Мультипликатор периодического решения

Замечание. Мультипликаторы периодического решения часто определяются по-другому (см., например, [146, гл. П1]). Пусть zo t) — р-периодическое решение системы (8.1). Положим Z = zo t) + 6z и линеаризуем уравнения (8.1) по 6z. В результате получим линейную систему с р-периодическими коэффициен- [c.220]

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

В частности, мультипликатору р = 1 отвечает периодическое решение с периодом Т, мультипликатору р = — 1 — решение с периодом 2Т. Далее эти решения называют соответственно Т- и 2Т-периодическими. [c.118]

В частности, мультипликатору р>=1 отвечает периодическое рещение с периодом Т, мультипликатору р=-1 - решение с периодом 2Т Т- и 2Т-периодические решения). [c.470]

Прежде всего отметим, что критическим точкам потенциальной энергии при малых значениях е отвечают невырожденные периодические решения полной системы. Причем, точки локального минимума порождают решения эллиптического типа (их мультипликаторы лежат на единичной окружности), а точки максимума порождают решения гиперболического типа (их мультипликаторы вещественные и отличны от 1). Период таких решений равен 27г/Л они часто называются гармоническими. [c.236]

Периодическое решение называется невырожденным, если все его мультипликаторы отличны от единицы. [c.220]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Неравенства (8.22) дают оценки числа возмущенных периодических траекторий заданной степени неустойчивости. В частности, максимуму функции h отвечает периодическое решение с вещественными мультипликаторами. [c.229]

При TTi = 1 будем иметь неустойчивое периодическое решение. Ограничим гамильтонову систему на (2 д - 1)-мерную неособую энергетическую поверхность, на которой лежит траектория этого решения. Уравнения (1.2), по существу, являются уравнениями в вариациях для рассматриваемой периодической траектории. Поэтому половина ее мультипликаторов лежит внутри единичной окружности, а другая половина—вне ее. [c.253]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

В частности, если система (1.3) гамильтонова, то по меньшей мере два мультипликатора каждого из ее периодических решений равны единице. Один из мультипликаторов равен 1 из-за свойства автономности, а другой — из-за наличия интеграла энергии. При этом используется очевидный факт, что на траектории периодического решения, не совпадающего с неподвижной точкой, функция Гамильтона не имеет критических точек. [c.85]

Если среди мультипликаторов имеются такие, что 1X1 >1, то периодическое решение z неустойчиво. Более детально с теорией уравнений в вариациях можно познакомиться, например, по книге [14]. [c.86]

В случае а —2 мультипликаторы Xi и Яг совпадают. Они оба равны либо 1, либо —1. Если Xi= 2=l (а=2), то периодическое решение назовем вырожденным, а если 1= 2= —1 (а= =—2) — параболическим. [c.89]

Из формулы (4.3) видно, что x(t) отличается экспоненциальным множителем ехр( л ) от я-периодической функции. Следовательно (см. 1), ехр(лц) является мультипликатором рассма.три-ваемого решения. Таким образом, периодическое решение неустойчиво (устойчиво), если ц является вещественным ([л=1а, aeR и аФ2) числом. [c.96]

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках ехр( га) при а ф Отг, тг/2, 2тг/3 из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова с цикла слезает шкура (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16). [c.321]

Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости. Напомним некоторые факты из теории периодических решений дифференциальных уравнений. Собственные значения К оператора монодромии Г-периодиче-ского решения называются мультипликаторами, а числа а определяемые равенством К=ехр(аТ), — характеристическими показателями. Мультипликаторы X могут быть комплексными, поэтому характеристические числа а определены неоднозначно. В автономном случае один из мультипликаторов К всегда равен 1 (соответствующий собственный вектор касается траектории периодического решения). [c.229]

Предположим, в частности, что данное решение х = х 1) системы х = /(х) является периодическим с периодом т. Тогда условие А(1 + х) = А1) ( 140) выполняется ), и можно говорить о характеристических показателях Ят для данного периодического решения х 1), соответствующих фиксированному периоду т функции А 1). Справедлив результат, что эти характеристические показатели или соответствующие мультипликаторы, а также элементарные делители группы монодромии остаются неизменными, если подвергнуть пространство х преобразованию у = = у х), рассмотренному в 88. [c.132]

Если при этом существует функция Лагранжа (см. 94), то гамильтонова и лагранжева формы (21i) —(21г) 101 уравнений в вариациях обладают одними и теми же инвариантами группы монодромии. Действительно, переход от гамильтоновой к лагранжевой форме уравнений движения выполняется в силу изложенного в 6—8 с помощью преобразования, рассмотренного в 147. Если данное периодическое решение не представляет собой точку равновесия, то на основании сказанного в 148 можно гарантировать, что по крайней мере один, а следовательно, в силу 151 по крайней мере два из мультипликаторов si,. .., sjn равны 1. Таким образом, по крайней мере два из характеристических показателей 11,. . ., Xzn равны нулю. [c.135]

Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрицы R рЕ. При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному корню, по-прежнему имеют вид (14), причем каждому мультипликатору кратности г отвечает г решений типа (14) с независимыми периодическими функциями Xf (О- Если же кратному корню соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью г, то решение имеет вид [c.119]

Условия устойчивости систем с периодическими параметрами. Решение q es О уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы р,, р2,. .., р. [c.119]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Для систем, где условие (12) не выполняется (например, для систем с диссипацией), типичны случаи, показанные на рис. 2, г—е в обласгн устойчивости все мультипликаторы лежат внутри единичного круга, а на границе области один или пара комплексно-сопряженных мультипликаторов попадает на единичную окружность. Уравнение (1) имеет tipH этом соответственно хогя бы одно периодическое или почти периодическое решение. [c.121]

Так как detF ф О, то можно положить Р = ехр(рЛ). Собственные числа ai,..., ат матрицы А называются характеристическими показателями периодического решения (8.3). Они связаны с мультипликаторами соотношениями р, = ехр(ра,) и определены с точностью до аддитивных слагаемых вида гилг п е Z). [c.220]

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

В типичной ситуации все критические точки функции h T" —+ R невырождены. Напомним, что индексом к функции h в критической точке Ло называется число отрицательных собственных значений матрицы (8.21). Согласно (8.20), 2к мультипликаторов возмущенного периодического решения будут вещественными положительными числами, причем половина из них больше единицы, а другая—меньше единицы. Остальные мультипликаторы с точностью до 0 е) лежат на единичной окружности, так что индекс к можно назвать степенью неустойчивости периодического решения. [c.229]

При к = О имеем периодическое решение. Его мультипликаторами естественно назвать мультипликаторы соответствующей замкнутой 1 раектории автономной системы (11.1 ). [c.244]

Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная система имеет 2тг7г-периодическое решение при фиксированном п и малом , В зависимости от знака произведения / (Ао) это решение может быть эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении . Эта задача рассмотрена в работе [50. Оказывается, найдется такая положительная постоянная с, что с возрастанием < с/п мультипликаторы А, A периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = A = 1 при = О, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной по- [c.296]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Если данное периодическое решение x t) системы х = =/(ж) не есть равновесное решение, т. е. если x(t) ф onst, то по крайней мере один из мультипликаторов соответствуюш ей системы в вариациях равен s = 1. В силу 143 это утверждение эквивалентно тому, что по крайней мере один из характеристических показателей равен нулю. Следовательно, первый из критериев 144а показывает, что тогда система Якоби = 4(i)g обладает решением = l(i)i периодическим с периодом т и имеющим форму = [c.133]

Так как i 3(i) и ф(0 имеют, очевидно, период т = т(0) и так как Ф(i) О в силу условия x t) ф onst, то из второго из критериев 144а следует, что система Якоби = А (i) I обладает не только периодическим решением = x (t), указанным в 148, но и вековым решением (12), соответствующим характеристическому показателю л = 0. Таким образом, по крайней мере два характеристических показателя равны нулю, т. е. по крайней мере два мультипликатора равны 1. [c.133]

Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо р = 1, либо р = — 1 (рис. 2, а и б). В первом случае одно нз решений на границе будет f-периодическим, во втором оно будет гТ-периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные QX р — (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодиче-ское решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовле воряют соотношению (12). [c.121]

Если среди мультипликаторов ру, а следовательно, среди показателей Ау имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрищд При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному собственному значению, по-прежнему можно взять в виде (7.2.30). При этом каждому собственному значению кратности г отвечает г решений типа (7.2.30) с независимыми периодическими функциями фуХО- Если же кратному собственному значению Ау соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью г, то соответствующие ему решения имеют вид [c.470]

Рассмотрим частный случай, когда система (3,1) однородна д1 =. .. = д — д. Тогда решение (3.20) — периодическое с периодом р = 2тт1д. Его мультипликаторы, как известно, равны ехр[р(гру)]. Если система (3.1) допускает интеграл, не имеющий критических точек на траектории решения (3.21), то хотя бы один из мультипликаторов равен единице. Это утверждение — следствие результатов в 8 гл. IV (правда, в 8 рассматривались вещественные системы дифференциальных уравнений однако полученные там результаты справедливы, очевидно, и для систем с комплексными переменными и вещественным временем). Пусть [c.344]

Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89]

Проведенный анализ позволяет дать полное и наглядное описание всех невырожденных периодических движений точки т. Пусть энергия /г = 0. Тогда точка т занимает наинизшее устойчивое положение равновесия. Будем увеличивать значения Н. При малых /г>0 рождаются два различных семейства невырожденных периодических движений вертикальные подскоки и гладкое скольжение по параболе. Решения второго семейства существуют при всех /г>0, и все они устойчивы (как предельный случай решения типа 1)). Решения первого семейства также существуют при всех к. Однако при Н==тда12 (когда высота подскока равна расстоянию до фокуса параболы) мультипликаторы становятся равными единице. Это точка бифуркации при к>тца12 появляется еще одно семейство устойчивых периодических колебаний (3.7), а вертикальные периодические подскоки становятся неустойчивыми. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...