Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки

Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения. I. Неподвижная точка s точечного отображения s =/(s) устойчива, если [c.97]

Как известно, условие устойчивости однократной неподвижной точки х состоит в выполнении неравенства I/ (л ) < 1, а неустойчивости — неравенства / (л ) > 1. Для т-кратной неподвижной точки условия устойчивости и неустойчивости соответственно имеют вид [c.284]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми ( 3.4), граница стохастичности ) отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости 5, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.16. [c.246]

Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения id) вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на се стенках ). [c.312]

Образование хаотического аттрактора при достаточно сильной диссипации, которое, по-видимому, наблюдалось также в работах [73, 74, 531 ], связано с тем, что диссипация разрушает устойчивые области. Однако приведенное в тексте критическое значение б = 0,03 вызывает сомнения. Для образования хаотического аттрактора требуется по крайней мере, чтобы все неподвижные точки отображения (см. рис. 1.14) стали неустойчивыми. Можно показать, что это происходит при условии б > (2/я Ж) 0,13 (М = 100), что заметно превышает приведенное значение, и даже значение б = 0,1 в численном моделировании (рис. 7.28). Для данных на рис. 7.29 это же условие имеет вид М > 203 (б == 0,1). Причина, по которой захват траектории в устойчивый фокус не наблюдается при численном моделировании, состоит, по всей видимости, в том, что плотность равновесной функции распределения (7.3.61) в области захвата (8,7 и 10 для данных на рис. 7.28) исчезающе мала и соответственно время существования переходного хаоса огромно. В таком случае вполне можно говорить о квазистационарном хаосе. Условие его существования в данной модели, как можно показать, имеет вид аМ8 > 1 оно выполняется с запасом для всех численных данных на рис. 7.28 и 7.29.— Прим. ред. [c.469]

Условие устойчивости равновесия цилиндров в более высоких приближениях. Если тяжелый цилиндр находится в равновесии на неподвижной абсолютно шероховатой цилиндрической поверхности (см. п. 442), то условие устойчивости равновесия состоит в том, чтобы центр тяжести цилиндра лежал внутри некоторого круга, названного кругом устойчивости. Если же центр тяжести лежит на границе этого круга, то равновесие называется нейтрал/ным. Вообще говоря, это равновесие может быть или устойчивым, или неустойчивым, и для выяснения этого вопроса следует рассмотреть более высокие степени приближений. Для получения необходимой степени приближения можно использовать следующую простую процедуру, состоящую в вычислении последовательных производных от некоторой функции до такого порядка, пока не придем к отличному от нуля результату. Устойчивость или неустойчивость равновесия зависит от знака этой производной, и ее вычисление вместе с некоторыми другими характеристиками системы дает возможность составить уравнение движения. [c.444]

Это численный аналог хорошо изученной физической ситуации жесткая система, соединенная с землей посредством мягкой пружины, чрезвычайно неустойчива, в то время как неподвижное соединение (главное условие) дает устойчивую систему. Следует подчеркнуть, что в то время, как плохую обусловленность, связанную с числами, можно предвидеть, а вырождение элементов можно избежать, возникающую физическую плохую обусловленность нельзя обойти, разве лишь заменяя метод жесткостей на метод сил е напряжениями в качестве неизвестных. Эта ситуация встречается при резком изменении жесткости среды или когда коэффициент Пуассона приближается к пределу несжимаемости v = V2 [Ф17]. Для оболочек трудности связаны с большой жесткостью в направлении толщины или с очень тонкими оболочками. Грубо говоря, пространственные гармоники могут включать в себя отношение (r/th) [20], в то время как гармоники изгиба выявляют четвертый порядок задачи и округление пропорционально hr . [c.242]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

Пусть X = с будет равновесным регпением, для которого, следовательно, //с(С ) = О, и пусть в окрестности х = выполнены условия Липшица. Обозначим опять через х 1, С) решение системы (1) с начальными условиями Хк = к при 4 = 0. Тогда переходом от к х 1, С) при каждом фиксированном i в окрестности неподвижной точки х = устанавливается топологическое отображение 5 . Мы получим определение устойчивости и неустойчивости системы (1) для рассматриваемого положения равновесия, если в данных выше определениях заменим а, р, 5 и = 5 р п = О, 1,. ..) на С, 6 -З и 4 = х 1, С) с действительной переменной 1. При этом нужно, однако, потребовать, чтобы в определении фигурировали только положительные значения тогда речь будет идти только об устойчивости и неустойчивости в будуш ем. Это понятие имеет большое значение в задачах механики. Точно так же переносится очевидным образом и понятие смешанного случая. [c.236]

Задача устойчивости в критическом случае п пар чисто мнимых корней (без присоединенной системы) при условии отсутствия внутреннего резонанса исследована А. М. Молчановым (1961) по первым нелинейным формам преобразованной к специальному виду ( модельная система ) исходной системы уравнений возмущенного движения. Он установил теорему, согласно которой невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если для модельной системы все нейтральные и неустойчивые лучи лежат вне положительного конуса % (р >0). Лучами автор называет особенные направления укороченной системы лучи соответственно устойчивы, нейтральны или неустойчивы, в зависимости от движения по лучу изображающей точки (к началу координат, неподвижна или уходит от начала координат). Кроме того, доказано, что если для модельной системы хотя бы один неустойчивый луч находится внутри положительного конуса X (р >0), то невозмущенное движение неустойчиво. В случае, когда внутри положительного конуса к (р >0) находится хотя бы один нейтральный луч, рассмотрением модельной системы вопрос б устойчивости не рептется. [c.58]

Характерной особенностью фазовых портретов в случае сферы является появление новых неподвижных точек устойчивых (на границе А = 0) и неустойчивых (отсутствующих в плоском случае). В случае выполнения второго необходимого условия коллапса Ff + = —4Г1Г1 (рис. 28 с). Часть траекторий, выходящих из начала координат, вновь попадает туда, не достигая границы области (коллинеарных положений), а часть — только после ее достижения (в случае плоскости все [c.102]

Истинное распределение напряжений, очевидно, отличается дт того, которое было бы в идеально упругом теле. Разность представляет поле самоуравновешенных напряжений, вызванных несовместной неупругой деформацией в окрестности вершины трещины. При пропорциональном нагружении последние определенным образом связаны с напряжениями в упругом теле и, следовательно, могут характеризоваться теми же коэффициентами интенсивности напряжения хотя выражения (А6.31), (А6.33) перестают быть справедливыми. Следовательно, состояния устойчивой неподвижной трещины или неустойчивого роста трещины (разрушение) вполне могут определяться в пространстве параметров а, нахождением точки состояния внутри поверхности / ( ,, ц) = О в первом случае и на поверхностиа,) = О — во втором. Заметим, что критерий страгивания трещины/ (АГ а,) = О не содержит практически никаких допущений он означает, что в детали с трещиной поле напряжений в устье последней оказалось таким же, как в испытанном образце из того же материала в момент страгивания трещины. Нет оснований полагать, что в детали материал в устье трещины будет вести себя иначе, чем в образце. При этом не имеет значения то, что упомянутое поле напряжений (в детали и в образце) отличается от поля (А6.31) в идеально упругом теле зто отличие при пропорциональном нагружении будет одинаково. Таким образом, условие/, = О соответствует не моделированию, а простому воспроизведению ситуации. [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...