Градиентное отображение

Пример 1 (градиентное отображение), д р — дЗ/дд. Лагранжево подмногообразие Ь является графиком этого отображения здесь лагранжево расслоение — кокасательное расслоение (д, р) q. [c.25]

Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений 4 , Е,., Е , Е [c.449]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

Докажите лемму о е-траекториях для отображения сдвига за единичное время градиентного потока для отрицательной величины функции высоты на вертикальном торе и наклонном торе (см. 1.6). [c.571]

Рассмотрите отображение сдвига за единичное время для градиентного потока на наклонном торе ( 1.6). [c.744]

Такая двойственность возможной интерпретации градиентных соотношений (7) и (4) отражает фундаментальное свойство инволюционного преобразования (4). Обычно говорят, что отображение (4) области (р, 8) на область (г, з) представляет собой контактное преобразование. Слово контакт связывается с однократным частным дифференцированием. Заметим, что соотношение (6) между частными производными второго порядка не обращается в тождество в силу одного только равенства (5). [c.17]

Модели образования структуры Вселенной, основанные на теории гравитационной неустойчивости, в общих чертах неплохо описывают образование С. г. и их положение как элементов крупномасштабной структуры. Более подробное изучение этого процесса методами численного моделирования затруднено из-за больпюго объёма вычислений. Приближённое описание на базе теории особенностей градиентных отображений (си. [c.545]

Пр и м е р ы. 1. Градиентное отображение д>- д81дд. 2. Нормальное отображение вектору нормали к подмногообразию евклидова пространства сопоставляется его конец. 3. Гуассово отображение точке трансверсально ориентированной поверхности евклидова пространства сопоставляется орт нормали (соответствующее лагранжево многообразие образовано самими нормалями). [c.449]

Первые две теоремы п. 3.3, сформулированные для градиентных отображений, справедливы для произвольных квазиоднородных и полуквазиоднородных отображений [12], [249]. [c.40]

Гиперповерхность вырождения 17 Главные отображения периодов 109 Гомологическое уравнение 14 Горюнова список 171 Градиентное отображение 25 Группа кос 133, 254, 266 Группа отражений 71, 81 Грушш Лагранжевых кобордизмов 116 Группы Лежандровых кобордизмов 117 губы, особенность 47, 219 [c.331]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Рассмотрим отрицательную величину функции высоты на вертикальном торе (см. рис. 1.6.1). Покажите, что риманова метрика на торе может быть возмущена таким способом, что отображение сдвига градиентного потока за единичное время является отображением Купки — Смейла. [c.304]

Докажите лемму о е-траекториях для отображения сдвига за единичное время градиентного потока для отрицательной величины функции высоты на круглой сфере (см. (1.6.1)). Покажите, что в этом случае приближающая орбита не всегда еданственна. [c.571]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. 1 азовая лина.мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, фуик-ционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

При составлении целевой функции особое внимание следует уделять выбору масштаба входящих в нее переменных и правильному отображению требований ТЗ при наиболее простом ее виде. От этих факторов в значительной мере зависят затраты машинного времени на поиск экстремального значения целевой функции. Например, изменение масштабов (единиц измерения) целевой функции и варьируемых переменных, т. е. замена Ф хи Х2,. .., Хм, и) на СФ(С1Хи. .., СцХц, и), где Сг,. .Сл- —скаляры, не меняет характера целевой функции. Однако изменение масштабов переменных приводит к изменению частных производных целевой функции, а следовательно, и формы ее линий уро-вня и тем самым может существенно повлиять на время поиска экстремума целевой функции градиентными методами. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...