Правило Лейбница

Если сомножители зависят от времени, то при дифференцировании действует правило Лейбница-. [c.158]

Используя правило Лейбница, уравнение (8) можно дифференцировать по X. Подставляя в полученное уравнение выражение [c.343]

Если в каждой точке М задав касат. вектор Х(х) Тх, то говорят, что на М задано векторное поле X. Если компоненты этого поля Х (х) являются гладкими ф-циями в любой карте из атласа, то векторное поле наз. дифференцируемым. Векторное поле X сопоставляет каждой ф-ции ф на Л/ новую ф-цию Хф со значениями (Хф)(х) = Х(х)ф. Она наз. результатом дифференцирования ф-ции ф вдоль векторного поля X. Т. о., чтобы продифференцировать ф-цию вдоль векторного ноля, нужно продифференцировать её вдоль каждого вектора Х(х), х Л/, и полученные числа считать значениями новой ф-ции. При этом дифференцируемая ф-ция переводится гладким векторным полем в дифференцируемую, причём выполняется правило Лейбница [c.163]

Теперь остается доказать, что остальные члены в правой части (16. П. 24) в сумме равны нулю. Довольно громоздкие расчеты такого же типа, что а в разделе В (включающие разложение tpf в окрестности % = z, повторное использование правила Лейбница и различные перегруппировки в разложениях), приводят к следующему равенству [c.187]

Справедливость правила Лейбница при дифференцировании по любой переменной, например. [c.284]

Но нам больше нужна другая формула, которая выводится из этой с помош,ью уже отмеченного нами правила Лейбница, но мы предпочитаем получить ее непосредственно [c.35]

Правило Лейбница 28 Предельный случай уравнений Пуанкаре-Жуковского 199 Представления Лакса 83 Преобразование Галилея 336 [c.376]

Проинтегрировав уравнение неразрывности по с использованием правила Лейбница, т. е. [c.167]

Далее проинтегрируем по хз уравнения количества движения. Используя правило Лейбница и кинематическое граничное условие на свободной поверхности, находим [c.167]

После подстановки выражения (6.41) в уравнение (6.40) и применения правила Лейбница [c.195]

Используя правило Лейбница и соотношения (6.65) и (6.64), формулу (6.62) можно переписать в таком виде [c.200]

При интегрировании уравнения (7.6) необходимо использовать кинематическое условие и правило Лейбница для вычисления частной производной интеграла с переменными пределами. Согласно этому правилу [c.206]

Подставим теперь соотношения (7.11) — (7.13) в уравнение количества движения, проинтегрированные по Хз, и дополнительно используем правило Лейбница и кинематическое условие. Тогда [c.207]

Используя правило Лейбница и кинематическое условие, обоснуйте, что уравнение (7.10) может быть получено из выражения (7.6). [c.224]

Справедливость этих соотношений удостоверяется самим определением (7.1). Соотношение 1 устанавливается сразу. Соотношение 2 также непосредственно ясно, поскольку производная от постоянной равна нулю. Соотношение За вытекает из того обстоятельства, что производная от суммы равна сумме производных. Соотношение ЗЬ можно получить из соотношения За в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 4а является следствием правила Лейбница для дифференцирования произведения, а соотношение 4Ь получается из 4а в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 5 (тождество Якоби) подтверждается непосредственными вычислениями. [c.39]

Заметим еще, что тождество Якоби может быть интерпретировано как применимость правила Лейбница при вычислении скобки Пуассона со скобкой Пуассона [c.116]

Т. е. для взятия полной производной по времени от скобки Пуассона применимо то же правило Лейбница [c.121]

Г. Лейбниц не имел в виду использование двоичной системы счисления в ЭЦВМ, но его прогноз был поистине гениальным. В ЭЦВМ применяется, как правило, двоичная система счисления. [c.225]

Отметим, ЧТО прои водная тензора по перемещению в общем не является тензором. Это следует из факта, что базисные векторы системы М в общем зависят от времени t, и поэтому, например, б с ак)/Ь(ф Ф 6 /6t) а . Можно ввести другую производную, которая имеет тензорные правила преобразования. Для наших целей это не обязательно, поэтому остановимся на формулах, представленных выше. Легко видеть, что производная b/bt линейна и удовлетворяет правилу Лейбница [c.135]

Случай Б. Пусть теперь и функция и Ь) всего лишь обычная. Тогда возникает любопытная ситуация оба слагаемых в правой части (5.4) смысла не имеют, а их сумме можно придать смысл распределения из левой части (5.4). В частности, если с и,г) = и V, то речь идет об обобщении формулы Лейбница [c.205]

В защиту такой постановки вопроса можно привести высказывание крупнейшего философа и математика Г. Лейбница (1646—1716 гг.), который Впервые обратил внимание на перспективность использования двоичной системы счисления. Он писал в частности, что ...вычисление с помощью двоек, т. е. О и 1 в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии даже в практике чисел, а особенно в геометрии, причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы О и 1, всюду выявляется чудесный порядок . Г. Лейбниц не имел в виду использование двоичной системы счисления в ЭЦВМ, но его прогноз был поистине гениальным. В ЭЦВМ применяется, как правило, двоичная система счисления. [c.219]

Живая сила. Для нужд описания удобно дать названия левой и правой частям последнего уравнения. Удвоенная левая часть обычно называется живой силой точки этот термин был введен Лейбницем около 1695 г. Половина живой силы называется также кинетической энергией точки ). Правой части в разное время было дано много разных названий. Сейчас ее обычно называют работой силы F. Если сила действует не в направлении перемещения точки ее приложения, то термин работа требует более общего определения. Это определение обсуждается в следующем пункте. [c.290]

Изучение движения, реальной скорости Лейбниц заменяет изучением тенденции к движению, виртуальной (возможной) скорости. Он формулирует законы соударения тел как правила изменения скорости [c.110]

Но клятвы не помогли... Орфиреусу удалось кое-как замять скандал, но карьера его была кончена. Оказались правы Лейбниц и те французские и английские математики, которые ни во что почитают все оные перепетуи мобилес . [c.65]

Сочетая правило Лейбница с правилами вмсторпой алгебры, можно получать соотношения такого типа [c.253]

Естественно возникает вопрос о том, где же при реализации первой схемы решения обратной задачи допугцена ошибка Как выяснилось, она была сделана в самом начале решения обратной задачи, когда производным в уравнениях (9.1) движения цилиндра был придан смысл обобгценной производной. Чтобы поступить так, следовало до этого придать смысл произведениям ускорений Dtuj, DtV как обобщенных функций на реализации os (p t), про которые нельзя заведомо сказать, что они гладкие. Такие произведения, кстати, появились в результате неправомерного применения правила Лейбница при обобщенном дифференцировании произведений V os ip и и sin ip при выводе уравнения (9.1) Дело в том, что в пространстве распределений мультипликаторы долоюны быть гладкими. [c.125]

Очень скоро мы научимся переходить к третьему этапу, сохраняя правила Лейбница для внешней алгебры. Здесь мы получаем аналогию с формулой двойного векторного произведения, и эта формула имеет более обш,ий характер, ее прош,е сохранить. Теперь понятно, что наш Ь [c.35]

Чтобы получить (11.11-18), испо.пьзуйте правило Лейбница при дифференцировании произведения Р((т) Р<(т)- Чтобы получить (II. 11-19), докажите сперва, что [c.528]

У идеалистов всем правят и движут как будто бы идеи , дух , но и они приближаются к материалистическим понятиям. Так, например, Платон, пытаясь создать в противовес механистической системе жизни и мира Демокрита и Левкиппа свою — математическую , определяет характер всего существующего как способность действовать. Через 2100 лет Лейбниц скажет Действительно лишь то, что действует , а Оствальд в 1895 г, напишет еще точнее Наши органы чувств реагируют лишь на разницу энергий между ними и окружающей средой . [c.22]

Лейбниц также пытался опровергнуть объяснение Ферма. В A tes de Leipzig для объяснения преломления света он намеревался обратиться к Философии конечных причин, которые были изгнаны Декартом, и восстановить объяснение, выведенное Декартом из рассмотрения столкновения тел, в противоположность мнению Ферма. Он начинает, следовательно, с отрицания того, что Природа действует или по наиболее короткому пути или по пути наименьшего времени но утверждает, что она выбирает наиболее легкий путь, который не должен совпадать ни с каким из двух названных. Для определения этого наиболее легкого пути служит сопротивление, оказываемое лучу света при пересечении рассматриваемых прозрачных сред и он предполагает, что это сопротивление различно в различных средах. Он устанавливает (что совпадает с мнением Ферма), что в более плотных средах, таких, как вода и стекло, сопротивление больше, чем в воздухе и других разреженных средах. Допустив это, он рассматривает трудность, встречающуюся лучу при пересечении какой-либо среды, и определяет эту трудность с помощью произведения пути на сопротивление. Он утверждает, что луч всегда следует по тому пути, для которого сумма таким образом измеренных трудностей является наименьшей и по методу максимума и минимума он находит правило, известное из опыта. Но хотя это объяснение на первый взгляд кажется согласующимся с объяснением Ферма, оно, однако, затем истолковывается с такой удивительной хитростью, что становится диаметрально противоположным последнему, и согласуется с объяснением Декарта. Ибо, хотя Лейбниц допустил, что сопротивление стекла больше, чем сопротивление воздуха, он утверждает, что луч движется в стекле быстрее, чем в воздухе и благодаря тому, что при этом сопротивление стекла считается большим, получается, конечно, из ряда вон выходящий парадокс. И вот как он пытается его объяснить. Он говорит, что большее сопротивление препятствует рассеянию лучей, вместо того, чтобы сказать, что лучи рассеиваются больше там, где меньше сопротивление и что когда диффузия затруднена, сжатые лучи при своем переходе, подобно потоку, который течет в более узком русле, приобретают в результате этого большую скорость. Таким образом, объяснение Лейбница согласуется с объяснением Декарта в том, что и тот и другой приписывают лучам большую скорость в более плотной среде при этом Декарт полагал, что лучи движутся с большей скоростью в среде с большей плотностью потому, что сопротивление там меньше Лейбниц, напротив, приписывает эту большую скорость [c.28]

Лейбниц тоже пытался отвергнуть объяснение Ферма в A ta Lipsiensia за 1682 год он для объяснения преломления света решил снова ввести в философию конечные причины, изгнанные Декартом, так, чтобы одновременно могло оставаться в силе то объяснение Декарта, взятое из столкновения тел, которое было противоположно объяснению Ферма. Итак, он решительно отрицает, что природа стремится к кратчайшему пути или к наименьшему времени, но утверждает, что она скорее избирает наиболее легкий путь, — а это не следует смешивать ни с тем, ни с другим из предыдущих. А чтобы определить этот наиболее легкий путь, он обращается к сопротивлению, которое встречают лучи света, проникающие через какую-нибудь прозрачную среду, и принимает, что сопротивление различных сред различно. Он стоит также на том — ив этом он, кажется, поддерживает мнение Ферма, — что в более плотной среде, как, например, в воде и стекле, сопротивление больше, чем в воздухе и в других более редких средах. Исходя из такой предпосылки, он выдвигает понятие трудности (diffi ultas), которую преодолевает луч, проходя через какую-либо среду, и эту трудность он определяет из длины пути, помноженной на сопротивление. Он полагает, что луч всегда следует по такому пути, для которого сумма всех трудностей, полученных указанным выше путем, была бы наименьшей отсюда он по методу максимумов и минимумов выводит то же самое правило, которому учит опыт. На первый взгляд кажется, что такое объяснение согласуется с объяснением Ферма. Однако дальше он с удивительной тонкостью истолковывает его так, что оно прямо противопоставляется Ферма и сближается с объяснением Декарта. Ведь, хотя он считает сопротивление стекла большим, чем сопротивление воздуха, он, однако, утверждает, что лучи в стекле распространяются быстрее, чем в воздухе, и это именно потому, что сопротивление у стекла больше, чем у воздуха. Это было бы, разумеется, величайшим парадоксом. Но он старается понять это следующим образом при большом сопротивлении, говорит он, достигается то, что лучи меньше рассеиваются, в то время как там, где сопротивление меньше, они больше рассеиваются по сторонам. А когда рассеиванье сдерживается, лучи больше сжимаются на своей тропе и подобно реке, которая должна проходить по более узкому руслу, отсюда приобретают большую скорость. Итак, объяснения Лейбница и Декарта сходятся в том, что оба они приписывают лучам в более плотной среде большую скорость. Относительно же причины этого увеличения скорости взгляды их прямо противоположны, ибо, по мнению Декарта, лучи в более плотной среде движутся быстрее потому, что сопротивление там меньше, Лейбниц же приписывал увеличение скорости большему сопротивлению. Можно ли допустить такую мысль или нельзя — я не стану это здесь разбирать. Однако я должен указать на то, что сам Лейбниц этот принцип наиболее легкого пути, хотя он кажется установленным как всеобщий, не прилагал ни к какому другому случаю и не учил, каким образом следует определять в других случаях эту самую трудность, которая должна быть наименьшей. А если он скажет, что это нужно делать так же, как здесь, т. е. брать произведение пройденного пути на сопротивление, то в большинстве случаев вообще невозможно будет определить это сопротивление, ибо оно является понятием весьма расплывчатым. Тогда же, когда нет никакого сопротивления, как, например, в движении небесных тел, каким образом можно будет определить трудность Или, может быть, из одного только пройденного пути, так как сопротивление здесь повсюду должно приниматься за нулевое Но отсюда вытекало бы, что при таком движении сам пройденный путь должен быть наименьшим, и поэтому он был бы прямолинейным, вопреки тому, что показывает практика. Если же движение происходит в сопротивляющейся среде, где во всяком случае имеется сопро- [c.101]

Ведь в то время как последователи Лейбница по заслугам высоко ценят как все его сочинения, так в том числе и упомянутую статью, помещенную в A ta Lipsiensia, приходится, право, весьма удивляться тому, что знам. барон фон Вольф, в остальном последовательный приверженец взглядов Лейбница, в объяснении преломления света так далеко отошел от своего учителя, что, отвергнув его чрезвычайно тонкое объяснение, решил перенести в свои Элементы диоптрики объяснение Ферма, осмеянное Лейбницем. Так, во второй задаче 35 этот великий муж, исходя из положения, что скорость света различна в различных средах, а именно, в более плотных скорость меньше, в более редких — больше, ищет время, за которое луч, следуя по како,му-либо пути, дойдет от данной точки до другой, расположенной в другой среде. Отсюда он заключает, что, поскольку природа действует всегда кратчайшим путем, это время должно быть наименьшим. Здесь, однако, не видно, каким образом он от кратчайшего пути выводит заключение о наименьшем времени. Кроме того, он не приводит никакого доказательства этого утверждения и никакой ссылки, в то время как в ином случае он едва ли привел бы без ссылки даже аксиому, что целое больше своей части. Отсюда, таким образом, поскольку главный последователь Лейбница не только опустил его объяснение преломления, но даже предпочел ему объяснение Ферма, мы можем с уверенностью заключить, что этому проницательному мужу объяснение Лейбница казалось весьма сомнительным, и поэтому такой принцип, которым управлялась бы вся природа, менее всего следует черпать из этого источника. [c.103]

Примером может служить сам Дени Папин (1647—1714 гг.) — изобретатель не только папйнова котла и предохранительного клапана, но и центробежного насоса, а главное—первых паровых машин с цилиндром и поршнем. Папин даже установил зависимость давления пара от температуры и показал, как получать на ее основе и вакуум, и повышенное давление. Он был учеником Гюйгенса, переписывался с Лейбницем 1 и другими крупными учеными своего времени, состоял членом английского Королевского общества и Академии наук в Неаполе. И вот такой человек, который по праву считается крупным физиком и одним из основоположников современной теплоэнергетики (как создатель парового двигателя), работает и над вечным двигателем Мало этого, он предлагает такой ppm, ошибочность принципа которого была совершенно очевидна и современной ему науке. Он публикует этот проект в журнале Философские труды (Лондон, 1685 г.). [c.50]

Бойнебург, отправив Лейбница в заграничную командировку, вскоре умер, и Лейбниц оказался не у дел. Однако через некоторое время он был приглашен на службу ко двору ганноверского герцога в качестве библиотекаря с правом жить еще некоторое время за границей. [c.175]

Лейбниц был прав в припципе, когда он считал, что сумма всей потенции (энергии) в природе необходимо ос-гается постоянной, но он ошибался, когда расшифровывал Эту сумму слишком много тайн скрывала от людей в те времена природа, и они не знали, что механическое движение может превращаться в эквивалентное ему количество теплоты, электромагнитной энергии н т. п. Вот почему закон сохранения знергии у Лейбница остается скорее декларацие1г, чем фактическим завоеванием науки. Плодотворность этого принципа, декларированного Лейбницем, была показана последующим прогрессом научного знания в XIX—XX вв. [c.183]

Современное содержание теоретической (классической, аналитической, рациональной) механики как единой теории математического моделирования движения и покоя твердых тел начало формироваться в XVII в. В работах Галилея, Декарта, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, Вариньона, Бернулли и их современников появляются новые задачи естествознания и техники, создаются новые математические методы их решения. К постановке и анализу утилитарных задач подталкивали не только практические интересы, но и извечное стремление к поиску абсолютной истины, созданию всеобщей философской системы, борьба мнений. Научные теории, как правило, строились на базе исторически [c.7]

Первая из трех книг Геометрии Декарта начинается с разъяснений обгцих принципов и правил составления уравнений геометрических кривых Чтобы решить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее как бы решенной и обозначить буквами все как данные, так и искомые линии. Затем, не делая никакого различия между данными и искомыми линиями, заметить зависимость между ними, так чтобы получить два выражения для одной и той же величины это и приводит к уравнению, служаш,ему для решения задачи, ибо можно приравнять одно выражение другому [32]. Описанная здесь технология построения уравнений становится основой для формирования математического аппарата механики в трудах Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, Вариньона, Бернулли. Это определялось важнейшей ролью геометрических методов в решении задач механики той эпохи. [c.63]

Официальным годом рождения дифференциального исчисления обычно называют 1684 — год выхода в лейпцигском журнале A ta eruditorum статьи Лейбница Новый метод максимумов и минимумов. .. , где вводится понятие дифференциала, правила дифференцирования функций (суммы, произведения, отношения), условия их экстремумов и точек перегиба . Через два года Лейбниц опубликовал статью, посвященную основам интегрального исчисления. Новая математическая теория, удачная символика введенных понятий (дифференциала, интеграла) привлекли внимание континентальных ученых, и дальнейшее развитие математического анализа и его приложений в работах Я. и П. Бернулли, Г. Лопиталя, П. Вариньона и их последователей происходило в русле лейбницевой традиции. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...