Приближение типа конечных элементов

Большие вырезы в палубах, надстройки, фундаменты под главные и вспомогательные механизмы, различные подкрепления, выгородки и шахты приводят к значительной неоднородности и сложности конструкции, для исчерпывающего анализа которой необходимо применять численные методы типа метода конечных элементов [8, 13]. Наряду с этим в судостроении широко используют приближенные методы динамических расчетов, в которых судовые конструкции представляют как балки, рамы, изотропные и ортотропные пластины и цилиндрические оболочки. В основе приближенных схем расчета судовых конструкций лежит допущение о возможности независимого определения при статической нагрузке так называемых общих деформаций корпуса и местных деформаций его элементов — перекрытий, поперечных рам, отдельных балок набора, пластин обшивки. При этом под общими понимают деформации, соответствующие балочным формам смещений корпуса в целом, происходя- [c.434]

Рассмотрим конечные элементы оболочки вращения изо-параметрического типа. На рис. 7.9 представлены конечные элементы первого, второго и третьего порядков, имеющие соответственно два, три и четыре узла. Исходными данными для них служат координаты узлов Хг, Уг и значения толщины h в узловых точках. Уравнение меридиана будем задавать приближенными равенствами х — у — где суммирование ведется по всем узлам элемента. Функции 15 ( ) даются равенствами (5.81)—(5.83). [c.251]

В задачах статики стержневых систем матричный метод перемещений приводит к точному (в рамках технической теории бруса) решению. В случае динамического нагружения точное решение невозможно при указанном подходе даже для стержневых систем. Желаемая точность может быть достигнута путем разбиения стержней на более короткие участки, в пределах которых применяется приближенная аппроксимация типа (9.2), но при этом исчезает различие между стержневыми и непрерывными системами. Следовательно, в динамических задачах целесообразно рассматривать стержневые системы с общих позиций метода конечных элементов, как мы и будем поступать в дальнейшем. [c.330]

Для иллюстрации различий между этими двумя типами вычислительных приемов сопоставим методы граничных элементов с методами конечных элементов. Для простоты представим R двумерной плоской областью, ограниченной контуром С (рис. 1.1). Метод конечных элементов требует, чтобы вся область R была разбита, как показано на рис. 1.1 (а), на сетку элементов. При этом цель состоит в отыскании решения задачи в узлах сетки, решение же между узлами выражается в простой приближенной форме через значения в узлах. Связывая эти приближенные выражения с исходными дифференциальными уравнениями в частных производных, в конечном счете приходим к системе линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры— узловые значения в R — выражаются через известные величины в узлах сетки, находящихся на границе области. Эта система уравнений большая, но разряженная, т. е. хотя она и содержит [c.10]

Решение поставленных задач аналитическими методами невозможно, так как они относятся к классу нелинейных задач, реализация которых осуществима лишь приближенными методами. Самыми простыми являются численные методы типа метода конечных разностей или метода конечного элемента. Достоинством этих методов является простота реализации на ПЭВМ и формализация вычислительного процесса на различных этапах решения, а основным недостатком — высокая погрешность при укрупнении временных и пространственных шагов в случае их уменьшения для увеличения точности расчетов увеличивается время счета. Возникают также проблемы с устойчивостью и сходимостью решений. [c.306]

В данной статье приводится решение задачи на собственные значения для прямоугольной пластинки с эксцентрическим круговым вырезом для различных вариантов сочетания внешних и внутренних граничных условий. Известно, что для решения такой задачи обычно применяются приближенные методы типа метода конечных элементов, метода конечных разностей и метода коллокаций [4]. Они обладают определенными [c.69]

В дисплее с выводом точек невозможно начертить непрерывную линию, так как конечные размеры элемента растровой сетки позволят высветить только те точки, которые определяются этой координатной сеткой. Однако можно вывести последовательность точек, которые лежат приблизительно на заданном отрезке прямой линии. Хорошим приближением считается такое, при котором выводимые точки расположены с равномерной плотностью вдоль отрезка независимо от его наклона и не смещены относительно их заданного положения. Первое условие обеспечивает равномерную яркость. При выполнении второго условия полученная линия будет гладкой, без изломов. На рис. 3.8 показаны результаты работы трех различных цифровых генераторов векторов при формировании трех типов отрезков. (Приведенная дробь для каждого изображения равна плотности точек числу точек, деленному на истинную длину каждого отрезка.) Генераторы отличаются по плотности точек и по точности аппроксимации идеальной линии. [c.59]

Таблица 10.2. Значения коэффициентов для выбора в первом приближении конечной температуры мазута при поверочном расчете подогревателей мазута типа ПМР по длине нагревательных элементов

Как указывалось, результаты тригонометрического контроля хода лучей через оптическую систему с конечными толщинами обычно не удовлетворяют всем поставленным условиям величины аберраций получаются не те, которые задавались. Это вызывается приближенностью методов решения аберрационных уравнений, влиянием толщин и пренебрежением аберрациями высших порядков. В каждом отдельном случае можно определить долю каждой из этих причин в полученном расхождении однако ради экономии времени и труда целесообразно исправить все остаточные аберрации независимо от причин, вызвавших нх появление. Условимся понимать под исправлением аберрации ие полное их уничтожение, чего достигнуть нельзя, а уменьшение до некоторых заданных величин, вполне определенных для каждого типа системы всякие стремления к дальнейшему уменьшению приводят к бесполезной потере времени. Такие предельные значения для тех или нных аберраций были отчасти указаны в предыдущем параграфе более подробные сведения может дать только продолжительный опыт. Исправление аберраций достигается небольшими изменениями конструктивных элементов системы. Можно указать на [c.375]

В трехмерной теории упругости в качестве тела, имеющего угловую линию часто брали четверть пространства [18,32,33,51-53,59,63-69], получая приближенные решения при помощи интегрального преобразования Фурье. Например, в работе [33] изучена задача о четверти пространства, жестко заделанной по одной стороне и нагруженной по другой нормальными и касательными усилиями. Для нормального напряжения в заделке составлено интегральное уравнение первого рода и исследован характер особенности решения вблизи ребра. Большой интерес к задачам для упругой четверти пространства проявляют американские и японские механики. Численный метод компенсирующих нагрузок был применен Хетени для получения общего решения для четверти пространства [66] (в западной печати эта задача теперь носит имя Хетени). Задача Хетени пересматривалась и алгоритм ее решения упрощался [65, 67], затем методом типа конечных элементов была рассмотрена контактная задача о действии прямоугольного штампа на упругую четверть пространства [68 . [c.181]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Метод конечных элементов может распространяться практически на неограниченный класс задач благодаря тому, что он позволяет использовать элементы простых и различных форм для получения разбиений. Размеры конечных элементов, которые могут быть скомбинированы для получения приближения к любым нере-хулярным границам, в разбиении иногда различаются в десятки раз. Допускается приложение нагрузки произвольного вида к элементам модели, а также и наложение закрепления любого типа на них. Основной проблемой становится увеличение издержек для получения результата. За общность решения приходится платить потерей интуиции, поскольку конечно-элементное решение - это, по сути, куча чисел, которые применимы только к конкретной задаче, поставленной с помощью конеч-но-элементной модели. Изменение любого существенного аспекта в модели обычно требует полного повторного решения задачи. Однако, это несущественная цена, поскольку метод конечных элементов часто является единственно возможным способом ее решения. Метод применим ко всем классам проблем распределения полей, которые включают в себя анализ конструкций, перенос тепла, течение жидкости и электромагнетизм. [c.21]

Над проблемой устойчивости деф(фмируемых систем плодотворно работали ученые нескольких поколений [14,17,28,41,42,46,47,48]. Разработано много различных точных и приближенных методов определения критических нагрузок и форм потери устойчивости. Тем не менее проблема устойчивости привлекает внимание исследователей и в настоящее время. Обусловлено это появлением новых, более сложных типов конструкций, не поддающихся расчету известными методами, с одной стороны, и созданием, совершенствованием и внедрением в практику расчетов электронных вычислительных машин и средств программирования, позволяющих учитывать в расчетах большее число факторов, с другой стороны. В частности, в последнее время появилось много работ, связанных с использовашкм для решения задэт устойчивости метода конечных элементов. Расчету деформируемых систем на устойчивость в рамках этого метода и посвящена эта глава [c.100]

При решении практических задач часто возникают вопросы, связанные с выбором типа элемента. Ведь для решения одной и той же задачи (например, изгиба плиты) суихествует целый набор конечных элементов, имеющих различные свойства. На рис. 1.8 дана графическяя интерпретация приближений переме-щений и момента в центральной точке плиты (узел 3 на рис. 1.4) для трех типов элементов [c.23]

Отметим здесь важную особенность разложений (23.14) они не столь чувствительны к гладкости исходных данных. Так, они сходятся даже в том случае, если Л содержит компоненты в виде б-функций, т. е. сосредоточенные силы при достаточно малой величине их интенсивности. Вместе с этим столь же быстрая сходимость ряда (23.14) будет иметь место и при равномерной нагрузке р, если она достаточно мала. Принципиальной разницы здесь нет. При использовании других приближенных методов (Бубнова — Галеркина, Ритца, конечных разностей, конечных элементов) налицо большое различие в эффективности, сильно зависящей от гладкости нагрузки. Некоторые же методы (конечные разности, конечные элементы) вообще не могут непосредственно использоваться, если нагрузка содержит разрывы типа сосредоточенных сил. Приходится предварительно производить численно-аналитическую обработку [c.203]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

В практических задачах времт тоже должно быть дискретизировано, что предполагает применение метода конечных разностей. Например, схема- Кранка — Николсона симметрична относительно п+1/2 при вычислении uf tn+ ) через и потому имеет точность порядка At . Таким образом, окончательно вычисленное приближение содержит эту ошибку, как и ошибку метода Галёркина, вызванную дискретизацией по х. Последнюю из них мы проанализируем подробно и покажем, что при к 2т ее оптимальный порядок для 5-й производной тоже р -вен Этот результат применяется к уравнениям параболического типа, например к уравнению теплопроводности Ь — эллиптический оператор того же типа, что и в стационарных задачах. В случае гиперболических уравнений, не содержащих диссипативных членов, возможности метода конечных элементов несколько меньше трудности в сравнении с явными разностными методами- могут оказаться слишком большими. Тем не менее даже в этом случае достигнуты значительные результаты исследование границ можно проводить почти автоматически в гл. 7 включен набросок теории метода конечных элементов для гиперболического случая. [c.139]

Приближенными собственными значениями будут Уг, а новая матрица Х , состоящая из приближенных собственных векторов, равна произведению матрицы Уп на квадратную матрицу порядка I, образованную из собственных векторов Q задачи (55). Бас и Парлетт детально изучили две вычислительные задачи решение небольшой задачи (55), для которой они используют исключение типа Якоби, как только матрицы становятся почти диагональными, и выбор начальной матрицы Л о. При выборе I допускается компромисс — при больших I требуется мало итераций, но каждая из них довольно дорога. При вычислении первых р собственных значений они брали I = т п 2р, р - - 8) и обнаружили, что восемь итераций дают отличные результаты. Этот способ эффективен даже для задач, слишком больших, чтобы работать только с оперативной памятью ЭВМ, и его можно с успехом применять к задачам на собственные значения, возникающим в методе конечных элементов. [c.278]

В заключение по анализу механической и тепловой напряженности поршня дизеля типа ДКРН 75/160 следует отметить, что основополагающие гипотезы МКЭ(идеи дискретизации континуального тела системой конечных элементов и приближенная аппроксимация решения в пределах индивидуального элемента), а следовательно, и изложенная здесь методика не теряют общности под-174 [c.174]

Необходимо помнить, что МКЭ — приближенный метод, точность которого зависит от правильного выбора типов и размеров конечных элементов. Так, например, более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений (рис. 1.18). В то же время более редкая сетка может применяться в зонах с более или менее постоянными де рмациями или напряжениями, а также в областях, не представляющих особого интереса. В связи с этим исследователь должен уметь предвидеть области концентрацин напряжений. [c.25]

В этой главе обсуждались методы, пригодные для анализа непланарных приборов. Был предложен одношаговый метод последовательной верхней релаксации для анализа приборов на основе только уравнения Пуассона, и была показана исключительная эффективность данного метода. Обсуждались также приближенные аналитические выражения для оценки значений токов с использованием только результатов пуассон-анализа, а полученные расчетные зависимости сравнивались с экспериментальными данными и результатами монополярного анализа, учитывающего лишь один тип носителей. Рассмотрение методов анализа непланарных приборов в рамках монополярного приближения позволило получить ряд важных результатов. Наличие тупоугольных треугольников при использовании нерегулярной сетки вызывает значительные затруднения, аналогичные тем, которые возникают при расчетах методом конечных элементов. Описаны некоторые способы ускорения итерационных алгоритмов, сокращающих время счета в 3—4 и более раз. В условиях, при которых справедливо применение монополярного анализа, его результаты хорошо согласуются с результатами, полученными по программе ADDET. [c.387]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

В связи с предыдущим мы укажем еще на две задачи, не имеющие пока решений, но рекомендуемые нами вниманию тех читателей, которые захотели бы заняться самостоятельными теоретическими исследованиями в этой области. Фиг. 104 изображает тело вращения, имеющее форму бочки, боковая поверхность которого свободна от действия внешних сил и оба основания нагружены произвольным образом, но симметрично относительно оси. Из равновесия элемента объема, расположенного у контура основания, получается, что поверхностное давление на торец у контура основания не может быть совершенно произвольно направленным,а оно во всяком случае должно итти в направлении касательной к образующей линии. В качестве образующей можно взять или дугу параболы, или синусоиду, или же какую-либо другую подходящую кривую. Образующая линия будет совпадать с одной из траекторий напряжений, а остальные траектории напряжений, из которых некоторые нанесены на чертеже, во всяком случае пойдут, примерно, как крайние. Если бы и не удалось найти точное решение задачи, которое, конечно, было бы желательно найти в первую очередь, то можно было бы на основании этих соображений, попытаться составить приближенное решение аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. В рассматриваемой области теории упругости нужно еще так много сделать, что даже нахождение решения для некоторых задач этого типа уже представляло бы большой прогресс и помогло бы решению других аналогичных задач ). [c.175]

Каждый матричный элемент оператора % (т) строится, согласно (19.2.1), в виде матричного произведения операторов X , (или и С), располагаемых в определенном порядке. Операторы С ж диагональны, а оператор X, напротив, недиагонален он описывает переходы от одной корреляционной формы к другой в соответствии с определенными правилами отбора, обсуждавшимися в разд. 14.2 и 14.3, где исследовались возможные отдельные переходы. Здесь мы встречаемся с глобальной проблемой, которую можно сформулировать следующим образом. Чтобы построить матричные элементы (19.2.3), (19.2.4) в приближении пг-го порядка, согласно (19.2.1), мы должны совершить переход от s -Ь г)-частичного вакуумного состояния (справа) к некоррелированному — или к полностью коррелированному — s-частичному состоянию (слева) за т шагов, используя в качестве промежуточные состояний только коррелированные. В общем случае существует много различных путей перехода (когда он в принципе возможен) от начального в конечное состояние. Таким образом, мы сталкиваемся с топологической проблемой. Так же как и в равновесном случае (см. гл. 6), хотя и по другой причине, основная роль при анализе траекторий принадлежит типу их связности. Здесь также для исследовзния проблемы целесообразно воспользоваться диаграммной техникой, в основу которой положены диаграммы, введенные в разд. 14.2 и 14.3. [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...