Мультипликатор уравнения

Собственные значения р для этой системы называются мультипликаторами. Они суть решения характеристического уравнения монодромии [c.239]

Пусть теперь при е = 0 характеристическое уравнение (5) системы (3) имеет только чисто мнимые корни го (А =1, 2,. .., п). Тогда уравнение (14) при е = 0 имеет только такие корни (мультипликаторы), модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых е, отличных от нуля. [c.399]

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Для исследования потери устойчивости циклом с мультипликаторами, близкими к 1, необходимо изучить семейство уравнений [c.62]

Утверждение. Если описанное в начале параграфа поле Vq не имеет контуров и гомоклинических траекторий, то в окрестности Vo в % М) всюду плотны векторные поля Морса— Смейла. (Всюду ниже г 2, если vq не имеет положений равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения в них и циклов с мультипликаторами е- " в противном случае г З). [c.138]

Ограничимся только описанием алгоритмической части процедуры построения матрицы L( ) Пусть Х( ) — фундаментальная матрица системы (3), нормированная условием Х(0) = а и s/. — действительная и мнимая части собственного вектора матрицы Х(2тг), соответствующего мультипликатору ри- Векторы г/. и Sk удовлетворяют системе линейных уравнений [c.549]

Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр. В приложениях матрица Н( ) системы (3) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе дли системы (3) состоит в определении тех значений параметров, при которых ее характеристическое уравнение (14) имеет корни (мультипликаторы) с модулями, большими единицы. Иными словами, эта задача состоит в нахождении тех значений параметров, при которых система (3) неустойчива. Ограничимся рассмотрением того частного случая, когда функция Гамильтона соответствующая системе (3), представляется в виде сходящегося ряда по степеням малого параметра е [c.550]

Рассмотрим зависимость мультипликаторов системы (3) (а следовательно, и ее характеристических показателей) от малого параметра е. Так как правые части системы (3) аналитичны по , то и фундаментальная матрица решений X t, е) также аналитична по е. Отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения (14) — аналитические функции е. Но мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. Они будут обязательно аналитическими, если характеристическое уравнение при = О имеет только простые корни. Если же при = О уравнение (14) имеет кратные корни, то аналитичность его корней относительно е при е О может не иметь места. Отметим, однако, что независимо от наличия при = О кратных корней корни уравнения (14) при 7 О, во всяком случае, непрерывны по е [c.551]

При = О система уравнений (3) имеет постоянные коэффициенты. Как установлено в п. 242, при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения (5) с отличной от нуля вещественной частью система (3) неустойчива. В этом случае уравнение (14) при = О имеет хотя бы один корень, модуль которого больше единицы. Ввиду непрерывности мультипликаторов относительно е характеристическое уравнение (14) при достаточно малых е также имеет корень, модуль которого превосходит единицу, и, следовательно, система (3) при достаточно малых неустойчива. Как видим, в этом случае задача о параметрическом резонансе проста и неинтересна. [c.551]

В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых , отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых е мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.551]

Мультипликаторы системы уравнений с действительными коэффициентами — действительные или попарно комплексно-сопряженные числа. Если в уравнении (1) матрица В = О, а матрицы А t) и С t) — четные функции времени, т. е. А (—t) = = А ( ), С (—t) = С (О, то мультипликаторы попарно связаны соотношением [c.118]

Аналитическая форма решений. Пусть все мультипликаторы Pi, р2,. .., р2 — простые корни уравнения (10). Тогда независимые решения уравнения (3) имеют вид [c.118]

Условия устойчивости систем с периодическими параметрами. Решение q es О уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы р,, р2,. .., р. [c.119]

Решение q = О уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга р < 1. Решение q = 0 уравнения (1) неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю боль-U и единицы, или найдутся кратные р = 1 с непростыми элементарными делителями. [c.119]

Соотношение (17.3) представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными Nq и а. Для определения этих неизвестных необходимо еще одно уравнение, для составления которого используют следующий прием. Наряду с первым датчиком, фиксирующим заданный процесс нагружения, на специальном устройстве (мультипликаторе) устанавливают второй датчик, который фиксирует [c.180]

Описанная выше методика оценки нагруженности конструкций может быть использована для полигонных и стендовых ресурсных испытаний. Таким испытаниям подвергаются практически все модели металлоконструкций транспортных машин типа автомобилей и тракторов [34, 45]. Число нагружений регистрируется либо в виде числа переездов препятствий на полигонах, либо в виде часов работы на стендах. Использование мультипликаторов в этих случаях становится излишним. Непосредственно из уравнений (17.6) или (17.8) при заданном значении Л о определяется параметр распределения амплитуд напряжений а, по которому можно сделать сравнительную оценку долговечности испытываемых конструкций. [c.182]

С ростом д собственная частота й колебаний маятника относительно верхнего положения равновесия растет, и когда она достигает значения vo/2, вновь возникает неустойчивость (мультипликаторы проходят через значение —1). Оценку верхней границы устойчивости 5 можно произвести, если положить в уравнении (3.7) с = д /уо и I =. 4 8т(т/2) + Взт(Зт/2). Тогда для [c.279]

Составьте уравнение равновесия поршня мультипликатора Pi = Р2. [c.40]

Введите в уравнение равновесия поршня мультипликатора дополнительную силу от давления газа. Чтобы не ошибиться в направлении силы давления газа, определяйте все силы через абсолютные давления. В этом случае сила давления всегда направлена по внутренней нормали - жидкость или газ давят на поверхность [c.41]

Замечание. Мультипликаторы периодического решения часто определяются по-другому (см., например, [146, гл. П1]). Пусть zo t) — р-периодическое решение системы (8.1). Положим Z = zo t) + 6z и линеаризуем уравнения (8.1) по 6z. В результате получим линейную систему с р-периодическими коэффициен- [c.220]

Теорема 1 (Пуанкаре [146]). Если уравнения (8.1) допускают к интегралов, независимых в некоторой точке периодической траектории , то по меньшей мере к мультипликаторов равны единице. [c.220]

В заключение этого параграфа укажем простое, но важное свойство мультипликаторов уравнения Хилла x + p(t)x=0. Это уравнение можно переписать в виде системы [c.88]

Понятие о мультипликаторе относится к самым малым временам после наступления иеустойчиЕости, когда возмущение еще описывается линейны.ми уравнениями. В этой области функция 02(т) меняется, согласно сказанному, как а ее ироизвод-ная [c.160]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Ограничимся только описанием алгоритмической части процедуры построения матрицы L(f) ). Пусть X(i) — фундаментальная матрица системы (3), пормироваипая условием Х(0) = Е2 , а и Sft — действительная и мнимая части собственного вектора матрицы Х(2л), соответствующего мультипликатору р. Векторы г и s,i удов-летиорягот системе линейных уравнений [c.397]

Рассмотрим еще произведение листа Мёбиуса на прямую, получаемое из пространства отождествлением точек t, х, г) и —г). Разбиение этого пространства на интегральные кривые уравнения j =0, г = 0 называется слоением Мёбиуса. Это слоение является линейным приближением при изучении предельного цикла с мультипликаторами - -1 и —1. При усреднении в этом слоении возникают 52-эквивариантные векторные поля на плоскости, деформации которых описаны в п. 4.4 главы 1. [c.57]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо р = 1, либо р = — 1 (рис. 2, а и б). В первом случае одно нз решений на границе будет f-периодическим, во втором оно будет гТ-периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные QX р — (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодиче-ское решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовле воряют соотношению (12). [c.121]

Для систем, где условие (12) не выполняется (например, для систем с диссипацией), типичны случаи, показанные на рис. 2, г—е в обласгн устойчивости все мультипликаторы лежат внутри единичного круга, а на границе области один или пара комплексно-сопряженных мультипликаторов попадает на единичную окружность. Уравнение (1) имеет tipH этом соответственно хогя бы одно периодическое или почти периодическое решение. [c.121]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Естественно возникает вопрос о том, где же при реализации первой схемы решения обратной задачи допугцена ошибка Как выяснилось, она была сделана в самом начале решения обратной задачи, когда производным в уравнениях (9.1) движения цилиндра был придан смысл обобгценной производной. Чтобы поступить так, следовало до этого придать смысл произведениям ускорений Dtuj, DtV как обобщенных функций на реализации os (p t), про которые нельзя заведомо сказать, что они гладкие. Такие произведения, кстати, появились в результате неправомерного применения правила Лейбница при обобщенном дифференцировании произведений V os ip и и sin ip при выводе уравнения (9.1) Дело в том, что в пространстве распределений мультипликаторы долоюны быть гладкими. [c.125]

Непосредственными вычислениями легко установить, что detM dg) = = 1 и, следовательно, det М(г9 ,..., i i) = 1. Поэтому характеристическое уравнение det M(i9q,. .., i9i) — р/2 = О, т.е. p — 26др + 1 = 0, где 26д = = Spur M(i i,..., q), передаточной матрицы принадлежит к типу возвратных уравнений. Его корни взаимообратные (pi = p ) и всегда отличны от нуля. При неравных между собой собственных числах (мультипликаторах) pi ф р2 [c.820]

Пусть ковектор f соответствует той же жордановой клетке. Тогда W и f имеют лишь по одной ненулевой компоненте. Пусть ф О к fp ф 0 тогда и — ц+1 совпадает с размером жордановой клетки. В частности, I/ д. Ввиду (8.12), и > ц. Итак, если пара w, / отвечает одной жордановой клетке, то размер клетки 2. Следовательно, кратность соответствующего корня р = I характеристического уравнения Р — рЕ = О не меньше двух. В итоге получаем, что кратность единичного мультипликатора не ниже А — 1, что и требовалось показать. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...