Отображения трансверсальные

Если отображение / дифференцируемо и единица не является собственным значением D f", то по предложению 8.4.6 iпd , а = 1. Вышеупомянутое условие — это трансверсальность периодической точки. Поскольку по теореме 7.2.4 типичная периодическая точка дифференцируемого отображения трансверсальна, следствие 8.6.13 отвечает на предыдущие вопросы для типичных отображений. [c.337]

Теорема ([296], [75]). Пусть М открыто и на многообразии N задано гладкое слоение йс/ М, Ы) состоит из 1-струй отображений, трансверсальных к Тогда для. Й выполнен с. г. э.-принцип. [c.230]

Отображения трансверсальные 161 Отражение 126 [c.255]

Пример 3 [отображение Гаусса). Это отображение трансверсально ориентированной гиперповерхности евклидова пространства в единичную сферу, отправляющее точку гиперповерхности в единичную нормаль к гиперповерхности в этой точке. [c.26]

Следствие. Существует открытое всюду плотное множество типичных отображений /, трансверсальных всем многообразиям Иг Мг+1 таких, что [c.283]

Определение. Отображение / А- -В трансверсально к С, если оно трансверсально к С в каждой точке из многообразия — прообраза. [c.14]

Замечание. Если dim Л + dim С< dim В и отображение f А- В трансверсально С, то пересечение /(Л)ПС пусто. [c.14]

Слабая теорема трансверсальности для областей пространства R". Пусть С — гладкое подмногообразие в В пространстве 0(11, W) всюду плотное счетное пересечение открытых множеств образуют. отображения [c.14]

С рассмотрим точку 0. По слабой теореме трансверсальности, отображение -а общего положения трансверсально С. Но это и означает невырожденность особых точек векторного поля г . > [c.16]

Теорема (М. В. Якобсон, 1985). Существует окрестность отображения G в функциональном пространстве, обладающая следующим свойством. Пусть одномерное семейство диффеоморфизмов принадлежит этой окрестности и трансверсально пересекает гиперповерхность n W Тогда [c.85]

Пусть тг — двумерная регулярная поверхность в М, трансверсально пересекающая 71 по точке Х[. Тогда в окрестности х возникает отображение Пуанкаре д тг — тг, порождаемое фазовым потоком системы (2.1). Секущую поверхность тг можно выбрать так, чтобы Aj пе- +пя- [c.261]

Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие стохастического слоя вблизи А+ и А . Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф. Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у. Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы такого вида обсуждались в гл. IV). [c.276]

Поверхность сечения фиксируем постоянную энергии и значение одной из координат (так, чтобы замкнутая траектория пересекала получившуюся 2п — 2-мерную площадку трансверсально). Тогда фазовые кривые, близкие к данной, определяет отображение этой 2п — 2-мерной площадки на себя, с неподвижной точкой на замкнутой траектории. Это отображение сохраняет естественную симплектическую структуру на нашей 2п — 2-мерной площадке, и мы можем изучать его при помощи нормальной формы пункта Б. [c.355]

Другой, более локальный, но и более полезный метод — конструкция отображения Пуанкаре (отображения первого возвращения). Выберем такую точку хеМ, что (а )7 0, и (тгг — 1)-мерное (коразмерности один) подмногообразие М, содержащее х и трансверсальное к векторному полю. Последнее свойство попросту означает, что для каждой точки уеМ вектор у) не является касательным к N. Если мы предположим, что х — периодическая точка потока, т. е. 1р °(х) = х для некоторого о >0> то каждая близлежащая орбита потока пересекает поверхность N в некоторый момент вре- [c.26]

Рис. 6.5.2. Гомоклинические осцилляции Так как неустойчивое многообразие не имеет самопересечений, мы таким образом получаем все более и более тонкие петли, накапливающиеся на неустойчивом многообразии. Поскольку те же соображения имеют место для устойчивого многообразия, мы получаем аналогичные осцилляции и для него, и, таким образом, окончательная картина выглядит так, как показано на рис. 6.5.2. В частности, мы получаем целую сеть новых трансверсальных гомоклинических точек. По Л-лемме (предложение 6.2.23) эта картина имеет место независимо от того, сохраняет ли наше отображение площадь, а также от вида локальной гладкой линеаризации. Таким образом, любая трансверсальная гомоклиническая точка порождает гомоклинические осцилляции, показанные на рис. 6.5.2.

Доказательство. Пусть д является трансверсальной гомоклинической точкой и Л — подмножество подковы, инвариантное относительно итерации /" отображения / и такое, что /" д изоморфно полному 2-сдвигу. Тогда / (д) Л для некоторого т N. Так как периодические точки плотны в Л по предложению 1.9.1, / (д), а следовательно, и сама точка д содержатся в замыкании множества периодических точек. [c.283]

Предложение 7.2.2. Неподвижная точка р отображения f М —>М трансверсальна тогда и только тогда, когда единица не является собственным значением дифференциала Df . [c.297]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

Теорема 7.2.4. Пусть О < г < оо и М —некоторое С -многообразие. Для любого п N множество отображений / имеюш,их только трансверсальные периодические точки периода не более чем п, открыто в С -топологии и плотно в С -топологии. [c.298]

Напомним, что мультипликаторы—это собственные числа преобразования монодромни отображения трансверсальной циклу площадки в себя. [c.43]

Лемма Сарда и теоремы трансверсальности. Рассмотрим гладкое отображение f U- W. Точка-прообраз называется нерегулярной, если образ производной в этой точке — не все ка-сателньое пространство к образу [c.14]

Слабая теорема трансверсальности для многообразий. Пусть А — компактное многообразие и С — компактное подмногообразие в многообразии В. Тогда отображения f А- В, трансверсальные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех г-гладких отображений Ав В (r>max(dimfi—dim Л—dim С, 0)). [c.15]

Теорема трансверсальности Тома. Пусть С — собственное подмногообразие пространства струй / (М, N). Тогда множество отображений / M- N, fe-струйные расширения которых трансверсальны к С, образует густое множество в пространстве всех отображений из М в N с С-топологией (при условии, что г>го к, dimM, dimA/ )). [c.15]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

В окрестности точки сборки проекции описываются так. Рассмотрим поверхность ласточкиного хвоста % + к х + + l.2X- - kz имеет кратный корень). Плоскости Xi = onst разбивают ласточкин хвост на кривые. Проекции интегральных кривых в окрестности точки сборки проектирования медленной поверхности систейы общего положения получаются из этого стандартного семейства плоских сечений ласточкиного хвоста при гладком отображении общего положения трехмерного пространства на плоскость. Такое отображение имеет в вершине ласточкиного хвоста ранг 2. Следовательно, окрестность вершины гладко расслоена на одномерные слои (прообразы точек плоскости). Направление слоя в вершине трансверсально и плоскости Я] = 0, и касательной плоскости хвоста (Яз = 0) для отображения общего положения. В зависимости от того, как это направление пересекает эти две плоскости, вид проекции [c.178]

Пусть / — аналитическая функция в области D, обращающаяся в нуль на 5S П (г = 1, 2, 3, 4). Рассмотрим аналитическую кривую без особенностей l s) а, fi) D, проходящую через точку ddKiilD и трансверсально пересекающую одну из сепаратрис. Согласно предложению 1, эта линия пересечет бесконечно много замкнутых инвариантных кривых отображения S из множества 5S iKi. Функция /(/(s)) аналитична в интервале а, /3), и ее нули имеют предельную точку внутри этого интервала. Следовательно, f l s)) = О, s G а, fi) и, в частности, f d) = 0. Так как d — любая точка внут-ри П D, то / = О в области D. [c.61]

Для доказательства рассмотрим ш-мерную площадку П = = х,у X = Жо , трансверсально секущую 7, и отображение последования F П -+ П, которое определяется следующим образом. Траектория решения системы (8.2) с начальными данными ж(0) = = Жо, 2/(0) = 2/0 ( уо мало) снова пересекает площадку П через промежуток времени, близкий к р, в точке (жо,2/1). Положим у = [c.220]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Эти две поверхности и есть сепаратрисы, о которых шла речь выше в утверждениях 4, 5, 6, стр. 360. При их пересечении с нашей трансверсальной площадкой получаются инвариантные кривые и Г отображения А. Эти две кривые при своем пересечении образуют запутанную сеть, о которой А. Пункаре, впервые обнаруживший явление расщепления сепаратрис, писал Пересечения образуют нечто вроде решетки, или ткани, или сетки с бесконечно тесными петлями ни одна из двух кривых никогда не должна сама себя пересекать, но она должна изгибаться столь сложным образом, чтобы пересечь бесконечное число раз все петли сети. [c.363]

Точная формулировка этого предположения заключается в трансверсальности отображения пространства симметричных мембран в пространство симметричных аллипсоидов к шогообравиям эллипсоидов с различными числами кратных осей для всех мембран, исключая множество коразмерности бесконечность. [c.404]

Пр и м е р ы. 1. Градиентное отображение д>- д81дд. 2. Нормальное отображение вектору нормали к подмногообразию евклидова пространства сопоставляется его конец. 3. Гуассово отображение точке трансверсально ориентированной поверхности евклидова пространства сопоставляется орт нормали (соответствующее лагранжево многообразие образовано самими нормалями). [c.449]

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56]

Можно также определить гиперболичность периодической точки для с стемы с непрерывным временем, используя отображение Пуанкаре ( введения). А именно, пусть N — маленький диск коразмерности один, < держащий точку р, трансверсальный к векторному полю Тогда отоб] жение Пуанкаре (отображение возвращения) F V — N определено д некоторого открытого подмножества V с N, содержащего р, и F (p) = В этом случае точка р будет гиперболической периодической точкой пето

неподвижн точкой отображения F . [c.246]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Пусть и М является диффеоморфным вложением с гиперболическими неподвижными точками р,,...,. Говорят, что точки Р[,..., р = Рй образуют гетероклиническую петлю, если размерности их устойчивых многообразий равны и многообразие И (р ) пересекает трансверсально для =0,..., к. Докажите, что в этом случае каждая точка р, имеет трансверсальную гомоклиническую точку, и выведите отсюда, что существует гиперболическое множество Л отображения /, содержащее все точки Р),..р и имеющее плотную орбиту. [c.283]

Следующий простой пример показывает, что трансверсальность существенна для устойчивости неподвижной точки. В любой естественной топологии, скажем, в С-топологии при О г оо, можно рассмотреть вопрос, является ли наличие неподвижной точки свойством, сохраняющимся при возмущениях, т. е. если М — гладкое многообразие, / Diff(M), хеМ — изолированная неподвижная точка / и отображение д е Diii(M) достаточно близко к /, то верно ли, что вблизи х найдется неподвижная точка р Ответ, вообще говоря, отрицателен диффеоморфизм / К -+ R, / х - х + х / + х ), впервые встретившийся нам в упражнении 2.1.3, имеет единственную неподвижную точку О, тогда как отображение /4-е вовсе не имеет неподвижных точек ни для какого е > 0. Этот пример не связан со свойством компактности, как это может показаться если М = S =K/Z и /(ж) = ж + 1/(2тг) sin та (mod 1) (см. рис. 3.3.1), то О — единственная неподвижная точка отображения /, а / -t- е не имеет неподвижных точек при 0<е< 1/2. Таким образом, предложение 1.1.4 без предположения трансверсальности не имеет места. Однако в следующей главе мы увидим (см. теорему 8.4.4), что некоторое чисто топологическое свойство изолированной неподвижной точки, а именно отличие ее индекса от нуля (определение 8.4.2), является достаточным для того, чтобы неподвижная точка сохранялась при С -возмущениях. [c.295]

Определение 7.2.1. Неподвижная точка p = f(p) гладкого отображения f М М называется трансверсальной неподвижной точкой, если graphв М X М. [c.297]

Доказательство. Покажем, что множество диффеоморфизмов Купки— Смейла данного порядка открыто в С -топологии. Это следует из тех фактов, что, во-первых, множество диффеоморфизмов, все периодические точки которых являются гиперболическими, открыто в С -топологии и в силу компактности существует лишь конечное множество периодических точек любого данного периода (если все они гиперболические) и, во-вторых, устойчивое и неустойчивое многообразия (с С-топологией) непрерывно зависят от отображения, так что, поскольку трансверсальность является открытым условием (по следствию П 3.18), условие трансверсальности замкнутых п-шаров в устойчивом и неустойчивом многообразиях также открыто. Теперь установим плотность в С-топологии множества таких диффеомм-физмов, которые имеют только гиперболические периодические точки. По [c.298]

Доказательство. Рассмотрим сначала неподвижные точки. По предложению 1.1.4 трансверсальные неподвижные точки изолированы, так что мы можем выбрать попарно непересекающиеся открытые множества 0(, покрывающие Р1х(/), так, что каждое множество О,- целиком содержится в некоторой координатной окрестности на М. Пусть р, — неподвижная точка из О . Выберем достаточно малые числа, 62, О <6, < 8 , и С -функ-цию р на положительной полупрямой так, что р = 1 на [О, и р = О вне [О, 2]- Пусть = + зр, и пусть ф О,- К" —такая карта, что ф р )=0. Рассмотрим семейство отображений которые совпадают с / вне и имеют вид /, х) = ф р, ф(х) ) ф(/(х))). Тогда /, ->/ в С -топологии при 3 -+ О и, таким образом, для достаточно малого з отображение является С -диффеоморфизмом, близким к / в С-топологии, с единственной неподвижной точкой р в О . Кроме того, p — гиперболическая неподвижная точка для поскольку все собственные значения дифференциала Д /, не лежащие на единичном круге, равномерно отделены от него, так что спектр дифференциала зрес(2)р/,) = 1-ь в) зрес( >р/) не пересекает единичный круг. Зафиксировав любое такое число з и проделав описанную процедуру последовательно для всех p Р1х(/), получаем наше утверждение для неподвижных точек. [c.299]

Наконец, покажем, что диффеоморфизм, имеющий только гиперболические периодические точки, может быть возмущен в С-топологии так, чтобы в результате получился диффеоморфизм Купки — Смейла порядка п. Поскольку условие трансверсальности замкнутых п-шаров в устойчивом и неустойчивом многообразиях любых двух периодических точек открыто и существует лишь конечное множество периодических точек, достаточно показать, что отображение с двумя гиперболическими периодическими точками р к д может быть возмущено так, что Ф ТУ (д). Посколь- [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...