного состояния восстанавливаемого объекта с конечным временем восстановления и может быть истолкован, как среднее относительное время пребывания объекта в этом состоянии в предельном стационарном режиме эксплуатации. Хотя коэффициент простоя определен как асимптотическая величина при t- , его можно использовать при любых конечных значениях времени t, для которых k t)— /г)< е, где е — заданная погрешность (например, в =0,01). [c.83]

Ибрагимов И. А. Некоторые предельные теории для стационарных процессов.— Теория вероятностей и ее применение, вып. 2, [c.54]

Перейдем теперь к влиянию уровня напряженности на выбор метода расчета. Нестационарные случайные нагрузки характеризуются кратковременностью действия и высоким уровнем напряженности. Типичной задачей, возникающей в связи с расчетом на нестационарное случайное воздействие, является оценка вероятности выхода конструкции из строя в результате однократного интенсивного воздействия. В простейшей постановке задача состоит в определении вероятности того, что некоторая величина я t) (характерное усилие или напряжение) превысит предельное значение Sf, хотя бы один раз (см. фиг. 1, а). Если по характеру работы конструкции случайное воздействие повторяется многократно, то задача состоит либо в определении полной вероятности превышения предельного значения 5, либо в оценке остаточной деформации, накопленной к концу срока эксплуатации конструкции. В последнем случае, однако, целесообразно трактовать нагрузку как стационарную или квазистационарную. [c.25]

При не слишком малом т распределение р У х х,1а) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по не-пересекающимся интервалам времени продолжительности > Т, и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов ). Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения К(т) при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях рас- [c.472]

Мы видим, что для диффузии в поле однородной стационарной турбулентности полуэмпирическое уравнение (10.49) (с постоянными коэффициентами диффузии Kij) выполняется лишь при t to + Т, но при таких t зато может быть обосновано весьма убедительно (оно вытекает из нормальности распределения вероятностей для К(т), очень правдоподобного в силу центральной предельной теоремы см. выше п. 9.3). Заметим, однако, что этом случае ценность уравнения (10.49) оказываете довольно ограниченной, так как обш,ее выражение для )Ь X, t) здесь может быть сразу выписано и независимо от этого уравнения (например, исходя из равенств (10.5) и (10.12)). Поэтому основная ценность полуэмпирической теории заключается в возможности ее применения к более общему случаю неоднородной (или нестационарной) турбулентности, к которому мы теперь и перейдем. [c.532]

Наиболее интересное явление, описываемое стохастическими моделями, — это случайные переходы между различными стационарными режимами. Такой эффект принципиально невозможен в детерминистской динамике. Даже если они и обладают несколькими стационарными состояниями, их эволюция (в смысле динамики численности) однозначно определяется начальными условиями. При этом на достаточно длительном отрезке времени численность оказывается (и остается далее) вблизи устойчивого равновесного значения или предельного цикла. Совсем иная картина наблюдается, если система находится в случайной среде. Внешние флуктуации (а для популяций и сообществ - и случайные отклонения в интенсивности внутри- и межвидовых отношений) постоянно выводят систему из равновесных режимов, а иногда и из областей их притяжения. Таким образом, на больших временных интервалах существенную роль продолжает играть структура всей системы, что представляет собой действительно динамическое равновесие системы с окружающей средой. В этом случае важнейшей характеристикой сообщества или популяции становится вероятность попасть в условия, ведущие к вырождению. В свою очередь, вероятность и характерное (среднее) время пребывания сообщества в областях устойчивых режимов могут служить мерой устойчивости данного сообщества по отношению к случайным воздействиям. [c.353]

Если эффективность катодного процесса относительно невелика большая катодная поляризуемость), то наиболее вероятно пересечение катодной кривой ЕкК на активном участке анодной кривой (точка А) и установление высоких скоростей коррозии системы в активном состоянии, соответствующих току (рис. 37, а). Стационарный потенциал коррозии такой системы Ех,, будет находиться между начальным равновесным потенциалом анодного процесса и потенциалом пассивирования Еа, т. е. Еа Ех, <С - п- Очевидно, что для этого случая плотность катодного тока гк, при потенциале пассивирования Еа будет меньше, чем предельный ток пассивирования in, а при потенциале полного пассивирования Ец катодный ток меньше, чем ток полного пассивирования inni т. е. Ik, in и inn- [c.58]

Аналогия между движением ансамбля систем в фазовом пространстве или стационарным потоком в несжимаемой жидкости и графическим изображением случая одной степени свободы, апеллирующим к нашей геометрической интуиции,, достаточна для того, чтобы показать, каким образом сохранение фазовой плотности, требующее сохранения среднего значения показате.тгя вероятности фазы, может оказаться совместимым с приблия ением к предельным условиям, в которых [c.148]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

Следовательно, статистическая задача для уравнения (3.40) полностью описана. Переход к задаче (3.35 ) осуществляется, как говорилось выше, при (, Т -> оо, если (Т — г) — фиксированная величина. Однако, как легко видеть, уравнение (3.48) не дает стационарного распределения вероятностей и, следовательно, все статистические характеристики величины (7 ( , Т) нри этом предельном переходе стремятся к оо, что полностью противоречит приближению Бурре (и лестничному приближению для уравнения Бете — Солпитера). Со статистической точки зрения уравнение (3.35 ) бессмысленно. [c.175]

Механизм образования пористого слоя. При анодировании алюминия в кислых ваннах, по-видимому, одновременно образуется как окисел, так и растворимая соль, но в первой стадии будет образовываться непрерывная компактная окисная пленка, обладающая примерно постоянной толщиной, так как если толщина в какой-либо точке пленки мгновенно станет меньше, чем в другом месте, ток будет концентрироваться в этом месте и толщина будет восстановлена. Однако, когда мы приближаемся к предельной толщине (14,5 А/е), рост компактной пленки должен становиться медленным однако нет ничего такого, что могло бы задержать дальнейшее утолщение пленки при образовании внешнего пористого слоя в результате одновременного возникновения окиси алюминия и сульфата алюминия (фиг. 59, стр. 226). Если предположить, что толщина компактного барьерного слоя много меньше, чем предельная толщина, то становится ясно, что движение ионов алюминия через пленку будет непрерывным, так как раствор является хорошим проводником и большая часть падения э. д. с. будет приходиться на барьерный слой. Часть катионов алюминия, движущихся наружу, будет переходить в раствор, образуя то, что в действительности является раствором сульфата Алюминия и, таким образом, сохраняя пористую пленку, в то время как другая часть будет образовывать свежий окисел на твердой части пористой пленки, выталкивая наружу уже присутствующее твердое вещество, так что пористая пленка непрерывно и неограниченно растет Раствор в порах, вероятно, становится менее кислым, чем раствор в толще ванны, но кислотность вообще не будет исчезать. Отношение АР /Н+ становится стабильным при некотором значении по следующим причинам. Если анодным продуктом являлся только твердый окисел, то значение pH будет постепенно падать, так как б ионов ОН" расходуется на получение одной молекулы А1аОз, если продуктом был только А1 , pH должно возрастать, так как ионы Н + будут переносить больше тока, чем АР+ и ЗО -, что приводит к тому, что область в нижней части пор становится обедненной ионами Н" . Некоторое падение pH будет неблагоприятно для образования твердого окисла, а некоторое повышение будет неблагоприятно для образования ионов А " ". Таким образом, устойчивое состояние должно, в конце концов, установиться так, что pH либо повышается, либо падает, и это состояние способствует также стандартизации пористости структуры пленки. Структура внешнего пористого слоя может быть, однако, объяснена она может быть представлена в виде ряда гексагональных ячеек, каждая из которых имеет в центре пору, заполненную раствором (фиг. 60) свежая окись алюминия осаждается у основания ячейки и постепенно выталкивается наружу в действительности, однако, кислород движется внутрь, соединяясь с водородом (в воду) вдоль центральных каналов и затем наружу ячейки, соединяясь с алюминием положение водорода относительно стационарно, так как внутреннее движение водорода (с образованием воды) грубо уравновешивается внешним дви- [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...